Enfoque bioinformático para la predicción del cáncer utilizando el algoritmo de agrupamiento cuántico para la similitud conductual en la expresión génica

Resumen

Este protocolo tiene como objetivo agrupar datos de expresión génica para la clasificación del cáncer utilizando un algoritmo híbrido cuántico K-Means que detecta automáticamente el número óptimo de conglomerados y los separa de forma eficiente, avanzando así en aplicaciones bioinformáticas en dispositivos Cuánticos de Escala Intermedia Ruidosa (NISQ).

Resumen

Este estudio introduce un algoritmo híbrido de agrupamiento cuántico K-Means con detección automática de conglomerados para clasificar datos de expresión génica cancerosa y no cancerosa. El método emplea mapeo cuántico multi-característica para codificación de estados, estimación cuántica basada en pruebas de intercambio y optimización basada en gradiente cuántico para identificar dinámicamente el número óptimo de clústeres minimizando la varianza intra-clúster. Los centroides iniciales se seleccionan mediante una estrategia de distancia proporcional a probabilidad, mejorando la estabilidad y la precisión. Aplicado a conjuntos de datos sobre cáncer de mama, el enfoque supera el algoritmo cuántico K-Means existente, logrando una puntuación Silhouette de 0,641 (frente a 0,601), un índice Calinski-Harabasz de 766,57 (frente a 617,65) y un índice Davies-Bouldin de 0,659 (frente a 0,704). Estos resultados indican una compacidad y separación superior de los grupos. Aunque el algoritmo propuesto presenta una ligera mayor complejidad temporal O (N×_{K max}×_{M obs}) debido a la optimización iterativa, supera significativamente a los K-Means cuánticos predefinidos K en precisión de agrupamiento, reducción de errores y viabilidad práctica. Su eficiencia en el manejo de datos de alta dimensión y su resistencia al ruido cuántico ponen de manifiesto su potencial para aplicaciones reales en bioinformática, especialmente en la clasificación del cáncer mediante perfiles de expresión génica.

Introducción

En ingeniería biomédica, bioinformática, estadística, ciencias sociales y economía, el agrupamiento es una técnica fundamental para organizar los datos en grupos homogéneos significativos. Por ejemplo, el análisis topológico de datos (TDA) se ha aplicado a conjuntos de datos de expresión génica del cáncer para revelar patrones estructurales en espacios de alta^{dimensión. 1}. El agrupamiento organiza los datos de modo que objetos con alta similitud se coloquen dentro del mismo clúster, mientras que objetos disímiles se asignan a diferentes conglomerados. Esto entra dentro del aprendizaje no supervisado y no requiere datos de entrenamiento etiquetados.

En las últimas décadas se han desarrollado numerosos algoritmos de agrupamiento. Los enfoques clásicos incluyen agrupamiento basado en^{particiones 2}˒³, agrupamiento basado en densidad ^4,5, agrupamiento jerárquico ^6,7, agrupamiento basado en cuadrícula⁸˒⁹ y agrupamiento basado en modelos¹⁰. Las revisiones de estos métodos destacan sus fortalezas pero también sus^{limitaciones 11}. Aunque efectivos en contextos específicos, la mayoría de los algoritmos clásicos tienen dificultades con datos de alta dimensión, ruidosos o distribuidos de forma irregular. Por lo tanto, no existe un método universal de agrupamiento que funcione óptimamente en todos los tipos de datos.

Para abordar estos desafíos, el agrupamiento cuántico ha surgido como una alternativa prometedora¹². A diferencia de los algoritmos clásicos, los enfoques inspirados en la cuantística aprovechan la superposición, el entrelazamiento y otros principios de la mecánica cuántica para explorar los espacios de datos de forma más eficiente. Este paradigma se ha vuelto cada vez más aceptado dentro de la comunidad^{investigadora 13}˒¹⁴˒¹⁵˒¹⁶˒¹⁷˒¹⁸, ya que demuestra ventajas potenciales sobre el agrupamiento clásico en el manejo de conjuntos de datos de alta dimensión y ruidosos. No obstante, los métodos existentes de agrupamiento cuántico a menudo sufren de conteos de clústeres predefinidos o inicialización inestable del centroide, que reducen su robustez en aplicaciones prácticas.

En este trabajo se introduce un novedoso algoritmo híbrido de agrupamiento cuántico K-Means basado en particiones, que incorpora cuatro innovaciones distintas: (i) Mapeo Cuántico Multi-Características para codificar datos de expresión génica en un espacio de Hilbert de alta dimensión; (ii) inicialización basada en el centroide proporcional a la probabilidad y la distancia, mejorando la estabilidad en comparación con la inicialización aleatoria; (iii) Estimación cuántica basada en pruebas de intercambio para una medición precisa de similitud; y (iv) Optimización Basada en Gradiente Cuántico para determinar dinámicamente el número óptimo de clústeres minimizando la varianza intra-clúster. Estas contribuciones distinguen el método propuesto de los enfoques anteriores de agrupamiento^{cuántico 19,20}, mejorando la robustez, escalabilidad y aplicabilidad en escenarios reales de bioinformática.

Agrupar datos de expresión génica es una tarea crítica en bioinformática, especialmente para distinguir entre células cancerosas y no cancerosas basándose en sus perfiles genéticos. Los métodos tradicionales de agrupamiento, como los K-Means clásicos, a menudo tienen dificultades con la naturaleza de alta dimensión de los conjuntos de datos de expresión génica, lo que conduce a una clasificación subóptima. Para superar estos desafíos, introducimos el Algoritmo Cuántico de Medias K con Determinación Óptima de Clúster, que aprovecha el Mapeo Cuántico de Características y la inicialización probabilística de centroides para lograr un rendimiento superior en clúster. Este algoritmo no solo agrupa eficientemente los datos de expresión génica, sino que también determina automáticamente el número óptimo de conglomerados, permitiendo la identificación de subtipos de cáncer distintos

El algoritmo propuesto se aplica a conjuntos de datos que contienen perfiles de expresión génica tanto cancerosos como no cancerosos, agrupándolos en función de la similitud conductual para evaluar su eficacia.

