Quel est le modèle de croissance exponentielle et comment fonctionne-t-il?

Le modèle de croissance exponentielle simule croissance démographique où chaque individu produit de nouveaux descendants à un taux de reproduction constant, R, chaque génération. La taille de la population augmente considérablement au fil du temps suivant l'équation NT+1 = NT + (1 + R) × NT. Ce modèle démontre une croissance illimitée qui ne peut être maintenue indéfiniment dans la nature en raison des limitations des ressources.

Comment le modèle de croissance logistique diffère-t-il de la croissance exponentielle?

Le modèle de croissance logistique intègre la capacité de charge, K, qui limite la croissance de la population lorsque les ressources deviennent rares. Les populations croissent initialement mais ralentissent à mesure qu'elles approchent de la capacité de charge, créant une courbe en S. Contrairement à la croissance exponentielle, la croissance logistique reflète la dynamique réelle de la population où le taux de croissance diminue à mesure que la taille de la population augmente par rapport aux ressources disponibles.

Que se passe-t-il pour une population lorsqu'elle dépasse la capacité de charge dans le modèle logistique?

Lorsqu'une population dépasse la capacité de charge, la taille de la population diminue dans la génération suivante. L'équation logistique tient compte de cela en réduisant le taux de croissance lorsque la population s'approche ou dépasse la capacité de charge. Ce mécanisme de rétroaction négative empêche une croissance illimitée et stabilise la population près de la limite de capacité de charge.

Comment les populations de prédateurs et de proies interagissent-elles dans le modèle prédateur-proie?

Dans le prédateur-modèle de proie, les populations de proies augmentent lorsque les prédateurs sont rares, mais à mesure que les prédateurs consomment plus de proies, les populations de prédateurs grandissent. Les prédateurs accrus réduisent ensuite les populations de proies, provoquant une baisse subséquente des prédateurs par famine. Cela crée des fluctuations cycliques de population où la croissance de chaque espèce dépend de la taille de la population de l'autre, démontrant une dynamique de population interdépendante.

Quel rôle joue le taux de croissance R dans la croissance exponentielle de la population?

Le taux de croissance R représente la proportion de nouveaux descendants produits par chaque individu par génération. Des valeurs R plus élevées produisent des tailles de population plus importantes après un nombre fixe de générations. Dans les simulations de croissance exponentielle, l'augmentation de R accélère considérablement l'expansion de la population, démontrant comment le taux de reproduction détermine directement la trajectoire de la population indépendamment des contraintes de capacité de charge.

Comment la taille initiale de la population affecte-t-elle la croissance démographique à long terme?

La taille de la population initiale influence les chiffres absolus de la population atteints après un nombre donné de générations dans les modèles de croissance exponentielle. Les populations initiales plus importantes donnent des populations finales proportionnellement plus importantes lorsque le taux de croissance reste constant. Cependant, la forme du modèle de croissance reste similaire indépendamment de la taille initiale, car le taux de croissance exponentielle détermine la trajectoire.

Quels paramètres contrôlent la rapidité avec laquelle une population atteint la capacité de charge?

Le taux de croissance maximal, R max, détermine la rapidité avec laquelle les populations s'approchent de la capacité de charge dans les modèles de croissance logistique. Des valeurs R max plus élevées font que les populations atteignent la capacité de charge plus rapidement, tandis que des valeurs plus basses entraînent une approche plus lente. La capacité de charge elle-même fixe la limite de population, mais R max contrôle la vitesse à laquelle les populations convergent vers cette limite.

Croissance démographique

Notions clés Préparation de l’enseignant Protocole de l’étudiant

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Avez-vous déjà réfléchi aux effets environnementaux des poissons d’élevage ou sauvages ? On peut étudier les impacts écologiques de ces pratiques, en s’intéressant à la croissance démographique. Un groupe d’individus d’une même espèce, vivant en même temps dans une région, est appelé une population.

Dans la nature, les populations de poissons croissent à un rythme élevé, lorsque les ressources sont abondantes. Cependant, la croissance de la population ralentit lorsque sa taille se rapproche de la capacité de charge, k, qui est la taille maximale de la population autorisée par les ressources d’un habitat. Ce type de croissance démographique est connu sous le nom de croissance logistique. Si nous connaissons la taille de la population de la génération actuelle, ou Nt, le taux de croissance maximal, r-max, qui est le taux de reproduction d’un individu lorsqu’il n’y a pas de concurrence, et la capacité de charge, nous pouvons utiliser la formule de croissance logistique pour estimer la taille de la population de la génération suivante.

