Análisis espaciotemporal de campos termoelásticos acoplados en silicio reforzado con fibras anisotrópicas utilizando un método de valores propios

Resumen

Este estudio analiza campos termoelásticos acoplados en silicio reforzado con fibra anisotrópico utilizando un método de modo normal y de valores propios. Los resultados muestran decaimiento espacial y evolución del campo dependiente del tiempo, con una fuerte sensibilidad a la anisotropía. Los mapas de calor ilustran la distribución y localización del campo.

Resumen

Este estudio investiga un sistema termoelástico acoplado en un medio semiconductor de silicio reforzado con fibra anisotrópica, con el objetivo de captar la interacción entre los campos térmico, portador y mecánico. Estos materiales anisotrópicos reforzados con fibra desempeñan un papel crucial en aplicaciones modernas de ingeniería, incluyendo dispositivos microelectrónicos y optoelectrónicos, tecnologías basadas en láser, sensores y estructuras compuestas avanzadas, donde se requieren propiedades direccionales y un rendimiento mecánico mejorado. Son especialmente importantes en el diseño de componentes semiconductores sometidos a cargas térmicas y ópticas, donde la predicción precisa del comportamiento del campo acoplado es esencial para la fiabilidad y la optimización del rendimiento. Las ecuaciones gobernantes se formulan basándose en el modelo físico acoplado y posteriormente se transforman en una forma adimensional para simplificar el análisis y resaltar la influencia relativa de los parámetros implicados. El problema se resuelve utilizando una técnica de modo normal y se reduce a un sistema diferencial vectorial-matriz de primer orden, seguido de un enfoque de valores propios para obtener soluciones analíticas que satisfagan las condiciones de frontera impuestas dentro de un dominio semiinfinito. Se realiza un análisis numérico para examinar el efecto de la variación temporal en todos los campos físicos, revelando una fuerte atenuación espacial y un comportamiento acoplado gobernado por anisotropía y refuerzo de fibras. Se utilizan representaciones de mapas de calor espaciotemporales para visualizar la evolución y localización de los campos, proporcionando una visión física de las interacciones multifísicas y demostrando la eficacia del enfoque analítico.

Introducción

La termo-fotoelasticidad ha surgido como un importante campo multidisciplinar que describe la interacción entre los efectos térmicos, mecánicos y ópticos en materiales semiconductores bajo excitación fototérmica. El acoplamiento entre estos campos se vuelve especialmente notable en aplicaciones modernas que involucran el calentamiento láser y la excitación óptica. Por ejemplo, Saeed¹ investigó las interacciones termoelásticas en semiconductores utilizando modelos hiperbólicos de dos temperaturas, demostrando la importancia de los efectos de relajación térmica para predecir con precisión el comportamiento del sistema. La respuesta termomecánica de los compuestos reforzados con fibras también ha atraído considerable atención debido a su mayor resistencia mecánica y propiedades anisotrópicas. Li y Lambros² analizaron el comportamiento termomecánico dinámico de estos compuestos, destacando su idoneidad para aplicaciones avanzadas de ingeniería. De manera similar, Kalkal et ^al.3 estudiaron deformaciones bidimensionales (2D) en medios reforzados con fibras graduadas funcionalmente rotativas bajo campos magnéticos, mostrando la fuerte influencia de la anisotropía y los efectos externos en la respuesta del sistema. Además, Pitarresi et ^al.4 examinaron el papel de la heterogeneidad macroscópica en el comportamiento termoelástico, subrayando la necesidad de un modelado preciso de materiales compuestos. Los desarrollos recientes han extendido estos estudios a medios semiconductores con efectos multifísicos acoplados. Mondal et ^al.5 investigaron la propagación de ondas en semiconductores reforzados considerando respuestas de memoria y campos magnéticos, revelando interacciones complejas acopladas. Estudios experimentales, como los de Akai et ^al.6, han evaluado el daño por fatiga en compuestos reforzados con fibra utilizando variaciones termoelásticas de temperatura, confirmando su importancia práctica. Además, se han empleado enfoques micromecánicos para estimar propiedades termoelásticas efectivas, como demuestran Lu et ^al.7. La influencia de la carga externa y las condiciones ambientales también ha sido ampliamente estudiada. Barak y^{Dhankhar 8} analizaron la carga inclinada en medios reforzados con fibras graduadas funcionalmente, mientras que Kundu y^{Kalkal 9} examinaron las interacciones fototérmicas bajo gravedad y cargas térmicas en movimiento. Chaudhary et ^al.10 investigaron propiedades dependientes de la temperatura utilizando modelos de retardo de doble fase, y Pandit et ^al.11 aplicaron modelos de deformación de orden fraccionario para capturar el comportamiento de deformación no local. Estos estudios destacan la importancia de considerar condiciones realistas de carga y materiales en el análisis termoelástico.