Protocolo

1. Mapeo cuántico de características

La codificación de puntos de datos clásicos en estados cuánticos se logra mapeándolos en un espacio de Hilbert cuántico, al que puede acceder y manipularse eficientemente un ordenador^{cuántico 16}˒^17,19. Este proceso emplea un mapa cuántico de características no lineal que incrusta datos clásicos en el espacio de Hilbert (Figura 1). Un mapa fijo de características de circuito cuántico transforma los puntos de datos de entrada en^{estados cuánticos 17}, mientras que los circuitos variacionales permiten tareas de aprendizaje automático adaptando la base^{de medición 22}. Un circuito variacional consiste en un conjunto de compuertas cuánticas parametrizadas, optimizadas mediante técnicas híbridas cuántica-clásica²³.

Figura 1: Mapeo de características en el espacio de Hilbert cuántico. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

2. Codificación del punto objetivo y los centroides en qubits

Para codificar las características de nuestros puntos de datos, necesitamos realizar rotaciones usando compuertas U3.

Esto rota el qubit θ radianes alejándose del eje z positivo y Φ radianes respecto al eje x positivo.

Todos los qubits se inicializaban en el estado ∣0〉 antes de que comenzara el proceso de codificación. Cada valor de expresión génica se normalizó al rango [0,1] y se convirtió en un ángulo de rotación usando la relación θ_i=πx_i. A continuación, se aplicaba una puerta unitaria parametrizada a cada qubit para codificar la característica correspondiente, implementada en Qiskit mediante la operación qc.u(theta_i, pi, pi, qubit_index). Cuando se codificaban múltiples características, el procedimiento de rotación se repetía entre los qubits correspondientes para crear una representación multi-características. Tras estas operaciones, el estado cuántico resultante ∣ψ〉 representaba el vector de características codificado en el espacio de Hilbert. No se realizó ninguna medición durante esta etapa, ya que el estado preparado se reservaba para la estimación posterior de similitud.

3. Comparando estados cuánticos

Los resultados de los experimentos cuánticos son inherentemente aleatorios porque los qubits son inestables por naturaleza, tal y como se describe en la física cuántica. Por consiguiente, las conclusiones y predicciones deben expresarse en términos de probabilidades e incertidumbres. Por tanto, sacar conclusiones inequívocas supone un verdadero desafío. Sin embargo, cuando los estados cuánticos en cuestión son puros, las diferencias entre estados (con probabilidad distinta de cero) pueden predecirse de forma inequívoca mediante^{experimentación 24}˒²⁵.

Dos estados cuánticos, ∣ψ〉 y ∣φ〉, se cargaron primero en registros cuánticos separados. A continuación, se inicializaba un qubit ancilla en el estado ∣0〉 para controlar la operación de intercambio. Se aplicó una compuerta Hadamard al ancilla para colocarlo en superposición antes de ejecutar la operación de SWAP controlado. La puerta Fredkin (CSWAP) utilizaba el ancilla como qubit de control y los dos registros de datos como objetivos, permitiendo interferencias entre los estados. Tras esta operación, se aplicó una segunda compuerta de Hadamard al ancilla para completar el patrón de interferencia. Solo se midió el qubit ancilla, y su resultado de medición codificaba la similitud entre ambos estados. Cuando los estados eran idénticos, la ancilla producía el resultado 0 con probabilidad 1, mientras que los estados ortogonales producían el resultado 0 con probabilidad 0,5.

Figura 2: Ilustración de la comparación basada en probabilidades, si los estados ρ y ξ son diferentes, entonces la distribución de probabilidad observada pertenece a P_E⁻ \ _{P E}⁺. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

El operador densidad ρ está asociado a cualquier estado cuántico ρ ∈ S(H), tal que tr[ρ] = 1 y ρ ≥ 0. Aquí, conjunto de todos los estados S(H) de un sistema que se asociará con el espacio de Hilbert H. La medida valorada por operador positivo (POVM) es una medición de características estadísticas cuánticas que es una colección de operadores positivos E₁, . . . ,_{E n} como E (que actúan sobre H) y la identidad I = . Una distribución de probabilidad asigna la medida E para cada estado ρ ∈ S(H), donde p_j = tr[_{E j}ρ]≥ 0 y =^{1 26}.

4. Comparando estados cuánticos basados en SWAP

La diferencia entre dos estados cuánticos puede medirse utilizando el procedimiento de prueba SWAP en computación cuántica. Este método fue introducido por primera vez por Barenco y colaboradores.²⁷ y posteriormente redescubiertos por John Watrous, Ronald de Wolf, Harry Buhrman y Richard ^{Cleve 28}. La prueba SWAP se ha aplicado a la computación cuántica y al aprendizaje automático ^{cuántico 15, 29}.

La prueba SWAP toma ∣ψ〉 y ∣φ〉 como estados de entrada y produce 1 (una variable aleatoria de Bernoulli) con probabilidad 1/2 - 1/2〈φ,ψ〉² , lo que estima el producto interno al cuadrado de los dos estados ³⁰.

