6.9: Distribution uniforme

La distribution uniforme est une distribution de probabilité continue d’événements ayant une probabilité égale d’occurrence. Cette distribution est rectangulaire.

Deux propriétés essentielles de cette distribution sont

1. L’aire sous la forme rectangulaire est égale à 1.
2. Il existe une correspondance entre la probabilité d’un événement et l’aire sous la courbe.

De plus, la moyenne et l’écart-type de la distribution uniforme peuvent être calculés lorsque les seuils inférieur et supérieur, notés a et b, respectivement, sont donnés. Pour une variable aléatoire x, dans une distribution uniforme, étant donné a et b, la fonction de densité de probabilité est f(x) est calculée comme suit

Considérons les données de 55 sourires, en secondes, d’un bébé de huit semaines :

10.4, 19.6, 18.8, 13.9, 17.8, 16.8, 21.6, 17.9, 12.5, 11.1, 4.9, 12.8, 14.8, 22.8, 20.0, 15.9, 16.3, 13.4, 17.1, 14.5, 19.0, 22.8, 1.3, 0.7, 8.9, 11.9, 10.9, 7.3, 5.9, 3.7, 17.9, 19.2, 9.8, 5.8, 6.9, 2.6, 5.8, 21.7, 11.8, 3.4, 2.1, 4.5, 6.3, 10.7, 8.9, 9.4, 9.4, 7.6, 10.0, 3.3, 6.7, 7.8, 11.6, 13.8 et, 18.6. Supposons que les temps de sourire suivent une distribution uniforme entre zéro et 23 secondes incluses. Notez que zéro et 23 sont les seuils inférieur et supérieur pour la distribution uniforme des temps de sourire.

Étant donné que la distribution des temps de sourire est une distribution uniforme, on peut dire que tout temps de sourire de zéro à 23 secondes inclusivement a une probabilité égale d’occurrence. Un histogramme qui peut être construit à partir de l’échantillon est une distribution empirique qui correspond étroitement à la distribution uniforme théorique.

Pour cet exemple, la variable aléatoire x = longueur, en secondes, du sourire d’un bébé de huit semaines. La notation pour la distribution uniforme est x ~ U(a, b) où a = la valeur la plus basse (seuil inférieur) de x et b = la valeur la plus élevée (seuil supérieur) de x. Pour cet exemple, a = 0 et b = 23.

La moyenne, μ, est calculée à l’aide de l’équation suivante :

La moyenne de cette distribution est de 11,50 secondes. Le sourire d’un bébé de huit semaines dure en moyenne 11,50 secondes.

L’écart-type, σ, est calculé à l’aide de la formule :

L’écart-type de cet exemple est de 6,64 secondes.

Ce texte est adapté de Openstax, Introductions aux statistiques, Section 5.2 La distribution uniforme