Dans les fermes piscicoles, des ressources telles que de la nourriture et de l’oxygène supplémentaires sont ajoutées artificiellement à une zone de vie

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Croissance exponentielle de la population
- REMARQUE : Dans ces expériences, vous utiliserez un logiciel pour simuler différents types de modèles de croissance. L’hypothèse expérimentale pourrait être que si nous augmentons soit R, le taux de reproduction, soit la taille initiale de la population, NT, cela augmentera la taille de la population après 10 générations dans un modèle de croissance exponentielle par rapport aux populations témoins non manipulées. L’hypothèse nulle peut être que les populations de R et de taille initiale différentes auront la même taille de population que les groupes témoins après 10 générations.
- Pour créer un modèle de croissance exponentielle de la population, ouvrez d’abord un nouveau classeur dans Excel.
- Enregistrez le fichier dans un emplacement sécurisé et nommez-le « croissance exponentielle ».
- Étiquetez la cellule A1 « génération », et la cellule B1 « taille de la population ».
- Tapez le chiffre zéro dans la cellule A2. Cette ligne représentera la génération initiale.
- Dans la cellule A3, tapez cette formule : = 1 + A2
- Appuyez maintenant sur Entrée.
- Cliquez sur la cellule A3 et faites glisser la petite boîte dans le coin inférieur droit vers la cellule A12 pendant 10 générations.
- Tapez le chiffre deux dans la cellule B2. Cela représentera la taille initiale de la population dans le modèle.
- Étiquetez la cellule E1 « taux de croissance », et dans la cellule E2 tapez le nombre 0.05. Cette valeur représente la proportion de nouveaux descendants produits par chaque individu pour chaque génération, ou R dans le modèle de croissance exponentielle.
- REMARQUE : Dans l’équation classique de croissance exponentielle, T est la génération, et NT est le nombre d’organismes dans la génération actuelle. NT+1 sera le nombre d’individus dans la prochaine génération.
- Entrez l’équation de croissance exponentielle dans la cellule B3 comme la formule indiquée ici : = B2 + (1 + E2) * B2
- Maintenant, appuyez sur Entrée.
- Cliquez sur la cellule B3 et faites glisser le petit carré dans le coin inférieur droit vers la cellule B12 pour simuler 10 générations de croissance exponentielle.
- Pour observer les résultats, sélectionnez toutes les données, ainsi que les en-têtes, dans les colonnes A et B.
- Cliquez sur « insérer » et sélectionnez « nuage de points avec des lignes lisses et des marqueurs » dans la barre d’outils. Un nuage de points doit apparaître dans la feuille. ASTUCE : Si ce n’est pas le cas, vérifiez si une nouvelle feuille a été créée dans le classeur.
- Étiquetez l’axe Y « taille de la population » et l’axe X « génération ». Intitulez le graphique « croissance exponentielle d’une population ».
- Observez comment la population augmente dans un modèle de croissance exponentielle classique.
- Ensuite, créez le tableau 1 en étiquetant le « taux de croissance R » comme en-tête de la colonne A, et « taille de la population après 10 générations » comme deuxième colonne.
- Enregistrez la taille de la population à la génération 10 pour le taux de croissance de 0,05, le taux que nous venons de simuler.
- Maintenant, réglez le taux de croissance dans la cellule E2 à 0,1, et répétez les étapes pour générer un nouveau nuage de points.
- Enregistrer la taille de la population à la génération 10.
- Continuez à modifier le taux de croissance à l’aide des valeurs du tableau un, en remarquant comment l’axe Y change pour s’adapter aux valeurs croissantes.
- Après avoir terminé le tableau 1, réglez le taux de croissance à 0,05 et modifiez la taille initiale de la population dans la cellule B2 à 100 individus.
- Enregistrez la taille de la population à la génération 10 dans un nouveau tableau, Tableau 2.
- Procédez à la modification de la taille initiale de la population à l’aide des valeurs du Tableau 2. Une fois le tableau terminé, enregistrez la feuille Excel et fermez-la.
de croissance de la population logistique
- HYPOTHÈSES : Dans un modèle de croissance logistique, l’hypothèse expérimentale pourrait être que les populations s’approcheront de la capacité de charge et la respecteront, et que toutes les populations dont la taille est supérieure à la capacité de charge diminueront au cours de la génération suivante. L’hypothèse nulle pourrait être que la croissance démographique ne suivra pas une courbe logistique en forme de S dans les modèles logistiques, et que les générations dont la taille de la population est supérieure à la capacité de charge continueront d’augmenter ou resteront les mêmes au cours de la génération suivante.
