What is the exponential growth model and how does it work?

The exponential growth model simulates population growth where each individual produces new offspring at a constant reproductive rate, R, each generation. The population size increases dramatically over time following the equation NT+1 = NT + (1 + R) × NT. This model demonstrates unrestricted growth that cannot be sustained indefinitely in nature due to resource limitations.

How does the logistic growth model differ from exponential growth?

The logistic growth model incorporates carrying capacity, K, which limits population growth as resources become scarce. Populations grow initially but slow as they approach carrying capacity, creating an S-shaped curve. Unlike exponential growth, logistic growth reflects realistic population dynamics where growth rate decreases as population size increases relative to available resources.

What happens to a population when it exceeds carrying capacity in the logistic model?

When a population exceeds carrying capacity, the population size decreases in the subsequent generation. The logistic equation accounts for this by reducing growth rate as population approaches or surpasses carrying capacity. This negative feedback mechanism prevents unlimited growth and stabilizes the population near the carrying capacity limit.

How do predator and prey populations interact in the predator-prey model?

In the predator-prey model, prey populations increase when predators are scarce, but as predators consume more prey, predator populations grow. Increased predators then reduce prey populations, causing predators to subsequently decline from starvation. This creates cyclical population fluctuations where each species' growth depends on the other's population size, demonstrating interdependent population dynamics.

What role does the growth rate R play in exponential population growth?

The growth rate R represents the proportion of new offspring produced by each individual per generation. Higher R values produce larger population sizes after a fixed number of generations. In exponential growth simulations, increasing R dramatically accelerates population expansion, demonstrating how reproductive rate directly determines population trajectory independent of carrying capacity constraints.

How does initial population size affect long-term population growth?

Initial population size influences the absolute population numbers achieved after a set number of generations in exponential growth models. Larger starting populations result in proportionally larger final populations when growth rate remains constant. However, the growth pattern shape remains similar regardless of initial size, as the exponential growth rate determines the trajectory.

What parameters control how quickly a population reaches carrying capacity?

The maximum growth rate, R max, determines how quickly populations approach carrying capacity in logistic growth models. Higher R max values cause populations to reach carrying capacity faster, while lower values result in slower approach. Carrying capacity itself sets the population limit, but R max controls the speed at which populations converge to that limit.

Croissance démographique

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Avez-vous déjà réfléchi aux effets environnementaux des poissons d’élevage ou sauvages ? On peut étudier les impacts écologiques de ces pratiques, en s’intéressant à la croissance démographique. Un groupe d’individus d’une même espèce, vivant en même temps dans une région, est appelé une population.

Dans la nature, les populations de poissons croissent à un rythme élevé, lorsque les ressources sont abondantes. Cependant, la croissance de la population ralentit lorsque sa taille se rapproche de la capacité de charge, k, qui est la taille maximale de la population autorisée par les ressources d’un habitat. Ce type de croissance démographique est connu sous le nom de croissance logistique. Si nous connaissons la taille de la population de la génération actuelle, ou Nt, le taux de croissance maximal, r-max, qui est le taux de reproduction d’un individu lorsqu’il n’y a pas de concurrence, et la capacité de charge, nous pouvons utiliser la formule de croissance logistique pour estimer la taille de la population de la génération suivante.

Dans les fermes piscicoles, des ressources telles que de la nourriture et de l’oxygène supplémentaires sont ajoutées artificiellement à une zone de vie relativement petite, ce qui permet des densités de population supérieures aux capacités de charge naturelles. Cependant, la surpopulation libère un excès de biomatériaux, ce qui peut entraîner des proliférations d’algues. Si ces ressources restent élevées, les cyanobactéries ou les algues bleu-vert peuvent continuer à se diviser au même rythme de croissance. Et cette croissance ne se limite pas à une capacité d’emport. En raison de l’augmentation continue des ressources. Par conséquent, il augmente de façon exponentielle, et la taille de la génération suivante en croissance exponentielle peut être calculée à l’aide de cette formule. Les proliférations d’algues comme celle-ci appauvrissent l’oxygène dissous dans l’eau et nuisent aux poissons d’élevage et à l’écosystème autour de l’installation, ce qui nécessite des pratiques d’élevage prudentes.

La pêche des populations sauvages peut également avoir un impact sur les écosystèmes. Si les pêcheurs éliminent les individus plus rapidement que la population ne peut les reconstituer avec de nouveaux poissons, les populations deviennent plus petites et peuvent avoir du mal à rebondir si la pression de prédation se poursuit au même rythme. Cela peut, à son tour, perturber l’équilibre entre les espèces de prédateurs et de proies. Les scientifiques peuvent estimer la taille des futures populations de proies et de prédateurs, ou Vt +1 et Ct +1, respectivement, à condition de connaître les tailles actuelles des deux populations, Vt et Ct, les taux de croissance des prédateurs et des proies, f et r, et les taux d'attaque et de famine des prédateurs, a et q. En règle générale, une grande population de prédateurs réduit la taille de la population de proies. Mais alors, la plus petite réserve de proies disponibles réduira à son tour la population de prédateurs. Le fait d’avoir moins de prédateurs permet aux proies de prospérer à nouveau, et les deux populations oscilleront naturellement d’avant en arrière, au fil du temps. La règle de l’oscillation est un bon moyen de visualiser de nombreuses interactions naturelles prédateur-proie, mais, parfois, la règle ne s’applique pas.

