Test de la dérivée seconde : résolution de problèmes

En analyse mathématique, la détermination des points les plus hauts et les plus bas d’une fonction est essentielle à la compréhension de son comportement. Ces points, appelés points critiques, correspondent aux points où la dérivée première est nulle ou n’est pas définie. Les points critiques sont des positions potentielles de maxima et de minima locaux, qui peuvent être classés grâce au test de la dérivée seconde. Cependant, tous les points critiques ne correspondent pas à un maximum ou à un minimum local. La dérivée seconde est alors analysée afin de les classer. Le test de la dérivée seconde fournit des indications sur la concavité :

• Si f''(x) > 0, la fonction est concave vers le haut, ce qui signifie que le point critique est un minimum local.
• Si f''(x) < 0, la fonction est concave vers le bas, ce qui signifie que le point critique est un maximum local.

Si f''(x) = 0, le test est non concluant ; d’autres méthodes, telles que le test de la dérivée première, doivent alors être appliquées. Considérons la fonction :

\begin{equation*}f(x) = x^3 -3x^2 + 4\end{equation*}

• Calculez la dérivée première :

\begin{equation*}f'(x) = 3x^2 -6x\end{equation*}

posez f'(x) = 0 pour déterminer les points critiques. Cette expression donne x = 0 et x = 2 comme points critiques.

• Calculez la dérivée seconde :

\begin{equation*}f''(x) = 6x -6\end{equation*}

• Évaluez la dérivée seconde aux points critiques :
• f''(0) = 6(0) - 6 = -6 (négatif, donc x = 0 est un maximum local).
• f''(2) = 6(2) - 6 = 6 (positif, donc x = 2 est un minimum local).

Une fonction possède un point d’inflexion lorsque sa dérivée seconde change de signe : en posant f''(x) = 0 et en résolvant par rapport à x, on obtient x = 1. Puisque f''(x) change de signe en x = 1, il s’agit d’un point d’inflexion. Cette analyse montre comment le test de la dérivée seconde permet d’identifier des caractéristiques essentielles de la représentation graphique d’une fonction.