- Pour construire un modèle logistique de croissance de la population, ouvrez une nouvelle feuille de calcul dans Excel.
- Enregistrez le fichier en tant que « croissance logistique » dans le même dossier que précédemment.
- Étiquetez ensuite la cellule A1 « génération » et B1 « taille de la population ».
- Tapez le chiffre zéro dans la cellule A2. Cette ligne représentera la génération initiale.
- Dans la cellule A3, tapez la formule : = 1 + A2
- Maintenant, appuyez sur Entrée.
- Maintenant, cliquez sur la cellule A3 et faites glisser la petite boîte dans le coin inférieur droit vers la cellule A12 pour numéroter jusqu’à la 10ème génération.
- Tapez le chiffre deux dans la cellule B2 pour représenter la taille initiale de la population.
- Étiquetez la cellule E1 comme « taux de croissance max » et la cellule F1 comme « capacité de charge ».
- Enfin, réglez le taux de croissance maximal dans la cellule E2 à 0,05. Cette valeur représentera le taux de croissance maximal que la population peut atteindre – « R max » dans l’équation logistique discrète. REMARQUE : Dans l’équation classique de la croissance logistique, le terme K représente la capacité de charge. À mesure que la taille de la population de la génération actuelle ou NT se rapproche de la capacité de charge, la croissance de la population commence à ralentir.
- Réglez maintenant la capacité de charge dans la cellule F2 à 50.
- Entrez l’équation de croissance logistique dans la cellule B3 sous la forme de la formule ci-dessous : = B2 + ((1 + E$2) * B2) * ((F$2 - B2) /F$2)
- Appuyez maintenant sur Entrée.
- Faites glisser la formule vers la cellule B12 pour l’ajouter aux 10 générations.
- Pour observer les résultats de cet exercice, mettez en surbrillance toutes les données et les en-têtes dans les colonnes A et B, puis cliquez sur « insérer » et sélectionnez « nuage de points avec des lignes lisses et des marqueurs ».
- Étiquetez la taille de la population de l’axe Y et la génération de l’axe X.
- Intitule le graphique comme croissance logistique d’une population.
- Observez la croissance de la population à mesure qu’elle approche de la capacité de charge et notez la génération que la population atteint ou dépasse la capacité de charge dans un nouveau tableau.
- Réglez maintenant le taux de croissance maximal dans la cellule E2 à 1.
- Remarquez comment la population réagit lorsqu’elle dépasse sa capacité de charge.
- Continuez à définir le taux de croissance maximal sur les valeurs du tableau 3 et enregistrez la génération à laquelle la population augmente de deux ou au-dessus de la capacité de charge.
- Réglez maintenant le taux de croissance maximal à 0,05 et réglez la capacité de charge à 1 000.
- Remarquez comment le graphique change à mesure que la croissance se rapproche de la capacité de charge.
- Faites glisser les formules de A12 et B12 vers A14 et B14.
- Ajustez le graphique pour inclure ces nouveaux points de données afin de montrer quand la population atteint sa capacité de charge.
- Enregistrez la feuille Excel et fermez-la.
prédateur-proie
- Hypothèses : Dans notre troisième simulation de la logistique prédateur-proie, l’hypothèse expérimentale pourrait être que les populations de prédateurs augmenteront à mesure que les populations de proies augmenteront et que les deux populations connaîtront une croissance et un déclin en fonction de la population des autres espèces. L'hypothèse nulle pourrait être que les deux populations présenteront des modèles de croissance sans rapport avec la taille de la population de l'autre espèce.
- Pour construire un modèle prédateur-proie, ouvrez une nouvelle feuille de calcul dans Excel.
- Enregistrez le fichier dans le même dossier que les deux autres modèles et nommez-le « modèle prédateur-proie ».
- Étiquetez la cellule A1 « temps », la cellule B1 « proie » et la cellule C1 « prédateur ».
- Dans la cellule A2, tapez zéro et appuyez sur Entrée.
- Dans la cellule A3, tapez la formule ci-dessous : = 1 + A2
- Appuyez maintenant sur Entrée.
- Faites glisser la formule vers la cellule A802 car le modèle aura besoin de nombreux points temporels pour visualiser les changements des deux populations.