Explicación del circuito

Consideremos dos estados ∣φ〉 y ∣ψ〉 del sistema, el protocolo al principio es ∣0,φ,ψ〉. Tras aplicar la puerta Hadamard, el estado cambia a ∣0,φ,ψ〉 + ∣1,φ,ψ〉. La compuerta CSWAP transforma el estado en (0,φ,ψ〉 + ∣1,ψ,φ〉). Tras la segunda puerta Hadamard, el estado pasa a ser 1/2(|0,φ,ψ〉 + ∣1,φ,ψ〉 + |0,ψ,φ〉 - ∣1,ψ,φ〉)= 1/2∣0〉(|φ,ψ〉 + |ψ,φ〉) +  1/2|1〉(|φ,ψ〉 - |ψ,φ〉). Luego se mide el primer qubit, la probabilidad de obtener el resultado 0 es P(Primer qubit = 0) = 1/2 (〈φ|〈ψ| + 〈ψ|〈φ|) 1/2 (|φ,ψ〉 + |ψ,φ〉) = 1/2 + 1/2 |〈ψ|φ〉|². Si ψ y φ son ortogonales (|〈ψ|ϕ〉|² = 0), entonces la probabilidad de obtener 0 es 1/2. Si los estados son idénticos (|〈ψ|ϕ〉|² = 1) entonces la probabilidad de obtener 0 es 1. ²⁴

Figura 3: (a) Circuito de la puerta de Fredkin con estado polar opuesto, (b) Salida del grafo mesurado por probabilidad, (c) Circuito de la puerta de Fredkin con puerta de Hadamard, (d) Salida del grafo mesurado por probabilidad. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

El circuito utilizaba un qubit ancilla junto con dos registros que codificaban los estados cuánticos ∣ψ〉 y ∣φ〉. Todos los qubits se inicializaron antes de que comenzara la etapa de codificación. Las características de expresión génica se codificaban entonces en los registros respectivos mediante el procedimiento de mapeo de características. Se aplicaba una puerta de Hadamard al qubit ancilla para crear una superposición, tras lo cual se realizaba una operación de intercambio controlado entre los dos registros de estado, con el ancilla como control. Se aplicó una segunda puerta de Hadamard al ancilla para completar el patrón de interferencia, y posteriormente se midió el qubit ancilla. Cuando los dos estados codificados eran idénticos, la ancilla producía consistentemente el resultado 0. Cuando los estados eran ortogonales, la ancilla daba el resultado con probabilidad 0,5. Para estados parcialmente similares, la probabilidad de obtener 0 se situaba entre 0,5 y 1, reflejando el grado de similitud entre los estados.

5. Estimación cuántica de distancias

En el análisis clásico de datos, las distancias entre puntos de datos pueden calcularse directamente usando medidas como la distancia euclidiana o de Manhattan ^2,3. En el caso de los qubits en un ordenador cuántico, esta tarea es más compleja debido a la naturaleza probabilística de los estados cuánticos. Aunque las diferencias de fase y las amplitudes de probabilidad pueden medirse, no pueden representarse directamente como distancias entre dos vectores ^{24, 26}.

Para agrupar, es necesario evaluar las posiciones relativas de los puntos de datos respecto a los centroides^{de clúster 13}. Para asignar cada qubit al clúster correspondiente, debe definirse un parámetro que sirva como indicador de proximidad al centroide correspondiente del clúster.

Para lograr esto, se introduce un parámetro que se correlaciona positivamente con la similitud, funcionando así como alternativa a las medidas convencionales de distancia ^15,30.

El proceso de estimación de distancias comenzó con un estado cuántico normalizado ∣Ψ〉 y un qubit auxiliar inicializado en cero ∣q₀〉. El objetivo era estimar la distancia entre el nuevo punto de datos codificado en ∣_{q 1}〉 y un centroide de clúster codificado en ∣q₂〉. Para preparar la superposición requerida para el patrón de interferencia, se aplicó una puerta de Hadamard al qubit ancilla, produciendo el estado ( ∣0〉 + ∣1〉 ) ⊗ ∣Ψ〉 ). A continuación, se aplicaba una compuerta controlada-SWAP (Fredkin) con el ancilla como control, que entrelazaba el ancilla con los dos estados codificados y permitía que su solapamiento influyera en el resultado de la medición. Esta operación producía el estado ( ∣0〉 ⊗ ∣Ψ〉 + ∣1〉 ⊗_swap F (∣Ψ〉) ), del cual la distancia basada en el producto interno podía extraerse mediante la medición posterior de la ancilla.

Implementación y salida del circuito

Este circuito cuántico codifica datos de expresión génica en qubits mediante codificación de fase y posteriormente compara dos estados de expresión génica a través de la compuerta Controlled-Swap (CSwap), también conocida como la Prueba de Swap¹².

Para crear la superposición requerida, se aplican compuertas de Hadamard a todos los qubits (q₀ a_{q 4}), resultando en una superposición igual de todos los estados base |Ψ〉 = , Esta inicialización permite el cálculo paralelo sobre múltiples valores de expresión génica. Cada qubit experimenta entonces una rotación de fase, , donde θ_x corresponde al valor de expresión génica asignado. Los operadores unitarios U(θ,π,π) aplicados a los qubits q_{1-q 4} codifican los niveles de expresión de genes individuales, siendo cada ángulo θ una versión transformada de la expresión de un gen. Este procedimiento mapea datos biológicos clásicos en estados cuánticos mediante codificación de fase, permitiendo representar múltiples genes en un espacio cuántico^{de alta dimensión 6}.