Chez les espèces envahissantes, comme le poisson-lion dans l’Atlantique et les Caraïbes, loin de leurs eaux natales des océans Indo-Pacifique, ils n’ont pas de prédateurs naturels, et peuvent se reproduire toute l’année. Mais en tant que prédateur généraliste, ils consomment de nombreuses espèces indigènes à des taux insoutenables, modifiant de façon permanente les écosystèmes de l’Atlantique et des Caraïbes. En appliquant le modèle de croissance exponentielle, que nous avons vu dans l’exemple des algues, les scientifiques ont déterminé qu’environ un quart de la population totale de poissons-lions devrait être éliminé chaque mois, pour maintenir leur croissance durable. Par conséquent, manger du poisson-lion de l’Atlantique sauvage et d’autres espèces envahissantes comestibles favorise en fait la santé des écosystèmes.

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Croissance exponentielle de la population
- REMARQUE : Dans ces expériences, vous utiliserez un logiciel pour simuler différents types de modèles de croissance. L’hypothèse expérimentale pourrait être que si nous augmentons soit R, le taux de reproduction, soit la taille initiale de la population, NT, cela augmentera la taille de la population après 10 générations dans un modèle de croissance exponentielle par rapport aux populations témoins non manipulées. L’hypothèse nulle peut être que les populations de R et de taille initiale différentes auront la même taille de population que les groupes témoins après 10 générations.
- Pour créer un modèle de croissance exponentielle de la population, ouvrez d’abord un nouveau classeur dans Excel.
- Enregistrez le fichier dans un emplacement sécurisé et nommez-le « croissance exponentielle ».
- Étiquetez la cellule A1 « génération », et la cellule B1 « taille de la population ».
- Tapez le chiffre zéro dans la cellule A2. Cette ligne représentera la génération initiale.
- Dans la cellule A3, tapez cette formule : = 1 + A2
- Appuyez maintenant sur Entrée.
- Cliquez sur la cellule A3 et faites glisser la petite boîte dans le coin inférieur droit vers la cellule A12 pendant 10 générations.
- Tapez le chiffre deux dans la cellule B2. Cela représentera la taille initiale de la population dans le modèle.
- Étiquetez la cellule E1 « taux de croissance », et dans la cellule E2 tapez le nombre 0.05. Cette valeur représente la proportion de nouveaux descendants produits par chaque individu pour chaque génération, ou R dans le modèle de croissance exponentielle.
- REMARQUE : Dans l’équation classique de croissance exponentielle, T est la génération, et NT est le nombre d’organismes dans la génération actuelle. NT+1 sera le nombre d’individus dans la prochaine génération.
- Entrez l’équation de croissance exponentielle dans la cellule B3 comme la formule indiquée ici : = B2 + (1 + E2) * B2
- Maintenant, appuyez sur Entrée.
- Cliquez sur la cellule B3 et faites glisser le petit carré dans le coin inférieur droit vers la cellule B12 pour simuler 10 générations de croissance exponentielle.
- Pour observer les résultats, sélectionnez toutes les données, ainsi que les en-têtes, dans les colonnes A et B.
- Cliquez sur « insérer » et sélectionnez « nuage de points avec des lignes lisses et des marqueurs » dans la barre d’outils. Un nuage de points doit apparaître dans la feuille. ASTUCE : Si ce n’est pas le cas, vérifiez si une nouvelle feuille a été créée dans le classeur.
- Étiquetez l’axe Y « taille de la population » et l’axe X « génération ». Intitulez le graphique « croissance exponentielle d’une population ».
- Observez comment la population augmente dans un modèle de croissance exponentielle classique.
- Ensuite, créez le tableau 1 en étiquetant le « taux de croissance R » comme en-tête de la colonne A, et « taille de la population après 10 générations » comme deuxième colonne.
- Enregistrez la taille de la population à la génération 10 pour le taux de croissance de 0,05, le taux que nous venons de simuler.
- Maintenant, réglez le taux de croissance dans la cellule E2 à 0,1, et répétez les étapes pour générer un nouveau nuage de points.
- Enregistrer la taille de la population à la génération 10.
- Continuez à modifier le taux de croissance à l’aide des valeurs du tableau un, en remarquant comment l’axe Y change pour s’adapter aux valeurs croissantes.
- Après avoir terminé le tableau 1, réglez le taux de croissance à 0,05 et modifiez la taille initiale de la population dans la cellule B2 à 100 individus.
- Enregistrez la taille de la population à la génération 10 dans un nouveau tableau, Tableau 2.
- Procédez à la modification de la taille initiale de la population à l’aide des valeurs du Tableau 2. Une fois le tableau terminé, enregistrez la feuille Excel et fermez-la.