También se han explorado fenómenos dinámicos y relacionados con vibraciones en sistemas semiconductores. Song et ^al.12 estudiaron vibraciones fototérmicas en estructuras semiconductoras, mientras que Mondal y Sur¹³ analizaron la propagación de ondas en medios ortotrópicos con efectos de memoria. Los efectos viscoelásticos y microestructurales han sido considerados por Abouelregal et ^al.14, y los efectos de calentamiento tipo rampa han sido investigados por Hobiny et ^al.15. Además, modelos termoelásticos generalizados como la teoría del retraso trifásico han sido desarrollados por Zenkour¹⁶ para mejorar la precisión de la predicción. Modelos multifísicos avanzados que incorporan efectos electromagnéticos y micropolares han enriquecido aún más la comprensión del comportamiento termo-fotoelástico. Al-Hazaemh et ^al.17 estudiaron la excitación fotoelectro-magneto-termoelástica en medios semiconductores rotatorios, mientras que Nazir y Kumar¹⁸ analizaron interacciones termoelásticas micropolares. Song et ^al.19 también examinaron las interacciones termoelásticas no disipativas, y Nasr y^{Abouelregal 20} investigaron los procesos de absorción de luz en semiconductores con cavidades. Los modelos no locales y de orden fraccionario han desempeñado un papel crucial en desarrollos recientes. Gupta et ^al.21 estudiaron la excitación fototérmica en medios porosos no locales, mientras que Hobiny y^{Abbas 22} analizaron la propagación de ondas de orden fraccionario en semiconductores. Hafed y Zenkour²³ investigaron los efectos de carga inclinada, y Oliinyk et ^al.24 examinaron los efectos termoelásticos no estacionarios. El comportamiento funcionalmente graduado de semiconductores bajo excitación láser también fue explorado por Awwad et ^al.25, mientras que Gupta et ^al.26 investigaron el acoplamiento termo-piezo-fotoeléctrico con modelos dependientes de la memoria. Greene y Patterson²⁷ y Barone y Patterson²⁸ han establecido enfoques experimentales clásicos que combinan técnicas térmicas y ópticas, proporcionando métodos fiables para el análisis de tensiones. Además, Kaur y^{Singh 29} desarrollaron modelos no locales dependientes de la memoria para resonadores semiconductores, y Abbas et ^al.30 analizaron interacciones fototérmicas con conductividad térmica variable. Lu et ^al.31 realizaron investigaciones experimentales y numéricas de membranas compuestas reforzadas, mientras que Purkait y^{Kanori 32} estudiaron respuestas de memoria en medios rotativos reforzados con fibras. Abo-Dahab et ^al.33 examinaron más a fondo la reflexión de ondas en medios termoelásticos reforzados con fibras bajo condiciones de carga. Más recientemente, se han propuesto modelos termoelásticos avanzados fraccionales y no locales para describir materiales complejos. Abouelregal et ^al.34 investigaron las respuestas térmicas en tejidos biológicos utilizando modelos fraccionarios, mientras que Selvamani et ^al.35,36 estudiaron la propagación de ondas no locales y el comportamiento de vibración en nanohaces. Además, modelos de retardo de doble fase y viscoelásticos han sido aplicados a microestructuras por Abouelregal et ^al.37, y se han desarrollado formulaciones termoelásticas fraccionarias con núcleos^{de memoria 38,39} para capturar fenómenos complejos acoplados.

A pesar de estos extensos avances, la mayoría de los estudios existentes se centran principalmente en soluciones analíticas o numéricas sin proporcionar una visualización espaciotemporal detallada de los campos físicos. En muchas aplicaciones prácticas, especialmente en medios semiconductores anisotrópicos reforzados con fibra, la respuesta del sistema depende en gran medida tanto de variaciones espaciales como temporales, por lo que la visualización es esencial para una interpretación precisa. Además, aunque los enfoques numéricos y experimentales ofrecen valiosas perspectivas, los métodos analíticos basados en técnicas de modo normal y de valores propios ofrecen ventajas significativas en problemas que involucran dominios semi-infinitos y sistemas multifísicos acoplados. Estos enfoques permiten soluciones en forma cerrada, proporcionando una comprensión física más profunda de los mecanismos de propagación, atenuación y acoplamiento de ondas, y sirven como referencias fiables para validar resultados numéricos y experimentales.

