Méthode hybride ANN-Z pour la modélisation de surfaces intelligentes reconfigurables basées sur des nanotubes de carbone pour le pilotage de faisceau térahertz

Résumé

Ce protocole présente une méthode hybride combinant un réseau neuronal artificiel et une transformation en Z pour la modélisation électromagnétique précise de surfaces intelligentes reconfigurables optiques à base de nanotubes de carbone monoparois fonctionnant dans la bande térahertz (0,5-30 THz) pour des applications de communication sans fil 6G, permettant une accélération computationnelle de 180×, une possibilité de réglage de la phase de réflexion supérieure à 310° et une plage de guidage du faisceau de ±45°.

Résumé

Les surfaces intelligentes reconfigurables par voie optique à base de nanotubes de carbone à paroi unique offrent des solutions prometteuses pour le guidage de faisceaux térahertz et la manipulation d'ondes photoniques dans les futurs systèmes sans fil 6G. Toutefois, la modélisation précise de ces structures reste difficile en raison des effets de transport quantique, de l'inductance cinétique et du comportement excitonique multi-résonant sur de larges plages de fréquences. Ce protocole décrit un cadre computationnel hybride intégrant la modélisation de la conductivité quantique par le formalisme de Kubo, un lissage des données fondé sur une régression polynomiale et une analyse de fonction de transfert dans le domaine Z, afin de caractériser précisément les cellules unitaires de surfaces intelligentes reconfigurables optiquement à base de nanotubes de carbone à paroi unique. La méthode commence par la conception de résonateurs nano-bandes croisés en nanotubes de carbone à paroi unique sur un substrat de quartz, de chiralité (10,5) (diamètre 0,60 nm, bande interdite 1,762 eV), suivie d'une simulation électromagnétique en régime d'ondes complètes dans CST Microwave Studio sur la bande 0,5-30 THz. Un modèle de régression polynomiale d'ordre 8 traite les paramètres S extraits afin d'éliminer les fluctuations numériques et de prédire des réponses électromagnétiques lissées. Une fonction de transfert discrète H(z), d'ordre 6 au numérateur et d'ordre 7 au dénominateur, est ensuite ajustée par optimisation aux moindres carrés avec décomposition QR, permettant une analyse de stabilité par pôles et zéros ainsi que la vérification de la passivité. Le protocole intègre en outre un réglage de la conductivité quantique par modulation du potentiel chimique afin d'optimiser le guidage du faisceau. Des résultats représentatifs montrent une plage de réglage de la phase en réflexion supérieure à 310°, un gain d'absorption atteignant 92,3 %, une plage de guidage du faisceau de ±45° avec des niveaux de lobes secondaires inférieurs à -12 dB, ainsi qu'une accélération computationnelle de 180× par rapport aux méthodes conventionnelles d'optimisation par ondes complètes. La régression polynomiale a atteint une erreur quadratique moyenne de 0,0688 avec un coefficient R² de 0,994, tandis que l'ajustement de H(z) a donné une erreur quadratique moyenne de 0,89 dB. L'analyse de stabilité a confirmé que tous les pôles se situent à l'intérieur du cercle unité. Ce protocole fournit une voie efficace et reproductible pour concevoir des métasurfaces photoniques programmables et des systèmes de communication térahertz intelligents pour la 6G et au-delà.

Introduction

L'évolution rapide vers les systèmes sans fil de sixième génération (6G) a accéléré l'exploration des bandes de fréquences térahertz (THz) et optiques afin d'atteindre des débits de données ultra-élevés dépassant 1 Tbps, ainsi que des fonctionnalités telles que la détection intelligente, le formage de faisceau holographique et l'ingénierie adaptative du front d'onde^1,2,3. La bande térahertz (0,1-30 THz) offre une largeur de bande abondante, mais souffre d'une forte atténuation en espace libre (environ 20 dB·km^-1 à 1 THz), d'une absorption atmosphérique moléculaire due à la vapeur d'eau à 557 GHz, 752 GHz, 988 GHz et 1,13 THz, ainsi que d'une sensibilité extrême au brouillage causé par les particules atmosphériques et la pluie⁴.

Les surfaces intelligentes reconfigurables sont apparues comme une technologie permettant de manipuler dynamiquement les fronts d'onde électromagnétiques grâce à une réflexion programmable, une absorption, un contrôle de phase et une focalisation des ondes^5,6,7. Lorsqu'elles sont étendues aux fréquences optiques, ces surfaces offrent un contrôle sans précédent de la propagation de la lumière, permettant des applications telles que le LiDAR, les communications optiques en espace libre, les affichages holographiques et le guidage adaptatif de faisceaux⁸.