Las compuertas CSwap se utilizan entonces para comparar estados codificados entrelazándolos. El qubit auxiliar q₀ actúa como control, determinando si los estados de q_{1-q 4} están intercambiados. Estados cuánticos similares generan interferencia constructiva en q₀, lo que resulta en una mayor probabilidad de medir ∣0〉. Por el contrario, los estados disímiles aumentan la probabilidad de medir ∣1〉. Una compuerta de Hadamard posterior en q₀ asegura interferencia de amplitud, permitiendo la extracción de información de similitud mediante mediciones.

Supongamos que dos estados cuánticos ∣ψ〉 y ∣φ〉 representan conjuntos de datos de expresión génica distintos, |ψ〉 = ∑i a_i |i〉, |φ〉 = ∑_ib_i |i〉 .

La prueba de intercambio evalúa la fidelidad (producto interno) entre ellos:

P (0) = ,

Donde ∣〈ψ∣φ〉∣ denota el producto interno. Si P(0) ≈ 1, los estados son similares; si P(0) ≈ 0,5 o menos, son diferentes.

Este marco permite la comparación de conjuntos de datos entre pacientes o condiciones experimentales (por ejemplo, tejido normal vs. enfermo). Proporciona una base eficiente para agrupar datos de alta dimensión dentro de modelos de aprendizaje automático cuántico. La Prueba de Swap permite identificar similitudes entre estados cuánticos, lo que puede utilizarse para agrupar muestras en clústeres^{significativos 4}.

Figura 4: Circuito de medición de la distancia entre puntos de datos y centroides. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

Figura 5: Salida del gráfico mesurado por probabilidad. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

Un punto de datos se codificaba primero en el estado cuántico ∣ψ〉 y el centroide correspondiente del clúster se codificaba en el estado ∣φ〉. El procedimiento de prueba de swap descrito anteriormente se ejecutó para comparar estos dos estados, y se registró la probabilidad de medición ancilla P(0). La fidelidad entre los estados se obtuvo como F=∣〈ψ∣φ〉∣², y la distancia cuántica se definió como D (ψ,φ) = . Un valor menor de D indicaba que el punto de datos estaba más cerca del centroide en el espacio de características cuánticas.

6. Selección inicial del centroide

La inicialización de los centroides de clúster es fundamental para la estabilidad y precisión del agrupamiento K-Means. La selección aleatoria puede producir centroides mal distribuidos, lo que conduce a una convergencia lenta y resultados subóptimos. Para abordar este problema, se emplea un método de probabilidad y distancia proporcional inspirado en la estrategia^{K-Means++ 20} . En el enfoque mejorado cuántico, las distancias se evalúan utilizando el Estimador de Distancia Cuántica basado en la prueba SWAP, asegurando que los centroides seleccionados representen mejor la distribución subyacente de datos. Esta estrategia mejora la separación de conglomerados y mejora la robustez algorítmica, especialmente en conjuntos de datos de alta dimensión.

El proceso de inicialización del centroide comenzaba seleccionando un punto de datos al azar para que sirviera como primer centroide. La distancia cuántica entre este baricentroide y cada punto de datos restante se calculaba entonces utilizando el procedimiento de estimación de distancia cuántica. A partir de estos valores de distancia, se creó una distribución de probabilidad en la que a cada punto se le asignaba una probabilidad de selección proporcional a su distancia al cuadrado desde el centroide más cercano. Se muestrearon nuevos centroides según esta distribución, y el procedimiento se repitió hasta obtener el número deseado de centroides K. Este enfoque produjo un conjunto inicial de centroides con una separación sustancialmente mejor que la selección aleatoria.

7. Cálculo de varianza cuántica

La varianza de conglomerados cuantifica la compacidad de los puntos de datos alrededor de sus centroides, lo que la convierte en una métrica crucial para evaluar la calidad del agrupamiento. En las K-medias clásicas, la varianza se calcula como la distancia cuadrática media entre los puntos de datos y sus centroides asignados. En el enfoque mejorado por cuántico, estas distancias se obtienen utilizando el Estimador de Distancia Cuántica (a través de la prueba SWAP), que calcula similitudes basadas en la fidelidad entre estados cuánticos. Sumando distancias al cuadrado dentro de cada grupo y normalizando por tamaño del grupo, obtenemos un valor de varianza que refleja el grado de cohesión intra-clúster. Minimizar esta varianza garantiza agrupaciones más estrechas y significativas, lo cual es especialmente importante en conjuntos de datos de expresión génica de alta dimensión para distinguir muestras cancerosas y no cancerosas.

La asignación de clústeres se realizaba asignando cada punto de datos cuántico codificado al centroide más cercano mediante estimación cuántica de distancia. Para cada clúster C_k, se calculó la distancia cuántica D(ψ i,C_k) entre cada punto de datos y su centroide. La varianza dentro del cúmulo se calculaba entonces usando , que medía la compacidad de cada conglomerado. La varianza total se obtuvo sumando las varianzas individuales en todos los grupos. Este valor total de varianza se registró para determinar el número óptimo de clústeres y para evaluar el rendimiento global del agrupamiento.

8. Optimización basada en gradientes cuánticos

Determinar el número óptimo de clústeres (K) es un desafío fundamental en las tareas de agrupación. Las K-Means tradicionales requieren que K esté predefinido, lo que a menudo conduce a un subagrupamiento o sobreagrupamiento. En nuestro enfoque mejorado por cuántico, integramos la Optimización Basada en Gradiente Cuántico (QGBO) para identificar de forma adaptativa el número óptimo de clústeres. El algoritmo incrementa iterativamente K, recalcula la varianza en cada paso y evalúa la reducción de la varianza (ΔV). Cuando las mejoras en la varianza caen por debajo de un umbral, el agrupamiento termina. El gradiente cuántico se calcula usando la regla del desplazamiento de parámetros, que estima las derivadas de los valores esperados de circuitos cuánticos. Este enfoque garantiza que el número final de clústeres equilibre precisión y eficiencia, lo que lo hace especialmente útil en aplicaciones de bioinformática donde el número real de subtipos biológicos no se conoce de antemano.