En el presente trabajo, se presenta una investigación exhaustiva del comportamiento termoelástico acoplado en un medio semiconductor anisotrópico reforzado con fibras. La novedad de este estudio radica en integrar un enfoque analítico basado en valores propios con la visualización de mapas de calor espaciotemporales para proporcionar una visión más profunda de la evolución y localización de campos físicos. El objetivo de este trabajo es analizar la influencia de la anisotropía y el refuerzo de fibras en la interacción entre campos térmico, mecánico y portador, y demostrar la aplicabilidad del método propuesto para interpretar fenómenos multifísicos complejos relevantes para aplicaciones modernas de ingeniería como dispositivos semiconductores, sensores y tecnologías basadas en láser.

Protocolo

Este estudio se basa íntegramente en modelado teórico y simulaciones numéricas, y no involucra a participantes humanos, sujetos animales ni especímenes biológicos. Por lo tanto, no se requería la aprobación ética ni el consentimiento informado.

Formulación matemática de la fototermoelasticidad en medios anisotrópicos reforzados con fibras
El presente estudio consideró un semi-espacio semiconductor anisotrópico 2D reforzado con fibra sometido a excitación óptica superficial. El medio ocupaba la región x ≥ 0, donde el límite en x = 0 representa la superficie expuesta. El sistema de coordenadas se definió de modo que el eje x se extendía hacia el medio, mientras que el eje y se situaba a lo largo de la superficie y describía el comportamiento en el plano. Se asumía que el material era homogéneo pero anisotrópico debido a la presencia de fibras de refuerzo alineadas, lo que introducía dependencia direccional en las propiedades elásticas y de acoplamiento. La absorción óptica en la superficie generaba calentamiento localizado y portadores de carga en exceso, lo que conducía a una interacción totalmente acoplada entre campos térmico, mecánico y portador. En consecuencia, el estado del sistema se describía mediante la temperatura θ(x, y, t) (K), la densidad de portadores N (x, y, t) (^m-3) y los componentes de desplazamiento u (x, y, t) y v (x, y, t)(m), bajo la suposición de pequeñas deformaciones. Un esquema del dominio físico, el sistema de coordenadas, la orientación de la fibra y la excitación óptica aplicada se ilustra en la Figura 1. Todos los cálculos simbólicos y numéricos se realizaron usando Wolfram Mathematica (Versión 12.0).

Figura 1. Representación esquemática del medio semi-infinito de semi-fibra reforzado con fibra sometido a excitación óptica en el límite x = 0. Se muestra el sistema de coordenadas (x, y), con la orientación de la fibra alineada a lo largo de la dirección x (a = (1, 0)), ilustrando la configuración geométrica y la anisotropía dependiente de la dirección del medio. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

La relación constitutiva para el tensor de tensiones en un medio semiconductor termoelástico anisotrópico reforzado con fibras se expresó en forma general usando la Ecuación 1 ^1,5. En esta formulación, θ denota el incremento de temperatura relativo a la temperatura de referencia T₀, mientras que T representa la temperatura absoluta cuando sea aplicable.

.   (1)

Aquí, C_ijkl son los coeficientes de rigidez elástica, e_kl es el tensor de deformación, y β_ij y η_ij representan respectivamente los tensores termoelásticos y de acoplamiento portador. En presencia de refuerzo de fibra, la respuesta del material se volvía dependiente de la dirección y estaba gobernada por el vector de orientación de la fibra a = (a_i), lo que introdujo contribuciones anisotrópicas tanto en los términos elásticos como en los de acoplamiento. En consecuencia, la relación constitutiva se amplió para incorporar explícitamente el efecto del refuerzo de fibras como ^2,3:

. (2)