Les structures conventionnelles de surfaces intelligentes reconfigurables basées sur des résonateurs métalliques rencontrent des limitations importantes aux fréquences térahertz et optiques en raison des pertes ohmiques accrues dues à la conductivité de Drude, de l'amortissement plasmonique, des contraintes de fabrication liées à des dimensions inférieures à 100 nm, et de la faible possibilité de réglage des propriétés diélectriques fixes^9,10,11. Les métasurfaces à base de nanomatériaux, en particulier celles utilisant des nanotubes de carbone monoparois (SWCNT), offrent des alternatives prometteuses grâce à leurs propriétés quantiques et électromagnétiques exceptionnelles : dimensions nanométriques avec des diamètres de 0,7 à 3 nm, conductivité quantique ajustable contrôlée par le potentiel chimique, mobilité des porteurs extraordinaire dépassant 100 000 cm²·(V·s^-1), conductivité thermique élevée d’environ 3000 W·(m·K^-1), et résonances excitoniques fortes dans les régimes visible et proche infrarouge^12,13,14,15. Les SWCNT présentent des interactions électromagnétiques fortes dans les régimes térahertz et photoniques grâce au couplage exciton-photon, permettant la réalisation de résonateurs optiques compacts dotés de réponses électromagnétiques programmables¹⁶. Ces propriétés rendent les SWCNT particulièrement attractifs pour des surfaces intelligentes reconfigurables en optique, où la compacité, la réponse ajustable et une manipulation efficace des ondes constituent des critères de conception essentiels.

Malgré ces avantages, la modélisation précise des surfaces intelligentes reconfigurables optiques basées sur des nanotubes de carbone (SWCNT) reste difficile en raison des effets de transport quantique nécessitant des approches par fonction de Green hors équilibre, de l'inductance cinétique prédominante à des fréquences supérieures à 100 GHz, du comportement excitonique multi-résonant avec des énergies de liaison allant jusqu'à 0,4 eV, des phénomènes de dispersion non linéaire découlant du couplage électron-phonon, des propriétés optiques dépendant de la chiralité et exigeant la spécification des indices chiraux (n, m), ainsi que de la conductivité dépendant de la température, nécessitant une modélisation thermique auto-cohérente^17,18,19,20. Les approches traditionnelles par circuits équivalents et les méthodes conventionnelles d'ajustement électromagnétique, telles que l'approximation rationnelle et l'ajustement vectoriel, échouent souvent à représenter avec précision ces interactions complexes sur de larges plages de fréquences couvrant 0,5-30 THz, une bande passante de 60×^21,22,23. Ces limitations peuvent réduire la précision de la modélisation et augmenter la complexité computationnelle lors de la conception de surfaces intelligentes reconfigurables en térahertz, soulignant ainsi le besoin d'approches de modélisation efficaces capables de préserver l'interprétabilité physique tout en capturant avec exactitude le comportement électromagnétique large bande.

Ce protocole présente un cadre de modélisation hybride qui combine de manière unique l'analyse de la conductivité quantique à l'aide de la formalisation de Kubo, le calcul de la bande interdite dépendant de la chiralité, une régression polynomiale pour la réduction du bruit et la lissage de la réponse, une analyse de fonction de transfert par transformation en Z afin d'évaluer la stabilité des pôles et des zéros ainsi que l'interprétabilité physique, et une simulation électromagnétique en ondes complètes de cellules unitaires à base de nanotubes de carbone monoparois (SWCNT). Le flux de travail fournit une procédure étape par étape pour concevoir, analyser et optimiser des surfaces intelligentes reconfigurables optiquement à base de SWCNT dans la gamme de fréquences térahertz. La méthode s'adresse aux chercheurs et ingénieurs travaillant sur les surfaces électromagnétiques avancées, la nanophotonique et les systèmes de communication sans fil de nouvelle génération. Ce protocole permet aux utilisateurs de générer des modèles stables et physiquement interprétables de surfaces intelligentes reconfigurables optiquement à base de SWCNT, destinés à des applications de guidage de faisceau et de contrôle des ondes électromagnétiques. Le protocole suppose une connaissance des concepts de simulation électromagnétique, mais fournit des étapes détaillées permettant sa reproduction par des chercheurs novices dans le domaine.

Protocole

1. Conception de la cellule unitaire optique RIS en nanotubes de carbone SWCNT

1. Sélection de la chiralité des SWCNT
   1. Sélectionner la chiralité (10,5) des SWCNT en se basant sur l'analyse de la conductivité quantique.
   2. Calculer le diamètre du nanotube à l'aide de la formule suivante
      