El proceso de agrupamiento comenzó con K=1, y la varianza total V(K) se calculó mediante el procedimiento de cálculo de varianza cuántica. El número de cúmulos se incrementó entonces a K+1 y se recalculó la varianza V(K+1 ). Se evaluó la reducción de la varianza, ΔV=V(K)−V(K+1), para determinar si los grupos adicionales continuaban mejorando la compacidad de los datos. La iteración se detuvo cuando ΔV quedó por debajo del umbral predefinido, lo que indica que aumentos adicionales en K no produjeron mejoras significativas. Se construyó un circuito cuántico parametrizado con compuertas variacionales para monitorizar los cambios de curvatura en la tendencia de varianza, y esta información guió el proceso de optimización del clúster. El número óptimo de clústeres se seleccionó como el valor de K en el que se estabilizó la reducción de varianza, resultando en clústeres compactos y bien separados.

9. Cálculo de la varianza de clúster y almacenamiento en_{la lista} V

Una vez formados los clústeres estables, el algoritmo calcula la varianza del clúster para medir la compacidad de cada clúster. La varianza_{V kj} para un clúster dado se determina usando las distancias entre cada punto de datos en el clúster y el centroide del clúster:

donde: x representa una muestra de expresión génica, C_i representa un grupo, C_ci es el centroide del clúster C_i, V_kj representa la varianza registrada para la j^iteración con k clústeres.

Esta varianza se almacena en una _lista V, que luego se utilizará para determinar el número óptimo de conglomerados.

10. Determinación del número óptimo de clústeres

Para encontrar el número óptimo de clústeres K, el algoritmo realiza múltiples iteraciones, observando diferentes condiciones iniciales. Los pasos clave incluyen:

El algoritmo identificó primero el valor mínimo de varianza a partir de la lista de varianzas calculadas para diferentes valores de K. La reducción de la varianza entre conteos sucesivos de conglomerados se midió entonces usando la expresión ΔV=∣V_k−V_k−1∣, donde V_k denotaba la varianza para K clústeres y V_k−1 representaba la varianza para K−1 clústeres. Si la reducción ΔV caía por debajo del umbral predefinido, indicando una mejora despreciable en el agrupamiento, el procedimiento terminaba. De lo contrario, el número de clústeres se incrementaba y el cálculo se repetía hasta alcanzar el recuento óptimo de clústeres.

11. Finalización de los clústeres para la clasificación de cáncer y no cáncer

Una vez determinado el número óptimo de grupos K , el conjunto final de grupos representa grupos distintos dentro de los datos de expresión génica. Normalmente, el algoritmo da como resultado dos grupos principales:

Un grupo representa células cancerosas (marcadas por firmas de expresión génica distintas asociadas a la malignidad).

Un grupo representa células no cancerosas (que contienen perfiles de expresión génica normales).

Los parámetros, variables y constantes empleados en el algoritmo de agrupamiento cuántico de K-Means propuesto se enumeran en la Tabla 1. Define las dimensiones del conjunto de datos, establece el número de clústeres K y aplica criterios de parada y umbrales de optimización para guiar el proceso. Configura ajustes computacionales como el número de disparos por partida y semillas aleatorias para asegurar la reproducibilidad. Inicializar los centroides usando un método de selección basado en probabilidades y actualízalos iterativamente hasta la convergencia. La tabla también especifica los resultados esperados, incluyendo etiquetas de clúster, centroides, K óptimo, métricas de evaluación y gráficos de visualización.

Categoría	Parámetro	Valor / Valor por defecto	Notas
Conjunto de datos	Conjunto de datos sobre cáncer de mama	569 muestras × 32 características (reducidas a 2 componentes PCA)	Reducción de dimensionalidad con PCA
Número de cúmulos	K	Dinámico, inicialmente 1, hasta 5	Optimizado usando reducción de varianza
Cúmulos máximos	Kmax	5	Cota superior para la búsqueda
Tiros por carrera	N	1024	Mediciones por ejecución de circuito
Tolerancia de parada	ε	1 × 10^-14	Criterio de convergencia de varianza
Umbral de pendiente de varianza	ΔV	9.9 × 10^-4	Umbral de parada para optimización
Observaciones	Mobsrv	3	Ejecuciones independientes por tamaño de clúster
Límite de iteración	–	10	Pasos máximos de actualización del centroide por partida
Semilla aleatoria	–	42	Garantiza la reproducibilidad
Salidas esperadas	–	Etiquetas de conglomerados, centroides, K óptimo, métricas de evaluación, gráficos	Exportado como archivos .csv y .png
Varianzas entre grupos	Vlist	vacío	Detecta K óptimo
Centroide j	CJ	inicializado por función (basado en probabilidades proporcionales a las distancias al cuadrado de los puntos)	Actualizado iterativamente y almacenando centroides finales