de croissance de la population logistique
- HYPOTHÈSES : Dans un modèle de croissance logistique, l’hypothèse expérimentale pourrait être que les populations s’approcheront de la capacité de charge et la respecteront, et que toutes les populations dont la taille est supérieure à la capacité de charge diminueront au cours de la génération suivante. L’hypothèse nulle pourrait être que la croissance démographique ne suivra pas une courbe logistique en forme de S dans les modèles logistiques, et que les générations dont la taille de la population est supérieure à la capacité de charge continueront d’augmenter ou resteront les mêmes au cours de la génération suivante.
- Pour construire un modèle logistique de croissance de la population, ouvrez une nouvelle feuille de calcul dans Excel.
- Enregistrez le fichier en tant que « croissance logistique » dans le même dossier que précédemment.
- Étiquetez ensuite la cellule A1 « génération » et B1 « taille de la population ».
- Tapez le chiffre zéro dans la cellule A2. Cette ligne représentera la génération initiale.
- Dans la cellule A3, tapez la formule : = 1 + A2
- Maintenant, appuyez sur Entrée.
- Maintenant, cliquez sur la cellule A3 et faites glisser la petite boîte dans le coin inférieur droit vers la cellule A12 pour numéroter jusqu’à la 10ème génération.
- Tapez le chiffre deux dans la cellule B2 pour représenter la taille initiale de la population.
- Étiquetez la cellule E1 comme « taux de croissance max » et la cellule F1 comme « capacité de charge ».
- Enfin, réglez le taux de croissance maximal dans la cellule E2 à 0,05. Cette valeur représentera le taux de croissance maximal que la population peut atteindre – « R max » dans l’équation logistique discrète. REMARQUE : Dans l’équation classique de la croissance logistique, le terme K représente la capacité de charge. À mesure que la taille de la population de la génération actuelle ou NT se rapproche de la capacité de charge, la croissance de la population commence à ralentir.
- Réglez maintenant la capacité de charge dans la cellule F2 à 50.
- Entrez l’équation de croissance logistique dans la cellule B3 sous la forme de la formule ci-dessous : = B2 + ((1 + E$2) * B2) * ((F$2 - B2) /F$2)
- Appuyez maintenant sur Entrée.
- Faites glisser la formule vers la cellule B12 pour l’ajouter aux 10 générations.
- Pour observer les résultats de cet exercice, mettez en surbrillance toutes les données et les en-têtes dans les colonnes A et B, puis cliquez sur « insérer » et sélectionnez « nuage de points avec des lignes lisses et des marqueurs ».
- Étiquetez la taille de la population de l’axe Y et la génération de l’axe X.
- Intitule le graphique comme croissance logistique d’une population.
- Observez la croissance de la population à mesure qu’elle approche de la capacité de charge et notez la génération que la population atteint ou dépasse la capacité de charge dans un nouveau tableau.
- Réglez maintenant le taux de croissance maximal dans la cellule E2 à 1.
- Remarquez comment la population réagit lorsqu’elle dépasse sa capacité de charge.
- Continuez à définir le taux de croissance maximal sur les valeurs du tableau 3 et enregistrez la génération à laquelle la population augmente de deux ou au-dessus de la capacité de charge.
- Réglez maintenant le taux de croissance maximal à 0,05 et réglez la capacité de charge à 1 000.
- Remarquez comment le graphique change à mesure que la croissance se rapproche de la capacité de charge.
- Faites glisser les formules de A12 et B12 vers A14 et B14.
- Ajustez le graphique pour inclure ces nouveaux points de données afin de montrer quand la population atteint sa capacité de charge.
- Enregistrez la feuille Excel et fermez-la.
prédateur-proie
- Hypothèses : Dans notre troisième simulation de la logistique prédateur-proie, l’hypothèse expérimentale pourrait être que les populations de prédateurs augmenteront à mesure que les populations de proies augmenteront et que les deux populations connaîtront une croissance et un déclin en fonction de la population des autres espèces. L'hypothèse nulle pourrait être que les deux populations présenteront des modèles de croissance sans rapport avec la taille de la population de l'autre espèce.
- Pour construire un modèle prédateur-proie, ouvrez une nouvelle feuille de calcul dans Excel.
- Enregistrez le fichier dans le même dossier que les deux autres modèles et nommez-le « modèle prédateur-proie ».
- Étiquetez la cellule A1 « temps », la cellule B1 « proie » et la cellule C1 « prédateur ».
- Dans la cellule A2, tapez zéro et appuyez sur Entrée.
- Dans la cellule A3, tapez la formule ci-dessous : = 1 + A2
