6.14: Théorème central limite

Le théorème central limite, abrégé en clt, est l’une des idées les plus puissantes et les plus utiles de toutes les statistiques. Le théorème central limite pour les moyennes d’échantillon dit que si vous tirez à plusieurs reprises des échantillons d’une taille donnée et calculez leurs moyennes, et créez un histogramme de ces moyennes, alors l’histogramme résultant aura tendance à avoir une forme de cloche normale approximative. En d’autres termes, à mesure que la taille des échantillons augmente, la distribution des moyennes suit de plus près la distribution normale.

La taille de l’échantillon, n, qui doit être « suffisamment grande » dépend de la population d’origine à partir de laquelle les échantillons sont tirés (la taille de l’échantillon doit être d’au moins 30, ou les données doivent provenir d’une distribution normale). Si la population d’origine est loin d’être normale, il faut davantage d’observations pour que les moyennes ou les sommes de l’échantillon soient normales. L’échantillonnage se fait avec remplacement.

Il serait difficile d’exagérer l’importance du théorème central de la limite dans la théorie statistique. Savoir que les données, même si leur distribution n’est pas normale, se comportent de manière prévisible est un outil puissant.

La distribution normale a la même moyenne que la distribution d’origine et une variance égale à la variance d’origine divisée par la taille de l’échantillon. L’écart-type est la racine carrée de la variance, donc l’écart-type de la distribution d’échantillonnage est l’écart-type de la distribution d’origine divisé par la racine carrée de n. La variable n est le nombre de valeurs dont la moyenne est calculée, et non le nombre de fois où l’expérience est réalisée.

Ce texte est adapté de Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem.

Ce texte est adapté de Openstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit Theorem for Sample Means (Averages).