Tabla 1: Materiales, Software y Ajustes de Reproducibilidad

Escalón	Función / API (de tu código)	Acción	Resultado esperado
Codificación de características	QC.U(theta, pi, pi, qubit)	Codificar característica clásica normalizada en rotación de qubits	Estado de qubit
Prueba SWAP / distancia cuántica	get_Distance(x, y) usando qc.cswap()	Construcción de circuito de 3 qubits (ancilla + dos estados)	Idéntico → P(0) ≈ 1.0; → ortogonal P(0) ≈ 0,5
Ejecución en circuitos	SamplerV2 con AerSimulator (1024 disparos)	Ejecutar el circuito en simulador con transpilación (nivel opt 1)	Distribución de probabilidad para el qubit ancilla
Inicialización del centroide	initialize_centroids_kmeans_pp(señales, k)	Selecciona centroides iniciales proporcionales a la distancia	Centroides iniciales diversos
Reasignación de clústeres	find_nearest_neighbour(señala, centroides)	Asignar puntos al centroide más cercano	Membresías estables de clústeres
Cálculo de la varianza	calculate_variance(centra, centers_distance)	Cálculo de la varianza intra-conglomerado	La varianza disminuye en cada iteración
Pendiente de varianza	grad_slope(k, V_k, k-1, V_k-1)	Compárese ΔV con ε = 1e-14 y umbral de pendiente ΔV ≤ 0,000099	K óptimo detectado
Visualización	matplotlib.pyplot, plot_histogram	Asignaciones de clústeres y resultados cuánticos	Diagramas de dispersión PCA, diagramas de varianza, histogramas
Cálculo métrico	silhouette_score, calinski_harabasz_score, davies_bouldin_score	Evaluar la calidad del agrupamiento	Silhouette ≈ 0,64, CH ≈ 766, DB ≈ 0,65

Tabla 2: Detalles de implementación ejecutables del algoritmo propuesto.

Implementación y algoritmos

El Algoritmo Cuántico de Medias K, con Determinación Óptima de Clústeres, es un método de agrupamiento mejorado por cuántica que identifica dinámicamente el número óptimo de clústeres empleando el mapeo cuántico de características¹⁹ . El procedimiento comienza considerando todos los puntos de datos como pertenecientes a un único clúster. El número de cúmulos K aumenta progresivamente. Los centros de los clústeres se inicializan probabilísticamente según las distancias entre puntos, tras lo cual cada punto de datos se asigna a su centroide más cercano, formando K conglomerados. Posteriormente se calcula la varianza del grupo y se actualizan los centroides. Este proceso de reasignación se repite iterativamente hasta que no se producen más cambios.

El algoritmo evalúa la varianza a lo largo de múltiples iteraciones, almacenando valores de varianza correspondientes a diferentes conteos de clústeres. El valor óptimo de K se determina minimizando la varianza mientras se monitoriza la reducción de la varianza ΔV. Si ΔV se vuelve insignificantemente pequeño, el procedimiento termina; de lo contrario, K se incrementa y el proceso de agrupamiento se reinicia. Esta estrategia adaptativa garantiza una partición eficiente y precisa de los datos, especialmente en espacios de características de alta dimensión.

Figura 6: Diagrama de flujo del procedimiento propuesto de agrupamiento híbrido cuántico K-Means, que muestra mapeo cuántico de características, inicialización del centroide, asignación iterativa de clusters, cálculo cuántico de varianza, comprobación de convergencia basada en varianzas y selección asistida por gradiente cuántico del número óptimo de clusters. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

Los siguientes pasos describen el Algoritmo de Medios Cuánticos K-Means para agrupar datos de expresión génica de cáncer y no cáncer.

Algoritmo: Agrupación de datos de expresión génica de células cancerosas y no cancerosas utilizando el algoritmo cuántico K-Means

Paso 1: Mapeo cuántico de características (codificación multifuncional).
Paso 2: Suponiendo que inicialmente todos los puntos de datos pertenecen al mismo clúster, se fija el valor de K=1 (Donde K: es el número de Clústeres Óptimos, V: es la Varianza del Clúster y ΔV: Reducción de la Varianza).
Paso 3: Inicializar centros (elegir los puntos centrales iniciales usando la proporción de probabilidad de las distancias entre los puntos de datos).
Paso 4: Asigna cada punto de datos a su centroide más cercano, que formará los clústeres 'K' predefinidos.
Paso 5: Calcula la varianza del clúster y coloca un nuevo centroide de cada conglomerado.
Paso 6: Repite el Paso 4, que significa reasignar cada punto de datos al nuevo centroide más cercano de cada clúster.
Paso 7: Si ocurre alguna reasignación, entonces ve al Paso 5 o ve al Paso 8.
Paso 8: Ahora obtenemos el clúster _{C j} ('j'ésima iteración con 'k' número de clústeres) y calculamos la varianza V_kj= , donde 'x': el punto de datos pertenece al clúster C_i, y C_ci: el centroide del clúster C_i. Lleva un registro de la varianza V_kj en _{la lista} V y comienza de nuevo agrupando con nuevos Centros del Paso 3 (Algunos números de veces, es decir, 'j' veces, donde 1 ≤ j ≤ M_obsrv) con la misma 'K'.
Paso 9: Encuentra la varianza mínima V a_{partir de la lista} V con 'K' número de clústeres.
Paso 10: Calcular ΔV (ΔV = |V_k -_{V k-1}|, donde V_k: es la varianza con 'K' número de cúmulos y V_k-1: es la varianza con 'K-1' no de cúmulos), si ΔV es Optimizado Basado en Gradiente Cuántico (gran reducción), entonces FINISH si no aumenta K (K=K+1) y pasa al Paso 3 con nuevo 'K'.
Paso 11: Los Clusters están listos y el número óptimo de clusters es 'K'.