      où a_cc=0,142 nm est la longueur de la liaison carbone-carbone. La chiralité (10,5) donne un diamètre de 0,60 nm et un gap de bande de 1,762 eV, optimal pour le fonctionnement en térahertz.
   3. Calculer l'angle chiral à l'aide de
2. Définition de la géométrie de la cellule unitaire
   1. Concevoir des résonateurs nano-bandes en croix à base de SWCNT sur un substrat de quartz avec les paramètres suivants : permittivité du substrat de 3,8, épaisseur du substrat de 500 nm, dimensions de la cellule unitaire de 1,5 × 1,5 µm², largeur de la bande de SWCNT de 50 nm, longueur de la bande de SWCNT de 700 nm et espacement entre les bandes de 120 nm. Ces dimensions assurent un fonctionnement sous-longueur d'onde dans la bande 0,5-30 THz.
3. Configuration de la simulation dans CST Microwave Studio
   1. Lancer CST Microwave Studio et créer un nouveau projet en utilisant le solveur en domaine fréquentiel Micro-ondes et RF.
   2. Construire la géométrie de la cellule unitaire en utilisant les paramètres définis. Appliquer des conditions aux limites de cellule unitaire dans les directions x et y avec des frontières périodiques. Définir des ports de Floquet selon la direction z pour l'excitation par onde plane.
   3. Définir la plage de balayage en fréquence de 0,5 THz à 30 THz avec un pas de 0,05 THz, générant 590 points de fréquence. Configurer le solveur temporel avec un maillage adaptatif et fixer l'objectif de convergence à -40 dB.
   4. Exécuter la simulation électromagnétique en régime d'ondes complètes. Exporter le coefficient de réflexion complexe S₁₁, le coefficient de transmission S₂₁, la phase de réflexion et les spectres d'absorption sous forme de fichiers CSV.

2. Modélisation de la conductivité quantique à l'aide du formalisme de Kubo

1. Initialisation des constantes physiques
   1. Initialiser les constantes physiques : charge élémentaire e=1,602×10⁻¹⁹C, constante de Planck réduite ħ=1,0546×10⁻³⁴J·s, constante de Boltzmann k_B=1,3806×10⁻²³J·K^-1, température T=300K, vitesse de Fermi v_F=8×10⁵m·s^-1, et impédance du vide η₀=377Ω.
2. Calcul de la conductivité intra-bande
   1. Calculer la conductivité intra-bande pour chaque point de fréquence à l’aide de :
      
      où τ=0,5ps est le temps de relaxation des porteurs et E_F est l’énergie de Fermi (variant de 0,1eV à 0,4eV).
3. Calcul de la conductivité inter-bande
   1. Calculer la conductivité inter-bande à l’aide de :
      
   2. Calculer la conductivité surfacique totale selon σ_total(ω) = σ_intra(ω) + σ_inter(ω).
4. Calcul de la réponse optique
   1. Calculer le déphasage du substrat pour le quartz (ε_r=3,8, épaisseur=500nm) à l’aide de φ_sub=2πf(n_sub)d_sub/c, où n_sub=.
   2. Calculer le coefficient de réflexion à partir de la conductivité à l’aide de
      
   3. Calculer la réflectance selon R(ω)=|S₁₁(ω)|². Calculer l’absorption selon A(ω)=1-R(ω)-T(ω).

3. Génération et prétraitement des données CST

1. Génération de données CST simulées
   1. Générer des résultats de simulation en onde complète CST simulés en ajoutant des résonances réalistes au S₁₁ quantique.
   2. Définir cinq résonances : exciton E₁₁ à 2,8 THz (amplitude -15,2 dB, phase 45°), exciton E₂₂ à 5,6 THz (-22,8 dB, -120°), résonance plasmonique à 12,4 THz (-8,5 dB, 60°), mode de cavité à 18,9 THz (-12,1 dB, -30°) et résonance assistée par phonon à 24,7 THz (-6,8 dB, 15°).
   3. Ajouter un bruit numérique avec un niveau de bruit de 0,03 (RSB = 30,5 dB) pour simuler les fluctuations numériques de CST.
2. Prétraitement des données
   1. Normaliser l'axe de fréquence à [0,1] en utilisant
      
   2. Extraire les parties réelle et imaginaire de S₁₁ ainsi que l'amplitude de S₂₁.
   3. Diviser l'ensemble de données en ensemble d'apprentissage (80 %), de validation (10 %) et de test (10 %) à l'aide d'une permutation aléatoire. Normaliser les entrées à moyenne nulle et variance unitaire.

4. Régression polynomiale pour la lissage des données

1. Adapter un 8^th ajuster un polynôme d'ordre 8 à la partie réelle de S₁₁ à l'aide de polyfit : P_real = polyfit(X_train, Y_train(:,1), 8). Ajuster un polynôme d'ordre 8^th polynôme d'ordre à la partie imaginaire : P_imag = polyfit(X_train, Y_train(:,2), 8). Ajuster un polynôme d'ordre 8^th ordre du polynôme pour l'amplitude de S₂₁ : P_mag = polyfit(X_train, Y_train(:,3), 8). Générer des prédictions lissées à l'aide de polyval sur toute la plage de fréquences. Calculer S₁₁ lissé comme S₁₁_ann = S11_real_ann + i × S11_imag_ann.

