9.10: Test d'une affirmation concernant une proportion de population

Une procédure complète pour tester une affirmation concernant une proportion de population est présentée ici.

Il existe deux méthodes pour tester une affirmation concernant une proportion de population : (1) en utilisant la proportion d’échantillon obtenue à partir des données, où une distribution binomiale est approximée par la distribution normale, et (2) en utilisant directement les probabilités binomiales calculées à partir des données.

La première méthode utilise la distribution normale comme approximation de la distribution binomiale. Les conditions nécessaires sont les suivantes : la taille d’échantillon doit être suffisamment grande, la proportion p doit être proche de 0,5, le produit np (taille de l’échantillon multipliée par la proportion) doit être supérieur à 5, et les valeurs critiques doivent pouvoir être déterminées à partir de la distribution z. De plus, les échantillons doivent être aléatoires, sans biais, et les données doivent être de nature binomiale, c’est-à-dire avec seulement deux résultats possibles (par exemple, succès ou échec ; sélectionné ou non sélectionné ; vrai ou faux, etc.). Puisqu’une proportion est par définition de nature binomiale, cette méthode est particulièrement appropriée pour tester une affirmation par le test d’hypothèse concernant une proportion de population.

Dans un premier temps, les hypothèses (nulle et alternative) doivent être clairement formulées et exprimées symboliquement. La proportion p utilisée dans les hypothèses représente la proportion supposée, souvent égale à 0,5. La proportion obtenue à partir des données correspond à la proportion d’échantillon. Ces deux valeurs sont essentielles au calcul de la statistique z.

La valeur critique peut ensuite être obtenue à partir de la distribution z en utilisant l’approximation normale de la distribution binomiale. La valeur critique peut être positive ou négative selon le sens de l’hypothèse ; ainsi, le test d’hypothèse sera unilatéral droit, unilatéral gauche ou bilatéral. La valeur critique est calculée au niveau de confiance désiré, généralement 95 % ou 99 %.

La valeur P est alors directement déterminée à partir de la statistique z et de la valeur critique z, permettant ainsi de conclure le test d’hypothèse. Alternativement, la statistique z peut être directement comparée à la valeur critique pour aboutir à la conclusion du test d’hypothèse.

La deuxième méthode de test d’une affirmation concernant une proportion ne requiert pas la condition np > 5, puisqu’elle utilise directement la distribution binomiale exacte sans approximation normale. Cette méthode ne calcule pas de valeur critique. Elle repose plutôt sur les probabilités d’obtenir x succès sur n essais (par exemple, 60 succès sur 110 essais). Elle calcule les probabilités d’obtenir au plus x succès ou au moins x succès, ce qui conduit aux valeurs P. Cette deuxième méthode de test d’une affirmation concernant une proportion est difficile à effectuer manuellement et nécessite l’utilisation d’un logiciel statistique. Néanmoins, les résultats obtenus par les deux méthodes sont tout aussi précis.

Dans les populations naturelles de guppys trinidadiens, les femelles sélectionnent les mâles de couleur orange pour l’accouplement.

Pour déterminer si les populations de guppys dans un aquarium présentent également le même comportement, une expérience est menée où 12 femelles sont présentées individuellement à trois mâles orange et trois mâles bleus simultanément.

On prétend à l’origine que les femelles choisissent les mâles orange.

Ainsi, l’hypothèse nulle stipulerait qu’un nombre égal de femelles montrerait une préférence pour les mâles orange et bleu. L’hypothèse alternative est qu’un plus grand nombre de femelles préférerait les mâles orange.

L’expérience montre que dix femelles sur douze préféraient les mâles orange.

Ce rapport fournit la proportion de l’échantillon (0,83) qui est utilisée pour obtenir la statistique de test comme suit.

On observe que cette statistique de test se situe dans la région critique à un niveau de signification de 0,05.

De plus, la valeur P de cette statistique z est de 0,011.

Ainsi, nous pouvons conclure que la population de guppys d’aquarium montre la même préférence d’accouplement que celle observée dans la population naturelle.