Aquí, λ y μ_τ son las constantes de Lamé, y μ_L es el módulo de corte longitudinal a lo largo de la dirección de la fibra. El parámetro α representa los efectos de refuerzo de la fibra y es distinto de α_ij, que denotan coeficientes de expansión térmica. El vector unitario definió la orientación de la fibra e introdujo dependencia direccional en la respuesta tensión-deformación. Para la presente formulación 2D, se asumió que las fibras estaban alineadas a lo largo del eje x; por lo tanto, el vector de orientación se tomó explícitamente como A = (1, 0). Esta especificación proporcionó una parametrización clara de la dirección de la fibra y aseguró que las contribuciones anisotrópicas se incorporaran de forma consistente en las ecuaciones de gobierno, abordando directamente el comportamiento direccional inducido por el refuerzo de la fibra. Para la configuración 2D actual, los componentes de tensión que lo gobernan se redujeron a:

, (3)

, (4)

. (5)

Estas ecuaciones ilustran la influencia combinada de la anisotropía, el refuerzo de fibras y los efectos de acoplamiento multifísico. Los coeficientes β_ij y η_ij se definieron en términos de los parámetros del material de la siguiente manera:

,

,

,

.

Aquí, los coeficientes A_ij representan las constantes elásticas efectivas del medio anisotrópico reforzado con fibra y se definieron de la siguiente manera:

. (6)

Aquí, λ, μ_L y μ_T son las constantes elásticas del medio reforzado con fibras anisotrópicas, mientras que α_ij y ξ_ij representan respectivamente los coeficientes térmico y de expansión de portadores. La propagación de ondas elásticas en medios semiconductores termoelásticos se regía por el principio de conservación del momento lineal, que formaba la base del análisis termoelástico dinámico. En ausencia de fuerzas corporales, la ecuación general de movimiento para un continuo deformable se expresa de la siguiente manera basada en ^1,15:

. (7)

Aquí, ρ es la densidad de masa y σ_ij es el tensor de esfuerzo. En el presente estudio, la formulación se restringió a una configuración 2D en el plano x - y , y el campo de desplazamiento se representó por u(x, y, t) y v(x, y, t). Siguiendo las formulaciones estándar en medios termofotoelásticos, las ecuaciones de movimiento que gobernan en dos dimensiones se escribieron de la siguiente manera:

, (8)

. (9)

Sustituyendo las relaciones constitutivas anisotrópicas reforzadas con fibra en las ecuaciones anteriores, se obtuvo el sistema acoplado resultante de ecuaciones en derivadas parciales (ED) de la siguiente manera:

, (10)

. (11)

Aquí, los subíndices denotan la diferenciación parcial respecto a variables espaciales y temporales. Estas ecuaciones destacan la influencia acoplada de la anisotropía, el refuerzo de fibra, los gradientes de temperatura y la difusión de portadores en la respuesta dinámica del medio. En presencia de excitación óptica, el campo térmico dentro del semiconductor estaba fuertemente influenciado por la interacción con la densidad de portadores y la deformación mecánica, resultando en un proceso de transporte de energía totalmente acoplado. A diferencia de la conducción térmica clásica, la evolución de la temperatura en estos medios estaba gobernada por términos adicionales de fuente derivados de la recombinación de portadores y efectos termoelásticos, que alteraban significativamente las características de propagación del calor. La ecuación de conducción térmica en el marco de la termoelasticidad generalizada se expresó de la siguiente^{manera: 16,20}:

. (12)

Aquí, C_E es el calor específico a deformación constante, que representa la capacidad térmica del material, y T₀ denota la temperatura absoluta de referencia del medio en su estado de equilibrio. Para la configuración 2D actual, esta ecuación se redujo a^16,20:

. (13)

Esta ecuación demuestra que el campo de temperatura se vio afectado no solo por la conductividad térmica direccional, sino también por la recombinación de portadores a través del término , así como por la deformación dependiente del tiempo mediante los términos de acoplamiento termoelástico. Esta formulación capturó las interacciones multifísicas esenciales que rigen la transferencia de calor en el semiconductor anisotrópico reforzado con fibra y destacó el papel tanto de la dinámica de portadores como de la respuesta mecánica en la modificación del comportamiento térmico del sistema. Cuando un medio semiconductor fue sometido a excitación óptica, se generó un número significativo de portadores de carga debido a la absorción de radiación incidente. Estos portadores sufrían procesos de transporte que incluían difusión espacial, recombinación y generación térmica, todos ellos inherentemente ligados al campo de temperatura dentro del material. En consecuencia, la densidad de portadores se convirtió en una de las variables clave que gobiernan la respuesta termoelástica acoplada.

