Fonction de longueur d’arc

La fonction de longueur d’arc montre la distance totale parcourue le long d’une courbe lisse depuis un point de départ fixe jusqu’à une extrémité variable.

Pour une courbe continue et différentiable, cela se trouve en additionnant de petits segments linéaires le long de la courbe. Ces segments approximent la courbe en utilisant des variations horizontales et verticales, similaires à une somme de Riemann.

Lorsque la taille du segment tend vers zéro, la somme devient une intégrale qui donne la longueur exacte de l’arc.

Pour exprimer la longueur d’arc comme une fonction, une variable factice est utilisée à l’intérieur de l’intégrale, permettant à la limite supérieure de varier.

L’intégrande contient la racine carrée de un plus le carré de la dérivée. Elle est toujours supérieure ou égale à un et augmente à mesure que la courbe devient plus raide, ce qui fait que la longueur de l’arc augmente plus rapidement.

En utilisant le théorème fondamental du calcul différentiel pour différencier la fonction, on obtient le taux de variation de la longueur d’arc, qui dépend directement de la pente de la courbe.

Par exemple, lors de l’installation de barrières routières le long d’une route sinueuse, la fonction longueur d’arc mesure avec précision la distance au sol, aidant à éviter la sous-estimation des matériaux, des coûts et du temps d’installation.