Algoritmo de Mapeo de Características Cuánticas

Algoritmo 1: Mapeo de características cuánticas

Entradas: P apunta cada uno de los estados cuánticos |ψ〉 y |Φ〉
Salida: Una estimación de | 〈 ψ | Φ〉 |²
Pasos del algoritmo:
Paso 1: Tomamos un qubit y lo inicializamos por cero; aplicar la puerta de Hadamard y rotarla desde la base Z hasta el eje X.
Step 2: Establecemos φ (0 ≤ φ ≤ π ) en radián según el valor del punto de datos respecto a la característica 1.
φ = 2*rad(^cos-1)(d₀)), donde d₀ representa los valores de datos de la característica 1 y d₀ ∈ [0, 1].
Paso 3: Fijamos θ (0 ≤ θ ≤ π ) en radián según el valor del punto de datos respecto a la característica 2.
θ = 2 * rad(^cos-1(d₁)), donde d₁ representan los valores de datos de las características 2 y d₁ ∈ [0, 1].
Paso 4: Usamos la puerta cuántica U3 para implementar las rotaciones que codifican las características de los puntos de datos.

Esto rota el qubit Φ radian respecto al eje x positivo y θ radian respecto al eje z positivo.

Comparación del algoritmo de estados cuánticos

Algoritmo 2: Comparando estados cuánticos

Entradas: Dos qubits, |_{q 1}〉 y |_{q 2}〉, cada uno de los estados cuánticos: |ψ〉 y |Φ〉
Salida: Una estimación de | 〈ψ|Φ〉 |²
Pasos del algoritmo:
Paso 1: Considerar el qubit A como ancilla e inicializarlo por estado |0〉
Paso 2: Aplicar la puerta de Hadamard en el qubit A
Paso 3: Aplicar CSWAP en el qubit |_{q 1} 〉 y |_{q 2} 〉 (en el estado|ψ〉 y |Φ〉), con A como qubit de control
Paso 4: Aplicar la puerta de Hadamard en el qubit A
Paso 5: Mide A en base a Z y registra el resultado de la medición como M
devolución M como nuestra estimación de | 〈 ψ|Φ 〉 |²

Algoritmo de estimación cuántica de distancias para k-medias Algoritmo de agrupamiento

Algoritmo 3: Estimador de Distancia Cuántica y Elección de un nuevo Centroide de Clúster

Entradas: P número de puntos de datos y K número de centroides de clúster, cada uno de los estados cuánticos |ψ〉 y |Φ〉
Salida: Nuevo centroide agrupado asociado con los puntos de datos
Pasos del algoritmo:
para i en que va de 1 a P:
Elige^el punto de datos y góstratelo en |_{q i} 〉
para j en el rango del 1 a K:
Elige j^el centroide agrupado y ponlo en |_{q j} 〉
Comparar estados cuánticos |_{q i} 〉 y |_{q j} 〉 es decir, i^ésimo qubit^{con j} éstem centroide y registrar la medición en M como (M_{, i}, j)
fin para
Encuentra la distancia mínima (M_min , min) de M y el conjunto min es el nuevo centroide de |q_i 〉 y grávala como C_i
fin para
devolución C como nuestra nueva lista de centroides

M= lista de todas las distancias del centroide agrupado desde |_{q i} 〉 i-ésimo qubit
C = lista de todos los centroides agrupados de distancia mínima recién calculados C_i de |q_i 〉; ∀_{(i∈{1,...,P})}

Algoritmo de selección inicial del centroide

Algoritmo 4: Calcular los puntos iniciales del centroide usando la proporción de probabilidad de las distancias entre los puntos de datos

Entradas: m no de puntos de datos (X₁, X₂,...,X_m), cada uno de los estados cuánticos |ψ〉 y |Φ〉
Salida: devolver un conjunto S con K centroides iniciales
Pasos del algoritmo:
Paso 1: Elige un punto X al azar de los puntos de datos X_i (1 ≤ i ≤ m) y añádelo al conjunto S
Paso 2: Para todo X_i, calcular la distancia entre X_i usando el Estimador de Distancia Cuántica y el centro más cercano en S y establecer la distancia como_{D dist}(X_i)
Paso 3: Elige un número Y de forma uniforme entre 0 y D_dist(X₁)² + D_dist (X₂)² + ...+ D_dist (X_m)²
Paso 4: Encontrar un entero único i tal que
D_dist (X₁)² + D_dist (X₂)² + ...+ D_dist (X_i)² >= Y >_{D dist} (X₁)² + D_dist (X₂)² + ...+ D_dist (X_i-1)²
Paso 5: Añadir X_i a S
Paso 6: Hasta que se encuentren los centroides K, repite los pasos 2 – 4

devolución S como puntos del centroide inicial

Algoritmo de cálculo de varianza cuántica

Algoritmo 5: Calcular la varianza cuántica

Entradas: P no de puntos de datos, cada uno de los estados cuánticos | ψ〉 y |Φ〉
Salida: devuelve la varianza de los puntos de datos
Pasos del algoritmo:
totalVarianza ← 0
para i en que va de 1 a K:
Elige^el centroide agrupado i y ponlo en |_{q i} 〉
totalVariancei ← 0, M ← 0
por todo j ∈ P, asociado al centroide del clúster i:
Elige j^el punto de datos y ponlo en |_{q j} 〉
Comparar estados cuánticos |_{q i} 〉 y |_{q j} 〉 es decir, i^el centroide^{con j} ésimo punto de datos y registrar la medición en_{M j}
M ← M + Mj
fin para
_{totalVariance i} ← [C_i es el i^ésimo grupo; |C_i | no es de puntos de datos^{en el i} clúster, D_k es el punto de datos ∈ C_i &_{M k}
es la distancia entre el centroide de C_i y D_k]
totalVariance ← totalVarianza + totalVarianciai
fin para
total de retorno Varianza

Algoritmo de optimización basado en gradiente cuántico (Obtención óptima del número de clústeres)

El paso de optimización basado en gradiente cuántico determina el número óptimo de conglomerados monitorizando cómo cambia la varianza intra-clúster a medida que K aumenta. Calcular la varianza para valores consecutivos de K y evaluar el cambio entre ellos. Cuando la reducción de la varianza cae por debajo del umbral predefinido, los clústeres adicionales ya no mejoran la compacidad y se selecciona el K correspondiente como óptimo. Este criterio basado en la curvatura garantiza que el agrupamiento se detenga en el punto donde se captura la estructura natural de los datos sin sobreparticionar.