En la formulación actual, la evolución de la concentración de portadores se describió mediante un equilibrio entre mecanismos de difusión, efectos de decaimiento y procesos de activación térmica, lo que llevó a la siguiente relación^{gobernante: 1,5}"

. (14)

Aquí, D_E representa el coeficiente de difusión de portadora y es el operador laplaciano 2D en el plano x - y. El término tiene en cuenta los efectos de recombinación con tiempo de relajación τ, mientras que k es el coeficiente de acoplamiento termoportador definido como , que caracteriza la sensibilidad de la concentración de portadores de equilibrio N₀ a variaciones de temperatura. Esta relación destaca el papel de la temperatura como mecanismo impulsor para la generación de portadores y establece un acoplamiento directo entre los campos térmico y electrónico en el medio semiconductor anisotrópico reforzado con fibra.

Se han establecido las ecuaciones gobernantes y la formulación matemática del sistema portador fototermoelástico acoplado. Los parámetros físicos y materiales correspondientes al medio de silicio (Si) se resumen en la Tabla 1, junto con sus valores numéricos, unidades y referencias correspondientes. Estos parámetros se utilizan posteriormente en los cálculos numéricos y en el proceso de no dimensionalización.

Símbolo	Valor	Unidad	Referencia
λ	3,64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5,46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3,20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
K11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2.5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
11 α	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
22 α	3.5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2,16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1,28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220,90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (sin dimensiones)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (sin dimensiones)	15
N₀	1	— (sin dimensiones)	15

Tabla 1. Propiedades y parámetros del material utilizados en el análisis numérico del medio semiconductor anisotrópico reforzado con fibras. Todas las cantidades se expresan en unidades SI, salvo que se especifique lo contrario. Los parámetros adimensionales se indican en consecuencia. Los valores listados corresponden a las propiedades de materiales basados en silicio y a los parámetros del modelo empleados en los computos actuales, obtenidos de las referencias citadas. El coeficiente de acoplamiento termoportador κ se define como κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), siguiendo las formulaciones estándar en modelos de semiconductores termofotoelásticos.

Formulación no dimensional del modelo fototermoelástico anisotrópico acoplado
Para simplificar las ecuaciones de gobierno y obtener una representación no dimensional consistente del sistema termoelástico acoplado, se introdujeron escalas características apropiadas para las coordenadas espaciales x, y, tiempo t, componentes de desplazamiento u, v, temperatura T, densidad de portadores N y esfuerzos σ. Estos parámetros de escalado se seleccionaron de forma consistente en función de las propiedades físicas intrínsecas del medio y los mecanismos de acoplamiento entre campos térmico, mecánico y portador, siguiendo formulaciones establecidas reportadas en la literatura^16,21. En consecuencia, las variables adimensionales se definieron de la siguiente manera:

, , , , , , .

Esta transformación redujo el número de parámetros independientes del material y proporcionó una representación normalizada del sistema acoplado. Sustituyendo las variables adimensionales anteriores en las ecuaciones gobernantes previamente derivadas, el sistema se reescribió en forma no dimensional. Para simplificar, la notación prima asociada a las variables adimensionales fue posteriormente omitida. Este procedimiento produjo un conjunto compacto de ED parciales adimensionales, que pueden escribirse en la siguiente forma:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Tras aplicar la transformación no dimensional, los componentes de tensiones del sistema se escribieron en la siguiente forma normalizada:

, (19)

, (20)

. (21)