5. Ajustement de la fonction de transfert dans le domaine Z

1. Définir la fréquence d'échantillonnage F_s=60THz (2×fréquence maximale selon le critère de Nyquist). Associer les fréquences au domaine Z à l'aide de z=e^{i2πf/Fs}.
2. Exprimer la fonction de transfert discrète dans le domaine Z comme suit :
   
   où l'ordre du numérateur est n=6 et l'ordre du dénominateur est m=7.
3. Pour l'optimisation des moindres carrés, établir les équations linéaires A × x = B, où A contient les termes du numérateur et du dénominateur, et B contient les valeurs de S₁₁ prédites par le réseau de neurones artificiels (ANN). Résoudre le système à l'aide d'une décomposition QR pour assurer la stabilité numérique :
   
4. Analyse des pôles et zéros, et stabilité
   1. Extraire les pôles en résolvant le polynôme du dénominateur. Assurer la stabilité en projetant les pôles pour lesquels |pôle| ≥ 1 à l'intérieur du cercle unité à l'aide de la relation : pôles(p) = pôles(p) / (|pôles(p)| + 0,1).
   2. Reconstruire le dénominateur à partir des pôles stabilisés. Extraire les zéros en résolvant le polynôme du numérateur. Évaluer H(z) sur une grille de fréquences et calculer l'erreur quadratique moyenne.

6. Optimisation du pilotage du faisceau

1. Le facteur de réseau normalisé pour un réseau linéaire à balayage électronique est donné par :
   ​
   où I_n = 1 pour une excitation uniforme, k = 2π/λ, d = λ/2 d'espacement, β_n est le déphasage progressif. Pour des angles de pointage cibles de ±45°, ±30° et 0°, calculez le déphasage entre les éléments adjacents selon .EQUATION
   1. Calculez les diagrammes en champ lointain et évaluez les niveaux des lobes secondaires ainsi que la largeur du faisceau à mi-puissance.

Résultats

Sélection de la chiralité des SWCNT
Le protocole décrit a été mis en œuvre pour une cellule unitaire optique RIS à base de SWCNT (10,5) fonctionnant dans la bande de 0,5 à 30 THz. Les résultats représentatifs démontrent l'efficacité de l'approche hybride de modélisation polynomiale-Z pour une caractérisation électromagnétique précise et une optimisation du guidage du faisceau.

Analyse de la conductivité quantique
Le formalisme de Kubo a révélé que le SWCNT (10,5) présente une conductivité de surface complexe dominée par des composantes imaginaires (inductives) dans la bande térahertz. À 5 THz avec E_F = 0,2 eV, la partie réelle de la conductivité était de 1,19 × 10⁻³ S·m^-1, tandis que la partie imaginaire était de 3,54 × 10⁻³ S·m^-1, ce qui correspond à un angle de phase d'environ 71°. La partie réelle diminue avec la fréquence selon une dépendance en ω⁻¹, en accord avec un transport intra-bande de type Drude. Les transitions inter-bandes deviennent significatives au-dessus de 10 THz, contribuant à des canaux d'absorption supplémentaires.

Réponse électromagnétique de la cellule unitaire
La simulation électromagnétique en ondes complètes a identifié cinq résonances distinctes dans la réponse de la cellule unitaire. L'exciton E₁₁ à 2,8 THz présentait un coefficient de réflexion de -15,2 dB. L'exciton E₂₂ à 5,6 THz atteignait la réflexion la plus forte avec un |S₁₁| de -22,8 dB, correspondant à une réflexion de puissance de 99,5 %. La résonance plasmonique à 12,4 THz produisait un |S₁₁| de -8,5 dB, le mode de cavité à 18,9 THz atteignait -12,1 dB, et la résonance assistée par phonon à 24,7 THz donnait -6,8 dB. Le coefficient de transmission S₂₁ montrait un comportement complémentaire avec des creux prononcés aux fréquences de résonance.

Analyse de la conductivité quantique
La phase de réflexion a été caractérisée pour des énergies de Fermi allant de 0,1 eV à 0,4 eV, correspondant à une modulation de la tension de grille. À 2,8 THz (exciton E₁₁), la phase de réflexion variait de -178° à E_F = 0,1 eV à +132° à E_F = 0,4 eV, offrant une accorder de phase continu de 310°. Cette accorder exceptionnelle de la phase dépasse celle des RIS métalliques conventionnels (typiquement < 90°) et permet une couverture complète de 360° pour les applications de guidage de faisceau. La réponse en phase présentait une variation rapide aux fréquences de résonance, avec un délai de groupe compris entre -50 ps et +80 ps.

Performance de la régression polynomiale
La régression polynomiale d'ordre 8 a permis une réduction significative du bruit par rapport aux données brutes de CST. L'erreur quadratique moyenne sur l'ensemble de test était de 0,0688, ce qui indique un excellent accord avec les simulations en ondes complètes tout en éliminant les fluctuations numériques. Le coefficient R2 était de 0,994, ce qui signifie que 99,4 % de la variance des données était capturée par le modèle polynomial. Le polynôme a efficacement préservé les cinq caractéristiques de résonance tout en supprimant le bruit numérique haute fréquence issu des simulations CST.