- Appuyez maintenant sur Entrée.
- Faites glisser la formule vers la cellule A802 car le modèle aura besoin de nombreux points temporels pour visualiser les changements des deux populations.
- Tapez maintenant 100 dans la cellule B2 pour représenter la population de proies initiale et tapez 25 dans la cellule C2 comme population de prédateur initiale.
- Étiquetez la cellule E1 « taux de croissance des proies », la cellule F1 « consommation de proies par le prédateur », la cellule G1 « efficacité de conversion » et la cellule H1 « famine du prédateur ».
- Tapez le nombre 0.02 dans la cellule E2. Cette valeur représente le taux de croissance de l’espèce de proie ou R dans le modèle de population de proies. REMARQUE : Ici, la population de proies est représentée par VT et la population de prédateurs par CT. La valeur A est le taux d’attaque par habitant de l’espèce prédatrice sur la proie. Dans le modèle de population de prédateurs, des variables sont introduites pour les prédateurs produits par proie consommée, F ou l’efficacité de conversion, ainsi que pour le taux de famine des prédateurs noté Q.
- Tapez 0.0005 dans la cellule F2 pour le taux d’attaque à la fois dans la population de proies et dans le modèle de population de prédateurs.
- Tapez ensuite 0,8 dans la cellule G2 pour représenter l’efficacité de conversion, et 0,05 dans la cellule H2 pour le taux de famine dans l’équation de la population de prédateurs.
- Tapez maintenant l’équation de croissance de la proie dans la cellule B3 sous la forme de la formule ci-dessous : =B2+(E$2*B2)-(F$2*C2*B2)
- Appuyez sur Entrée.
- Tapez ensuite l’équation de croissance de la proie dans la cellule C3 comme la formule affichée : =C2 + (F$2*G$2*B2*C2)-(H$2*C2)
- Appuyez sur Entrée.
- Maintenez les touches Maj enfoncées et cliquez pour sélectionner les cellules B3 et C3.
- Cliquez sur la petite case dans le coin inférieur droit de la cellule B3 et faites glisser les deux formules vers le bas jusqu’à la ligne 802 pour simuler les populations de prédateurs et de proies sur 800 générations.
- Pour visualiser les données, sélectionnez toutes les données et les en-têtes dans les colonnes A, B et C.
- Cliquez sur « insérer » et sélectionnez « nuage de points avec lignes lissées ».
- Un graphique montrant l’évolution de la population du prédateur et des populations de proies devrait apparaître.
- Étiquetez l’axe Y de la taille de la population du graphique et le temps de l’axe X.
- Titre du graphique « interactions prédateur-proie ».
- Observez les interactions entre les populations de prédateurs et de proies.
- Réglez la population initiale de prédateurs à zéro et observez ce qui se passe dans le graphique.
- Règle maintenant la population initiale de prédateurs à 120 et observe ce qui arrive à la population de prédateurs lorsqu’il y a plus de prédateurs que de proies.
- Enfin, réglez la population initiale de proies à zéro et observez ce qui arrive à la population des prédateurs.
- Expérimentez avec d’autres valeurs pour voir quelles autres interactions peuvent être créées.
- Lorsque vous avez terminé, enregistrez le classeur et fermez-le.
Résultats
- Dans le modèle de croissance exponentielle construit lors de la première activité, observez la forme de la courbe de croissance de la population résultante et demandez-vous si vous pensez que ce type de croissance pourrait être soutenu dans la nature.
- Notez comment le taux de croissance R a affecté la taille de la population après 10 générations dans le modèle de croissance exponentielle.
- Considérez également comment la taille initiale de la population a affecté la taille de la population après 10 générations dans le modèle de croissance exponentielle.
- Maintenant, considérons le modèle de croissance logistique et observons la forme de ce graphique, en notant en quoi il diffère du modèle de croissance exponentielle.
- Ensuite, notez comment les populations se comportent lorsqu’elles s’approchent de la capacité de charge dans votre modèle de croissance logistique.
- Décidez si vous pensez que le taux de croissance maximal par habitant, R max, a influencé la rapidité avec laquelle les populations ont atteint leur capacité de charge dans le modèle de croissance logistique.
- Considérez également ce qui arrive à la taille de la population lorsque les populations dépassent leur capacité de charge dans le modèle de croissance logistique, ou ce qui pourrait se passer si la capacité de charge est réduite.
- Dans le modèle prédateur-proie, notez si la population de proies a réagi à l’augmentation de la population de prédateurs. À l’inverse, considérez comment les prédateurs réagissent alors à la diminution des populations de proies.