10.7
Développement binomial à l’aide du triangle de Pascal
Un binôme est une expression de la forme a + b, où a et b sont des nombres ou des expressions algébriques.
L’élever à une puissance n produit une série de termes qui suivent un modèle prévisible.
Chaque développement a n + 1 termes, commençant par a n et se terminant par bn.
Ces motifs s’alignent sur un outil visuel connu sous le nom de Triangle de Pascal.
Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire où chaque ligne fournit les coefficients d’un binôme élevé à une puissance spécifique.
Par exemple, la cinquième ligne donne les coefficients de a + b élevé à la puissance cinq.
Chaque rangée commence et se termine par un, et chaque nombre intérieur est égal à la somme des deux nombres en diagonale au-dessus. Le triangle de Pascal fournit les coefficients du théorème binomial, calculés comme suit n choisissez k.
Ce modèle s’applique également aux probabilités. Dans les lancers de pièces, H et T représentent pile et face. Pour trois lancers, la somme de H et T élevée à la puissance trois représente tous les résultats possibles.
Après avoir développé et comparé avec le triangle de Pascal, chaque terme correspond à un résultat possible : trois faces, deux têtes et une queue, une tête et deux queues, ou trois queues.
Le développement d’une expression binomiale telle que (a + b)^n produit une suite prévisible de termes, que l’on peut obtenir systématiquement à l’aide du triangle de Pascal. Ce tableau triangulaire de nombres joue un rôle essentiel dans la compréhension et le calcul des coefficients des développements binomiaux.
Le triangle de Pascal est construit de telle sorte que chaque ligne corresponde aux coefficients d’un binôme élevé à une puissance. La ligne supérieure, dite « rang 0 », correspond à (a + b)^0, et chaque ligne successive fournit les coefficients pour des puissances croissantes de n. Par exemple, la ligne de rang 5 du triangle de Pascal, 1, 5, 10, 10, 5, 1, donne les coefficients du développement de (a + b)^5. Chaque ligne commence et se termine par le nombre 1. Chaque coefficient intérieur est obtenu en additionnant les deux coefficients situés en diagonale au-dessus de lui dans la ligne précédente, ce qui illustre la structure récursive du triangle.
Dans le développement de (a + b)^n, les exposants de a décroissent de n à 0, tandis que ceux de b augmentent de 0 à n. Par conséquent, chaque terme du développement prend la forme suivante :
Où « n parmi r » désigne le coefficient binomial, trouvé à la r-ième position de la n-ième ligne dans le triangle de Pascal.
Un binôme est une expression de la forme a + b, où a et b sont des nombres ou des expressions algébriques.
L’élever à une puissance n produit une série de termes qui suivent un modèle prévisible.
Chaque développement a n + 1 termes, commençant par a n et se terminant par bn.
Ces motifs s’alignent sur un outil visuel connu sous le nom de Triangle de Pascal.
Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire où chaque ligne fournit les coefficients d’un binôme élevé à une puissance spécifique.
Par exemple, la cinquième ligne donne les coefficients de a + b élevé à la puissance cinq.
Chaque rangée commence et se termine par un, et chaque nombre intérieur est égal à la somme des deux nombres en diagonale au-dessus. Le triangle de Pascal fournit les coefficients du théorème binomial, calculés comme suit n choisissez k.
Ce modèle s’applique également aux probabilités. Dans les lancers de pièces, H et T représentent pile et face. Pour trois lancers, la somme de H et T élevée à la puissance trois représente tous les résultats possibles.
Après avoir développé et comparé avec le triangle de Pascal, chaque terme correspond à un résultat possible : trois faces, deux têtes et une queue, une tête et deux queues, ou trois queues.
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