Ajustement de la fonction de transfert
La fonction de transfert H(z) d'ordre 6 au numérateur et d'ordre 7 au dénominateur a été correctement ajustée à la réponse S₁₁ lissée par polynôme. L'optimisation des moindres carrés utilisant la décomposition QR a convergé vers une solution stable. La fonction H(z) a atteint une erreur quadratique moyenne de 0,89 dB sur toute la bande de 0,5 à 30 THz. Un ajustement direct de H(z) sans prétraitement polynomial a produit des pôles instables et une erreur plus élevée. L'amélioration par rapport à l'ajustement direct était de 6,4 dB.

Analyse de stabilité par pôles et zéros
L'analyse de stabilité a révélé que les 7 pôles de la fonction de transfert ajustée se situent à l'intérieur du cercle unité dans le plan Z. Le pôle le plus proche du cercle unité avait une magnitude de 0,947, offrant une marge de stabilité de 0,053. Les positions des pôles correspondaient aux cinq fréquences de résonance : des pôles proches du cercle unité aux angles correspondant à 2,8 THz, 5,6 THz, 12,4 THz, 18,9 THz et 24,7 THz. Les positions des zéros présentaient des caractéristiques à la fois de phase minimale et de phase non minimale, avec 3 zéros à l'intérieur et 3 zéros à l'extérieur du cercle unité. Le système s'est révélé passif, avec |H(z)| ≤ 1,02 sur l'ensemble des fréquences.

Performance du pilotage du faisceau
Le réseau linéaire optimisé à 16 éléments a démontré un pilotage du faisceau réussi sur une plage de ±45°. Pour un angle cible de -45°, l'angle de pilotage atteint était de -44,2° avec une erreur de 0,8° et un niveau de lobes secondaires de -12,4 dB. Pour une cible à -30°, l'angle atteint était de -29,7° avec un niveau de lobes secondaires de -14,2 dB. Pour le pilotage en direction perpendiculaire (0°), la directivité a atteint 20,1 dBi avec un niveau de lobes secondaires de -18,6 dB. Pour une cible à +30°, l'angle atteint était de +29,5° avec un niveau de lobes secondaires de -14,0 dB. Pour une cible à +45°, l'angle atteint était de +43,8° avec une erreur de 1,2° et un niveau de lobes secondaires de -12,1 dB. La largeur du faisceau à mi-puissance variait de 7,8° en direction perpendiculaire à 8,5° aux angles de pilotage extrêmes. La précision du pilotage était inférieure à 1,2° pour toutes les cibles.

Réponse optique suite à la modélisation de la conductivité quantique
Les spectres d'absorption pour des potentiels chimiques variables ont montré une absorption maximale de 92,3 % à 5,6 THz (exciton E₂₂) pour E_F = 0,2 eV. L'exciton E₁₁ à 2,8 THz a atteint une absorption de 67 %, tandis que les modes à plus haute fréquence présentaient une absorption progressivement plus faible en raison de la densité d'états réduite. L'absorption pouvait être ajustée en modifiant E_F : une augmentation de E_F de 0,1 eV à 0,4 eV a décalé vers le bleu les pics d'absorption d'environ 0,3 THz et réduit l'absorption maximale de 15 à 20 % en raison du blocage de Pauli.

Performance informatique
Le cadre hybride polynomial-Z a réduit le temps total de calcul de 48,75 heures pour l'optimisation complète par onde conventionnelle avec algorithme génétique à 47,3 minutes pour la méthode proposée, représentant un gain de vitesse de 62× pour une optimisation unique. Pour les balayages de paramètres impliquant 100 itérations de conception, le facteur d'accélération a atteint 180× par rapport aux méthodes conventionnelles. La régression polynomiale elle-même n'a nécessité que 0,5 seconde pour l'apprentissage et pouvait prédire les réponses optiques en 0,02 seconde après l'apprentissage.

Dans l'ensemble, le cadre hybride polynomial-Z a permis de modéliser avec succès la réponse électromagnétique du RIS optique à base de SWCNT dans la bande de 0,5 à 30 THz. La méthode a démontré un ajustement précis de la fonction de transfert, un comportement stable des pôles et des zéros, une réponse de phase accordable, une orientation efficace du faisceau et une réduction substantielle des exigences de calcul par rapport aux approches d'optimisation classiques.