Los parámetros adimensionales a_i se introdujeron para representar combinaciones compactas de las propiedades físicas y materiales que rigen el comportamiento fototermoelástico anisotrópico acoplado. Cada coeficiente reflejaba un mecanismo de interacción específico dentro del sistema y proporcionaba una visión sobre la influencia relativa de los procesos físicos subyacentes. representa la relación entre la rigidez normal del acoplamiento y la rigidez elástica principal, reflejando el grado de interacción anisotrópica entre los dos componentes de desplazamiento. caracteriza la contribución relativa de la deformación transversal al componente de esfuerzo normal. mide la variación direccional del acoplamiento termoelástico, indicando anisotropía en los efectos de expansión térmica. describe la influencia anisotrópica de la densidad de portadores en la deformación elástica inducida. representa la rigidez de corte normalizada y cuantifica la contribución de la deformación cortante en relación con la deformación normal. tiene en cuenta el acoplamiento combinado entre la deformación normal y la de cizalladura en las ecuaciones de desplazamiento que lo gobiernan. expresa la relación entre rigidez transversal y rigidez por cizallamiento, destacando el comportamiento anisotrópico de deformación. representa el parámetro inercial normalizado, relacionando los efectos de propagación de las ondas con la rigidez al corte. caracteriza el acoplamiento entre gradientes de desplazamiento en diferentes direcciones espaciales. cuantifica la contribución relativa de los efectos térmicos al campo de desplazamiento en la dirección transversal. mide el efecto de la deformación inducida por portadores en relación con la rigidez cortante. : representa la anisotropía en la conductividad térmica a lo largo de diferentes direcciones espaciales. caracteriza la influencia de la recombinación de portadores en la generación de calor dentro del medio. representa el acoplamiento entre los efectos térmicos y la deformación elástica dependiente del tiempo. explica la influencia combinada de la expansión térmica anisotrópica en ambas direcciones espaciales. representa el parámetro de difusión normalizado que controla la velocidad de transporte de portadores. caracteriza la fuerza relativa de los efectos de recombinación de portadores. describe el acoplamiento entre variaciones térmicas y procesos de generación de portadores.

Solución analítica usando la técnica del modo normal
Para obtener soluciones analíticas para el sistema termoelástico anisotrópico acoplado, se empleó la técnica del modo normal debido a su eficacia para reducir los DE parciales gobernantes a un sistema más manejable de ED ordinarios. Este enfoque se utiliza ampliamente en el análisis de fenómenos de propagación de ondas, incluyendo la dispersión y la atenuación. En consecuencia, se asumieron variaciones armónicas de las variables de campo tanto en el tiempo como en la dirección espacial transversal ^1,12,23. Así, los componentes de desplazamiento, la temperatura, la densidad de portadores y la tensión se expresaron de forma exponencial de la siguiente manera:

. (22)

Aquí, ω denota la frecuencia compleja que gobierna el comportamiento temporal de los campos, mientras que a representa el número de onda asociado a la variación espacial a lo largo de la dirección y. Estos parámetros se seleccionaron para satisfacer los requisitos de estabilidad y asegurar soluciones acotadas físicamente admisibles dentro del dominio semi-infinito. Sustituyendo las formas asumidas anteriormente en las ecuaciones gobernantes no dimensionales derivadas previamente y simplificando las expresiones resultantes, el sistema acoplado original de DE parciales se redujo a un sistema de DE ordinarias respecto a la coordenada espacial , que puede escribirse de la siguiente manera:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Además, los componentes de tensiones correspondientes en el dominio transformado se escribieron de la siguiente manera:

, (27)

, (28)

. (29)

Aquí, D denota el operador diferencial . Estas ecuaciones representan la forma reducida del sistema gobernante en el dominio del modo normal y proporcionan la base para derivar la ecuación característica y construir la solución analítica general en los pasos posteriores. Los coeficientes se definieron de la siguiente manera: , , , , , , , .

Formulación de ED matricial y análisis de valores propios
Tras la aplicación de la transformación en modo normal, el sistema gobernante dado en las Ecuaciones 23–26 se redujo a un conjunto de DE ordinarias de segundo orden respecto a la coordenada espacial. Para facilitar una solución sistemática, este sistema se convirtió en un sistema equivalente de primer orden introduciendo variables auxiliares correspondientes a las primeras derivadas de las cantidades de campo. Específicamente, se definieron las siguientes variables:

, . (30)

Usando estas definiciones, las Ecuaciones 23–26 se reescribieron como el siguiente sistema de ocho ED de primer orden:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

El sistema anterior se expresó en la forma compacta de matriz A de la siguiente manera:

. (36)

El vector de estado se daba de la siguiente manera:

. (37)

y la matriz del sistema adoptó la forma explícita:

. (38)

Esta formulación transformó el sistema original en un problema de^{autovalores 1,15}. La ecuación característica se obtuvo de

. (39)

lo que da lugar a un polinomio de octavo orden que gobierna los valores propios. En una forma reducida, el polinomio característico puede escribirse como

. (40)

donde Z_i los coeficientes son funciones de los parámetros del sistema y se definen explícitamente a continuación. Los valores propios resultantes determinan el comportamiento espacial de la solución, incluyendo las características de atenuación y propagación. Solo se conservan los valores propios que satisfacen Re(m) > 0 para asegurar soluciones físicamente admisibles que decaen exponencialmente a medida que x → ∞.

