Différentiation implicite : résolution de problème

Les courbes définies implicitement, pour lesquelles les variables ne peuvent pas être séparées algébriquement, nécessitent des techniques d’analyse spécifiques. La conchoïde de Nicomède en est un exemple représentatif. Son équation relie x et y d’une manière qui empêche d’isoler l’une des variables, rendant la différentiation implicite indispensable pour déterminer la pente et le comportement de la courbe en tout point.

La forme implicite de la conchoïde peut être exprimée comme suit :

\begin{equation*}(x - a)^2 + y^2 = \jfrac{b^2 x^2}{x^2 + y^2}\end{equation*}

Pour dériver cette équation, y est considéré comme une fonction de x, et la règle de la chaîne est appliquée aux termes faisant intervenir y. La dérivation est effectuée des deux côtés de l’égalité, ce qui introduit des termes dy/dx. Chaque terme est traité avec rigueur à l’aide des règles du produit et du quotient, selon sa forme.

Une fois l’ensemble des dérivées calculées, les termes contenant dy/dx sont regroupés, puis l’équation est réarrangée afin d’isoler cette dérivée. On obtient alors une expression unique qui décrit la variation de y par rapport à x en un point quelconque de la courbe.

En substituant des valeurs de coordonnées particulières dans cette expression, on obtient la pente à cet endroit. Cette pente, conjuguée aux coordonnées du point, est utilisée dans la forme point-pente :

\begin{equation*}y - y_1 = m(x - x_1)\end{equation*}

On obtient ainsi l’équation de la droite tangente, qui décrit la direction instantanée de la courbe en ce point. La différentiation implicite met donc en évidence le comportement local précis de courbes complexes comme la conchoïde, qui ne se prêtent pas à une résolution analytique explicite.