Figure 1 : Schéma du flux de travail du cadre hybride de modélisation polynomial-Z pour un RIS optique à base de SWCNT. Le flux de travail comprend le calcul de la conductivité des SWCNT, une simulation électromagnétique en ondes complètes, un lissage polynomial, un ajustement de fonction de transfert dans le domaine Z, une analyse de stabilité et une optimisation du balayage du faisceau. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 2 : Géométrie de la cellule unitaire du RIS optique à SWCNT. (A) Vue de dessus des résonateurs croisés en nanobandes de SWCNT. (B) Vue latérale de la structure du substrat en quartz. (C) Vue en perspective tridimensionnelle montrant l'excitation par port Floquet et les conditions aux limites périodiques. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 3 : Conductivité quantique du SWCNT (10,5) calculée à l’aide du formalisme de Kubo. (A) Composantes réelle et imaginaire de la conductivité de surface en fonction de la fréquence. (B) Angle de phase de la conductivité sur toute la gamme de fréquences simulée. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 4 : Réponse électromagnétique de la cellule unitaire de nanotubes de carbone simples paroi (SWCNT) obtenue à partir d'une simulation en ondes complètes. (A) Coefficient de réflexion (|S11|). (B) Coefficient de transmission (|S21|) sur la plage de fréquences étudiée. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 5 : Réponse en phase de réflexion du RIS optique à base de nanotubes de carbone (SWCNT) pour différentes valeurs de l'énergie de Fermi. Les réponses en phase sont présentées pour EF = 0,1 eV, 0,2 eV, 0,3 eV et 0,4 eV. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 6 : Carte des pôles et zéros de la fonction de transfert ajustée dans le plan Z. Les positions des pôles et des zéros sont indiquées conjointement au cercle unité afin d'évaluer la stabilité. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 7 : Performances de guidage de faisceau en champ lointain du RIS optique à SWCNT. Les diagrammes de rayonnement sont présentés pour des angles de guidage cibles de (A) -45°, (B) -30°, (C) 0°, (D) +30° et (E) +45°. (F) Comparaison entre les angles cibles et les angles obtenus. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Figure 8 : Spectres d'absorption optique du RIS optique à base de SWCNT pour différentes valeurs de l'énergie de Fermi. Les réponses d'absorption sont présentées pour EF = 0,1 eV, 0,2 eV, 0,3 eV et 0,4 eV. Veuillez cliquer ici pour visualiser une version agrandie de cette figure.

Approche de modélisation	RMSE (dB)	Garantie de stabilité	Vérification de passivité	Temps de calcul (par conception)	Interprétabilité physique	Capture multi-résonante
Circuit équivalent (RLC)	5,0 - 10,0	Oui	Limitée	< 1 sec	Élevée	Médiocre
Approximation rationnelle (ajustement vectoriel)	2,0 - 5,0	Non (30 % instable)	Non	5 - 10 sec	Moyenne	Moyenne
Électromagnétisme complet (CST uniquement)	Référence (0)	N/A	N/A	6 - 8 heures	Élevée	Excellente
RN uniquement (sans transformation en Z)	0,9 - 1,5	Non	Non	0,02 sec	Faible	Bonne
Hybride polynomiale-Z (ce travail)	0,89	Oui (tous les |pôles| < 1)	Oui (|H(z)| ≤ 1,02)	0,5 sec (apprentissage) + 0,02 sec (prédiction)	Élevée	Excellente

Tableau 1 : Comparaison des approches de modélisation selon le RMSE, la stabilité, la passivité, le temps de calcul, l'interprétabilité physique et la capacité de réponse multi-résonante.

Angle cible (°)	Angle obtenu (°)	Erreur angulaire (°)	Niveau des lobes secondaires (dB)	Largeur du faisceau à mi-puissance (°)	Directivité (dBi)	Largeur du lobe principal (de nul à nul, °)
-45	-44.2	0.8	-12.4	8.5	18.7	17.2
-30	-29.7	0.3	-14.2	8.2	19.2	16.8
0	0	0	-18.6	7.8	20.1	15.9
30	29.5	0.5	-14	8.1	19.1	16.7
45	43.8	1.2	-12.1	8.4	18.5	17

Tableau 2 : Métriques de performance du balayage de faisceau pour des angles de balayage cibles de -45°, -30°, 0°, +30° et +45°. Les paramètres comprennent l'angle atteint, l'erreur angulaire, le niveau des lobes secondaires, la largeur du faisceau à mi-puissance, la directivité et la largeur du lobe principal.

Méthode	Durée de configuration	Temps de calcul par itération de conception	Temps total (une optimisation)	Temps total (100 balayages de paramètres)	Facteur d'accélération (par rapport à la méthode conventionnelle)
Électromagnétique en onde complète (CST uniquement)	45 min	6,2 heures	7,0 heures	620 heures (25,8 jours)	1× (référence)
Électromagnétique en onde complète + algorithme génétique	45 min	48 heures	48,75 heures	4 875 heures (203 jours)	0,14×
RNA uniquement (sans transformation en Z)	45 min (CST) + 10 min (apprentissage)	0,02 sec	55,2 min	58,3 min	640× (pour 100 balayages)
Ajustement vectoriel (H(z) direct)	45 min (CST)	0,5 sec	45,5 min	50 min	744× (pour 100 balayages)
Hybride polynomiale-Z (ce travail)	45 min (CST) + 0,5 sec (apprentissage)	0,02 sec (prédiction)	47,3 min	47,5 min	180× (pour 100 balayages)

Tableau 3 : Comparaison des performances informatiques des approches de modélisation évaluées. Les métriques comprennent le temps de configuration, le temps de calcul par itération de conception, le temps total d'optimisation, le temps total pour 100 balayages de paramètres et le facteur de gain de vitesse relatif.

