7.10: Estimation de la moyenne de la population avec un écart-type inconnu

En pratique, nous connaissons rarement l’écart-type de la population. Dans le passé, lorsque la taille de l’échantillon était grande, cela ne posait pas de problème aux statisticiens. Ils ont utilisé l’écart-type de l’échantillon s comme estimation de σ et ont procédé comme précédemment au calcul d’un intervalle de confiance avec des résultats suffisamment proches. Cependant, les statisticiens ont rencontré des problèmes lorsque la taille de l’échantillon était petite. La petite taille de l’échantillon a entraîné des inexactitudes dans l’intervalle de confiance.

William S. Gosset (1876-1937) de la brasserie Guinness à Dublin, en Irlande, a rencontré ce problème. Ses expériences avec le houblon et l’orge ont produit très peu d’échantillons. Le simple fait de remplacer σ par s n’a pas donné de résultats précis lorsqu’il a essayé de calculer un intervalle de confiance. Il s’est rendu compte qu’il ne pouvait pas utiliser une distribution normale pour le calcul ; Il a constaté que la distribution réelle dépend de la taille de l’échantillon. Ce problème l’a amené à « découvrir » ce qu’on appelle la distribution t de Student. Le nom vient du fait que Gosset a écrit sous le nom de plume « Student ».

Jusqu’au milieu des années 1970, certains statisticiens utilisaient l’approximation de la distribution normale pour les grands échantillons et n’utilisaient la distribution t de Student que pour des échantillons d’au plus 30 tailles. Avec les calculatrices graphiques et les ordinateurs, la pratique consiste maintenant à utiliser la distribution t de Student chaque fois que s est utilisé comme estimation de σ.

Si vous tirez un échantillon aléatoire simple de taille n à partir d’une population dont la distribution est approximativement normale avec une μ moyenne et un écart type de population inconnu σ et calculez le score t à l’aide de l’échantillon SD.

Propriétés de la distribution t de Student

• Le graphique de la distribution t de Student est similaire à la courbe normale standard.
• La moyenne de la distribution t de Student est nulle et la distribution est symétrique autour de zéro.
• La distribution t de Student a plus de probabilité dans ses queues que la distribution normale standard car l’écart de la distribution t est supérieur à l’écart de la normale standard. Ainsi, le graphique de la distribution t de Student sera plus épais dans les queues et plus court au centre que le graphique de la distribution normale standard.
• La forme exacte de la distribution t de Student dépend des degrés de liberté. Au fur et à mesure que les degrés de liberté augmentent, le graphique de la distribution t de Student ressemble davantage au graphique de la distribution normale standard.
• On suppose que la population sous-jacente des observations individuelles est normalement distribuée avec une μ moyenne de population inconnue et un écart-type de population inconnu σ. La taille de la population sous-jacente n’est généralement pas pertinente, à moins qu’elle ne soit très petite. S’il est en forme de cloche (normal), alors l’hypothèse est vérifiée et n’a pas besoin de discussion. L’échantillonnage aléatoire est supposé, mais il s’agit d’une hypothèse complètement distincte de la normalité.

Les calculatrices et les ordinateurs peuvent facilement calculer les probabilités t de n’importe quel étudiant. Une table de probabilité pour la distribution t de Student peut également être utilisée. Le tableau donne des scores t qui correspondent au niveau de confiance (colonne) et aux degrés de liberté (ligne). Lorsque vous utilisez une table t, notez que certaines tables sont formatées pour afficher le niveau de confiance dans les en-têtes de colonne, tandis que les en-têtes de colonne dans certaines tables peuvent afficher uniquement la zone correspondante dans l’une ou les deux queues.

La table t d’un Student donne des scores t compte tenu des degrés de liberté et de la probabilité de droite. La table est très limitée. Les calculatrices et les ordinateurs peuvent facilement calculer les probabilités t de n’importe quel élève.

La notation de la distribution t de Student (en utilisant T comme variable aléatoire) est la suivante :

• T ~ tdf où df = n – 1.
• Par exemple, si nous avons un échantillon de taille n = 20 éléments, alors nous calculons les degrés de liberté comme df = n – 1 = 20 – 1 = 19 et nous écrivons la distribution comme T ~ t19.

Si l’écart-type de la population n’est pas connu, la borne d’erreur d’une moyenne de population est calculée à l’aide de l’écart-type de l’échantillon.

Ce texte est adapté de Openstax, Introductions aux statistiques, Section 8.2 Une seule moyenne de population utilisant la <a href=”https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/8-2-a-single-population-mean-using-the-student-t-distribution”>t de Student distribution.