Algoritmo 6: Optimización basada en gradientes cuánticos

Entradas:
Un circuito cuántico parametrizado QC(θ) con una sola puerta de rotación de qubit_{R Y}(θ).
Un observable cuántico = Z (valor esperado de Pauli-Z).
Un rango de valores de parámetros θ.
Salida: La segunda derivada f′′(θ) del valor esperado 〈Z〉 respecto a θ.
Pasos del algoritmo:
Paso 1: Inicializar un circuito cuántico de un solo qubit QC(θ) con:
Una puerta de rotación parametrizada R_Y(θ).
Medición en la base computacional (Z).
Paso 2: Definamos la función Evaluate_ Expectación(θ), es decir, f′(θ) =
Vincula el parámetro θ al circuito.
Ejecuta el circuito en un simulador cuántico con N disparos.
Mide las probabilidades de resultado P(0) y P(1).
Calcular el valor esperado:
f(θ)=P(0)−P(1)
Paso 3: Calcular la segunda derivada usando la regla del desplazamiento de parámetro:
Establezca el valor de desplazamiento s =
Calcular los valores esperados en los puntos desplazados:
f(θ+s), f(θ), f(θ−s)
Calcula la segunda derivada:
f ′′(θ) =
Paso 4: f ′′(θ) para analizar el comportamiento de reducción de varianza.

Los detalles de implementación del enfoque propuesto de agrupamiento cuántico se proporcionan en la Tabla 2. La tabla especifica las funciones ejecutables y APIs utilizadas en cada etapa del algoritmo, incluyendo la codificación de características en circuitos cuánticos, la ejecución de la prueba SWAP para estimación de distancias, la inicialización del centroide, la reasignación iterativa del clúster y la evaluación de varianza/ΔV. También se listan parámetros de ejecución de circuitos, como el uso de SamplerV2 con el backend de AerSimulator a 1024 disparos y el nivel 1 de optimización de transpilación. Además, la tabla detalla los métodos de visualización aplicados para generar diagramas de dispersión PCA, diagramas de varianza e histogramas, así como las métricas de evaluación de agrupamiento (silhouette_score, calinski_harabasz_score y davies_bouldin_score). Al detallar funciones y APIs específicas a nivel de comando, la tabla garantiza la reproducibilidad de todos los pasos computacionales en el algoritmo propuesto.

Resultados

Un buen cúmulo dependerá de varios factores, como la distancia de separación entre conglomerados, dentro de la distancia del clúster, el criterio de razón de varianza, etc. Por tanto, el rendimiento en agrupamiento se evaluó utilizando tres índices estándar: el Score Silhouette, el Índice Calinski-Harabasz (Índice CH) y el Índice Davies-Bouldin (Índice DB). La Puntuación...

Discusión

Este estudio propone un novedoso algoritmo híbrido de agrupamiento cuántico de K-Means con detección óptima de clústeres, diseñado específicamente para clasificar muestras cancerosas y no cancerosas utilizando datos de expresión génica de alta dimensión. El enfoque integra el mapeo cuántico multi-características, la estimación cuántica basada en pruebas de intercambio y la optimización basada en gradientes cuánticos para determinar dinámicamente el número óptimo de clúst...

Materiales

Lista de materiales utilizados en este artículo

Nombre	Empresa	Número de catálogo	Comentarios
Apple MacBook Pro (chip M1)	Apple Inc.	-	8 núcleos CPU / 8 núcleos GPU, 16? GB unified memory & mdash; Utilizado para simulación local
Conjunto de datos de expresión génica para el cáncer de mama	Kaggle	-	Conjunto de datos con 569 muestras, 32 características (reducidas mediante PCA en el estudio)
macOS Monterey (Sistema operativo)	Apple Inc.	12.6.9	Entorno de ejecución utilizado en una máquina local
matemáticas (biblioteca estándar de Python)	Fundación de Software Python	Empotrado	Funciones matemáticas básicas
Matplotlib	Comunidad Matplotlib	3.8.4	Trazado y visualización
NoiseModel, QuantumError, ReadoutError (Qiskit Aer)	Proyecto IBM / Qiskit	parte de Aer 0.13.3	Utilizado para simular ruido cuántico realista
NumPy	Desarrolladores NumPy	1.26.4	Operaciones numéricas y manipulación de matrices
Pandas	Equipo de desarrollo de Pandas	2.2.2	Manejo de datos, E/S, operaciones tabulares
Python	Fundación de Software Python	3.10.12	Lenguaje de programación, utilizado en el entorno Jupyter / IPython
Qiskit Aer	Proyecto IBM / Qiskit	0.13.3	Backend de simulador, con modelado y ejecución de ruido
Qiskit IBM Runtime – Sesión, SamplerV2	Proyecto IBM / Qiskit	0.41.1	Marco de ejecución para circuitos en simulador
Qiskit Terra	Proyecto IBM / Qiskit	0.45.0	Marco cuántico para la construcción y transpilación de circuitos
scikit-learn	Desarrolladores de scikit-learn	1.4.2	PCA, métricas de clustering, preprocesamiento de datos