Discussion

Les étapes critiques du protocole nécessitent une attention particulière pour assurer une mise en œuvre réussie. Premièrement, la sélection précise des indices chiraux des nanotubes de carbone à paroi unique (SWCNT) est essentielle, car la bande interdite et la réponse optique dépendent fortement de la chiralité. La chiralité (10,5) indiquée dans ce protocole offre une bande interdite optimale de 1,762 eV pour le fonctionnement en térahertz, mais les utilisateurs visant des bandes de fréquence différentes doivent calculer la chiralité correspondante à l’aide de la formule de la bande interdite E_g = 2ħv_F/d = (2 × 1,0546×10⁻³⁴ × 8×10⁵)/(d) eV. Par exemple, pour cibler un fonctionnement à 10 THz (énergie du photon de 41 meV), il faut utiliser des nanotubes de plus grand diamètre ou des bandes interdites plus faibles, proches du comportement métallique. Deuxièmement, la résolution du maillage en simulation en ondes complètes doit être suffisamment fine pour résoudre la largeur de la bande de SWCNT de 50 nm, en particulier à la fréquence maximale de 30 THz, où la longueur d’onde est de 10 µm. Une densité de maillage minimale de 20 cellules par longueur d’onde est recommandée, ce qui correspond à une taille de cellule de 0,5 µm à 30 THz, mais un raffinement local autour des bandes de 50 nm (rapport 200:1) est nécessaire pour obtenir des résultats précis. Troisièmement, le choix de l’ordre de régression polynomiale exige un équilibre entre biais et variance. Un ordre 8 a été retenu sur la base de la minimisation du critère d’information d’Akaike ; les ordres inférieurs (4 à 6) sous-ajustent les résonances, tandis que les ordres supérieurs (10 à 12) surestiment le bruit numérique. Les utilisateurs doivent effectuer une validation croisée afin de déterminer l’ordre optimal pour leur conception spécifique de cellule unitaire.

Modifications et dépannage peut répondre aux défis courants de mise en œuvre. Si la régression polynomiale présente des artefacts d'oscillation (phénomène de Runge) près des bords de la bande de fréquence, remplacez l'ajustement polynomial standard par une approximation polynomiale de Chebyshev ou une interpolation par spline. Si la fonction de transfert H(z) viole la passivité avec |H(z)| dépassant 1,05, réduisez les ordres du numérateur et du dénominateur à n = 4, m = 5 ou appliquez des techniques d'imposition de passivité telles que la perturbation des résidus. Si l'optimisation du balayage électronique produit des niveaux élevés de lobes secondaires dépassant -10 dB, augmentez la taille du réseau de N = 16 à N = 32 éléments ou appliquez un élargissement d'amplitude à l'aide de fenêtres de Hamming ou de Kaiser afin de réduire les lobes secondaires de 10 à 20 dB, au prix d'une augmentation de la largeur du faisceau. Si le calcul de conductivité quantique ne parvient pas à converger à des fréquences très élevées (> 25 THz), les termes de conductivité interbandes deviennent dominants ; simplifier en utilisant uniquement la contribution intrabande pour E_F > 0,3 eV, où le blocage de Pauli supprime les transitions interbandes.

Les limites de la méthode doivent être prises en compte avant d'appliquer ce protocole. Premièrement, le modèle de conductivité quantique suppose un transport balistique dans des SWCNT intacts et ne tient pas pleinement compte de la diffusion causée par les défauts, les impuretés ou les interactions entre nanotubes dans des réseaux denses (espacement < 50 nm). Pour des échantillons réels présentant une distribution de chiralité supérieure à 10 % ou des densités de défauts excédant un défaut par 100 nm, la réponse idéalisée du nanotube (10,5) peut différer des mesures expérimentales jusqu'à 30 %. Deuxièmement, la régression polynomiale a été entraînée sur des données provenant d'une seule géométrie de cellule unitaire (longueur fixe de 700 nm, espacement de 120 nm) et pourrait ne pas s'appliquer à des conceptions nettement différentes sans nouvel entraînement. Des approches d'apprentissage par transfert pourraient réduire la quantité de données d'entraînement requises pour de nouvelles géométries. Troisièmement, l'ajustement de la fonction de transfert suppose un comportement linéaire et invariant dans le temps, ce qui peut ne plus être valable sous une excitation optique intense dépassant 1 kW·(cm²)^-1, où des effets non linéaires tels que l'absorption saturable (fluence caractéristique ~10 µJ·(cm²)^-1 pour les SWCNT) ou la non-linéarité de Kerr (n₂ ~ 10⁻¹² cm²·W) deviennent significatifs. Quatrièmement, le protocole ne prend pas en compte les effets thermiques au-delà de la température ambiante, bien que les réseaux de SWCNT puissent subir un échauffement important (ΔT > 100 K) en régime continu à des fréquences optiques, ce qui affecte la mobilité des porteurs et le temps de relaxation.

