Ecuaciones diferenciales: resolución de problemas

Al analizar el movimiento de objetos que caen, es fundamental considerar no solo la fuerza de la gravedad, sino también la fuerza opuesta debida a la resistencia del aire. Un ejemplo práctico consiste en dejar caer un peso de prueba pesado durante una comprobación de seguridad en un barco. Al caer desde el reposo, la gravedad lo acelera hacia abajo, mientras que la resistencia del aire ejerce una fuerza ascendente que aumenta con la velocidad. Esta interacción dinámica de fuerzas se describe bien mediante ecuaciones diferenciales, que proporcionan un marco matemático para modelar la velocidad cambiante del objeto a lo largo del tiempo.

Fuerzas y modelado diferencial

Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta sobre el peso que cae determina su aceleración. La gravedad ejerce una fuerza constante igual a la masa del objeto multiplicada por la aceleración de la gravedad, mientras que la resistencia del aire se modela habitualmente como proporcional a la velocidad del objeto. Al combinar estas fuerzas, la fuerza neta produce una ecuación diferencial de primer orden que relaciona la tasa de cambio de la velocidad con la propia velocidad.

Comportamiento exponencial y velocidad terminal

Al resolver la ecuación diferencial resultante, se obtiene una función de velocidad que aumenta con el tiempo, pero que se aproxima asintóticamente a un límite finito. Este comportamiento refleja el equilibrio gradual entre la gravedad y la resistencia del aire, que culmina en un estado conocido como velocidad terminal: el punto en el que cesa la aceleración y el objeto cae a velocidad constante. Con una masa de 10 kg y una constante de arrastre de 2 N·s/m, la velocidad terminal calculada es de 49 m/s. Este resultado ilustra cómo las ecuaciones diferenciales modelan eficazmente el movimiento en situaciones reales y revelan el papel de la resistencia del aire en la limitación de la aceleración durante la caída libre.