. (41)

Las raíces del polinomio característico definen los valores propios m, que gobiernan el comportamiento espacial de la solución. Estos valores propios se calcularon numéricamente usando Mathematica construyendo el polinomio característico mediante la función CharacteristicPolynomial y resolviendo la ecuación algebraica resultante usando NSolve. Dado que el problema se formula en un dominio semi-infinito (x ≥ 0), solo se consideran soluciones físicamente admisibles que permanecen acotadas como x → ∞. Por tanto, solo se conservaron los valores propios que satisfacen Re(m) > 0, asegurando soluciones exponencialmente decrecientes de la forma exp(−mx) como x → ∞. Las raíces restantes fueron descartadas porque corresponden a soluciones no decrecientes o no acotadas que no son consistentes con los requisitos físicos del modelo.

Para cada valor propio retenido m, el vector propio correspondiente se obtuvo del sistema algebraico asociado

, (42)

y se expresó en la siguiente forma:

. (43)

Ampliando la ecuación matricial anterior, se obtuvo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Debido a la homogeneidad del problema de valores propios, los vectores propios se definieron hasta una constante multiplicativa arbitraria. Para obtener una representación única y consistente, se impuso una condición de normalización fijando un componente del vector propio. En el presente trabajo, el primer componente se seleccionó de modo que q₁ = 1, y los demás componentes se determinaron secuencialmente a partir del sistema de ecuaciones mencionado. Desde una perspectiva computacional, esta normalización se implementó asignando un valor unitario a un componente y resolviendo el sistema resultante de ecuaciones lineales para evaluar los componentes restantes. Este procedimiento proporcionó una forma sistemática y reproducible de calcular los vectores propios asociados a cada valor propio admisible.

. (49)

Y los demás componentes se derivan en consecuencia de las relaciones del sistema. Estos vectores propios describen las contribuciones relativas de temperatura, densidad de portadores y campos de desplazamiento dentro de cada modo. En consecuencia, la solución general del problema se construyó como una combinación lineal de los modos propios admisibles, cada uno asociado a un valor propio y su vector propio correspondiente, proporcionando así una descripción analítica completa del comportamiento fototermoelástico anisotrópico acoplado en el medio de espacio semiespacial. Por tanto, la solución general del sistema se redactó de la siguiente manera:

. (50)

Aquí, C_i son constantes determinadas a partir de las condiciones de contorno. Al expandir la expresión vectorial anterior, las variables de campo se obtuvieron de la siguiente manera:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Esta representación muestra que la solución consiste en una superposición de modos exponenciales, donde cada par de autovalores-autovectores contribuye de forma independiente a la respuesta física global. Los valores propios admisibles se seleccionan de modo que sus partes reales sean positivas, asegurando soluciones acotadas y físicamente significativas como x → ∞.

Condiciones de contorno y limitaciones físicas
Sustituyendo la solución general por las condiciones de frontera prescritas en x = 0, se obtuvo un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en función de las constantes C_i. Específicamente, cada condición de frontera (temperatura, densidad de portadores y restricciones de desplazamiento) se expresaba en términos de las expansiones en modos propios, resultando en un conjunto de ecuaciones que relacionaban los coeficientes C_i. Este procedimiento condujo a un sistema lineal que puede escribirse en forma matricial como BC = D, donde B es la matriz de coeficientes construida a partir de los componentes de los vectores propios evaluados en la frontera, C = (C₁, C₂, C₃, C₄)^T es el vector de constantes desconocidas, y se determina a partir de los valores de frontera impuestos como θ₀, N₀, y las restricciones de desplazamiento. El sistema lineal resultante se resolvió computacionalmente usando Mathematica, donde la matriz de coeficientes y el vector del lado derecho se ensamblaron explícitamente, y las constantes desconocidas se obtuvieron usando la rutina LinearSolve. Estas constantes se sustituyeron luego de nuevo en la solución general para construir las expresiones completas de los campos físicos, que posteriormente se usaron en la evaluación numérica y la representación gráfica de los resultados.

Las condiciones de frontera impuestas se dieron de la siguiente manera:

Restricción de temperatura:

. (55)

Esta condición representa una temperatura superficial armónicamente variable inducida por calentamiento óptico periódico. Actúa como la excitación térmica primaria que impulsa los procesos de transporte termoelástico acoplado y de portadores dentro del medio. La amplitud θ₀ caracteriza la intensidad de la carga térmica aplicada.