- Tapez maintenant 100 dans la cellule B2 pour représenter la population de proies initiale et tapez 25 dans la cellule C2 comme population de prédateur initiale.
- Étiquetez la cellule E1 « taux de croissance des proies », la cellule F1 « consommation de proies par le prédateur », la cellule G1 « efficacité de conversion » et la cellule H1 « famine du prédateur ».
- Tapez le nombre 0.02 dans la cellule E2. Cette valeur représente le taux de croissance de l’espèce de proie ou R dans le modèle de population de proies. REMARQUE : Ici, la population de proies est représentée par VT et la population de prédateurs par CT. La valeur A est le taux d’attaque par habitant de l’espèce prédatrice sur la proie. Dans le modèle de population de prédateurs, des variables sont introduites pour les prédateurs produits par proie consommée, F ou l’efficacité de conversion, ainsi que pour le taux de famine des prédateurs noté Q.
- Tapez 0.0005 dans la cellule F2 pour le taux d’attaque à la fois dans la population de proies et dans le modèle de population de prédateurs.
- Tapez ensuite 0,8 dans la cellule G2 pour représenter l’efficacité de conversion, et 0,05 dans la cellule H2 pour le taux de famine dans l’équation de la population de prédateurs.
- Tapez maintenant l’équation de croissance de la proie dans la cellule B3 sous la forme de la formule ci-dessous : =B2+(E$2*B2)-(F$2*C2*B2)
- Appuyez sur Entrée.
- Tapez ensuite l’équation de croissance de la proie dans la cellule C3 comme la formule affichée : =C2 + (F$2*G$2*B2*C2)-(H$2*C2)
- Appuyez sur Entrée.
- Maintenez les touches Maj enfoncées et cliquez pour sélectionner les cellules B3 et C3.
- Cliquez sur la petite case dans le coin inférieur droit de la cellule B3 et faites glisser les deux formules vers le bas jusqu’à la ligne 802 pour simuler les populations de prédateurs et de proies sur 800 générations.
- Pour visualiser les données, sélectionnez toutes les données et les en-têtes dans les colonnes A, B et C.
- Cliquez sur « insérer » et sélectionnez « nuage de points avec lignes lissées ».
- Un graphique montrant l’évolution de la population du prédateur et des populations de proies devrait apparaître.
- Étiquetez l’axe Y de la taille de la population du graphique et le temps de l’axe X.
- Titre du graphique « interactions prédateur-proie ».
- Observez les interactions entre les populations de prédateurs et de proies.
- Réglez la population initiale de prédateurs à zéro et observez ce qui se passe dans le graphique.
- Règle maintenant la population initiale de prédateurs à 120 et observe ce qui arrive à la population de prédateurs lorsqu’il y a plus de prédateurs que de proies.
- Enfin, réglez la population initiale de proies à zéro et observez ce qui arrive à la population des prédateurs.
- Expérimentez avec d’autres valeurs pour voir quelles autres interactions peuvent être créées.
- Lorsque vous avez terminé, enregistrez le classeur et fermez-le.
Résultats
- Dans le modèle de croissance exponentielle construit lors de la première activité, observez la forme de la courbe de croissance de la population résultante et demandez-vous si vous pensez que ce type de croissance pourrait être soutenu dans la nature.
- Notez comment le taux de croissance R a affecté la taille de la population après 10 générations dans le modèle de croissance exponentielle.
- Considérez également comment la taille initiale de la population a affecté la taille de la population après 10 générations dans le modèle de croissance exponentielle.
- Maintenant, considérons le modèle de croissance logistique et observons la forme de ce graphique, en notant en quoi il diffère du modèle de croissance exponentielle.
- Ensuite, notez comment les populations se comportent lorsqu’elles s’approchent de la capacité de charge dans votre modèle de croissance logistique.
- Décidez si vous pensez que le taux de croissance maximal par habitant, R max, a influencé la rapidité avec laquelle les populations ont atteint leur capacité de charge dans le modèle de croissance logistique.
- Considérez également ce qui arrive à la taille de la population lorsque les populations dépassent leur capacité de charge dans le modèle de croissance logistique, ou ce qui pourrait se passer si la capacité de charge est réduite.
- Dans le modèle prédateur-proie, notez si la population de proies a réagi à l’augmentation de la population de prédateurs. À l’inverse, considérez comment les prédateurs réagissent alors à la diminution des populations de proies.