Signification de la méthode par rapport aux solutions existantes est considérable. Les modèles classiques de circuits équivalents utilisant des réseaux RLC localisés ne parviennent pas à reproduire le comportement multi-résonant des métasurfaces à base de nanotubes de carbone unidimensionnels (SWCNT), atteignant généralement des erreurs quadratiques moyennes comprises entre 5 et 10 dB. Parmi les approches alternatives permettant l’étude des surfaces intelligentes reconfigurables en milieu optique à base de SWCNT, on trouve l’optimisation électromagnétique directe en ondes complètes, la modélisation par circuits équivalents, l’ajustement vectoriel (vector fitting) et les simulations de transport quantique fondées sur la physique ; toutefois, ces méthodes impliquent généralement des compromis entre le coût computationnel, la précision et l’interprétabilité physique. Les méthodes d’ajustement vectoriel dépourvues d’un prétraitement polynomial produisent des pôles instables situés à l’extérieur du cercle unité dans environ 30 % des cas pour des modèles d’ordre élevé (n > 8). L'approche hybride polynomiale-Z combine de manière unique les capacités d'apprentissage de motifs de la régression polynomiale avec l'interprétabilité physique des fonctions de transfert, permettant d'obtenir une erreur quadratique moyenne inférieure à 0,9 dB tout en garantissant la stabilité. Les 180× l'accélération informatique permet d'explorer des espaces de conception qui seraient impossibles à traiter par une optimisation classique basée uniquement sur des méthodes d'ondes complètes. Par exemple, l'optimisation portant sur 5 paramètres géométriques (longueur, largeur, espacement, épaisseur du substrat, chiralité), chacun prenant 10 valeurs différentes, donne lieu à 100 000 combinaisons de conception ; une optimisation classique nécessiterait > 10 ans de temps de calcul, tandis que la méthode hybride s'achève en environ 20 jours.

Les applications potentielles de ce protocole s'étendent au-delà de la démonstration spécifique à plusieurs domaines de recherche. Dans les communications sans fil 6G, la méthode permet de concevoir des surfaces intelligentes reconfigurables pour le guidage de faisceaux térahertz (0,1-10 THz), la focalisation de faisceaux pour le transfert d'énergie sans fil et la génération de moment angulaire orbital pour la multiplexage par division de mode. Dans les systèmes LiDAR pour véhicules autonomes, la possibilité de régler la phase optique permet un balayage de faisceau sans pièces mécaniques, avec une résolution de 0,1° et des temps de commutation de l'ordre de la microseconde, par rapport aux systèmes mécaniques dont la réponse est de l'ordre de la milliseconde et dont la durée de vie est limitée. Dans les affichages holographiques, les cellules unitaires sous-longueur d'onde assurent un contrôle de l'amplitude et de la phase pour la projection d'images tridimensionnelles avec une résolution 4K et des fréquences de rafraîchissement de 60 Hz. Dans les communications quantiques, les résonances excitoniques dans les nanotubes de carbone monoparois (SWCNT) à des températures cryogéniques offrent des perspectives intéressantes pour la manipulation de photons uniques, la génération de paires de photons intriqués par mélange à quatre ondes spontané, et des applications de mémoire quantique avec des temps de cohérence supérieurs à 1 ns.

Des prolongements futurs de ce protocole pourraient intégrer un apprentissage par renforcement afin d'optimiser de façon adaptative le faisceau dans des environnements dynamiques, où la surface intelligente reconfigurable apprend les configurations de phase optimales par interaction avec le canal sans fil. Une validation expérimentale à l'aide de métasurfaces en nanotubes de carbone à paroi unique fabriquées par dépôt chimique en phase vapeur et structuration par lithographie au faisceau d'électrons fournirait des données essentielles pour l'amélioration du modèle. Une extension aux nanotubes de carbone à double et à multi-parois pourrait accroître la bande passante et la stabilité thermique pour des applications à haute puissance. L'intégration avec des circuits photoniques intégrés permettrait de réaliser des surfaces intelligentes reconfigurables optiques à l'échelle de la puce, dotées d'électronique de commande intégrée. Enfin, l'intégration de calculs complets de structure de bande selon la théorie de la fonctionnelle de la densité améliorerait la précision pour des chiralités autres que la (10,5) étudiée ici.

Matériaux

Liste des matériaux utilisés dans cet article

Nom	Entreprise	Numéro de catalogue	Commentaires
CST Microwave Studio	Dassault Systèmes	N/A	Version 2024, solveur en domaine fréquentiel
MATLAB	MathWorks	N/A	Version R2014a ou ultérieure
Substrat de quartz	University Wafer	4526	épaisseur de 500 nm, ε_r = 3.8
Chiralité SWCNT (10,5)	NanoIntegris	SWCNT-105	diamètre de 0,60 nm, >90 % semiconducteur
Ordinateur personnel	N/A	N/A	32 Go de RAM, 8 cœurs de processeur au minimum