Restricción de densidad de portadoras:

. (56)

Esta condición de contorno describe la densidad de portadora fotogenerada resultante de la iluminación óptica. Refleja la excitación electrónica debida a la absorción de fotones y su modulación armónica es consistente con el campo óptico incidente.

Restricción de desplazamiento:

. (57)

Esta condición indica que el límite está restringido mecánicamente en la dirección transversal. Por tanto, no se produce desplazamiento a lo largo de la dirección v en la superficie.

Restricción de esfuerzo de cizalladura:

. (58)

Esta condición corresponde a un límite libre de tracción respecto a la tensión cortante. Garantiza que no actúen fuerzas tangenciales sobre la superficie, lo cual es consistente con un límite mecánicamente libre en la dirección tangencial. Además de las condiciones de contorno en x = 0, el requisito físico en el infinito se imponía como: asegurar soluciones físicas acotadas dentro del dominio semi-infinito. Antes de presentar los resultados numéricos, el procedimiento computacional general adoptado en este estudio se resume en la Figura 2. Los valores numéricos de los parámetros de excitación θ₀, N₀, frecuencia compleja ω y número de onda a utilizados en los cálculos se enumeran en la Tabla 1. Los parámetros listados en la Tabla 1 incluyen tanto las constantes de material dimensionales como los parámetros no dimensionales utilizados en la formulación normalizada. Para la evaluación numérica, el dominio espacial se definió como , la coordenada transversal se fijó en y = 0,6, y el dominio temporal se consideró dentro de . Estos rangos se usaban para todos los cálculos numéricos y representaciones gráficas.

Figura 2. Flujo de trabajo computacional del método propuesto. La figura ilustra la secuencia de pasos desde la formulación hasta los resultados numéricos: ecuaciones gobernantes, no dimensionalización, aplicación de la técnica de modo normal, conversión a un sistema de primer orden, formulación matricial, análisis de valores propios y vectores propios, aplicación de condiciones de frontera, determinación de constantes y generación de gráficos numéricos. Por favor, haz clic aquí para ver una versión ampliada de esta figura.

Resultados

Resultados numéricos
En esta sección se realizaron cálculos numéricos para analizar el comportamiento del sistema termoelástico acoplado de portadores en un medio semiconductor reforzado con fibra anisotrópica. El material considerado era silicio (Si), y sus parámetros físicos y materiales se enumeran en la Tabla 1. Estas constantes materiales se sustituyeron directamente en las ecuaciones de gobierno e implementaron en los cálculos numéricos para eva...

Discusión

Los resultados obtenidos proporcionan una clara visión física sobre el comportamiento termoelástico acoplado en medios semiconductores anisotrópicos reforzados con fibras. El presente estudio propone un marco analítico basado en valores propios para investigar la interacción entre la carga térmica, la generación de portadores y la deformación elástica en dichos medios. La respuesta observada está fundamentalmente gobernada por el fuerte acoplamiento entre estos procesos físicos. La absor...

Materiales

Lista de materiales utilizados en este artículo

Nombre	Empresa	Número de catálogo	Comentarios
Software computacional (análisis simbólico y numérico)	Investigación Wolfram	Se utilizó Wolfram Mathematica (versión 12.0)	Utilizado para el cálculo de valores propios, la implementación de soluciones analíticas y la evaluación numérica
Herramientas de visualización de datos (generación de contornos y mapas de calor)	Investigación Wolfram	Wolfram Mathematica (Versión 12.0) se utilizó para generar diagramas de contornos 2D y mapas de calor espaciotemporales	Utilizado para generar diagramas de contorno 2D y mapas de calor espaciotemporales
Conjunto de datos de parámetros de materiales (propiedades de semiconductores de silicio)	Diversas fuentes bibliográficas	N/A	Constantes físicas (elásticas, térmicas, relacionadas con portadores) utilizadas en los cálculos (Tabla 1)
Ordenador personal/estación de trabajo	HP	N/A	Los cálculos se realizaban en un ordenador personal estándar con Windows OS y suficiente memoria para simulaciones numéricas
Editor de ecuaciones	Microsoft  Word y MathType	N/A	Utilizado para formatear y presentar expresiones matemáticas en el manuscrito
Software de gestión de referencias	Elsevier	N/A	Utilizado para gestionar referencias y formatear citas (estilo Vancouver)