Analyse spatio-temporelle des champs thermo-photoélastiques couplés dans le silicium anisotrope renforcé de fibres utilisant une méthode des valeurs propres

Résumé

Cette étude analyse les champs thermo-photoélastiques couplés dans le silicium anisotrope renforcé de fibres en utilisant une méthode du mode normal et des valeurs propres. Les résultats montrent une désintégration spatiale et une évolution du champ dépendante du temps, avec une forte sensibilité à l’anisotropie. Les cartes thermiques illustrent la répartition et la localisation des champs.

Résumé

Cette étude étudie un système thermo-photoélastique couplé dans un milieu semi-conducteur en silicium anisotrope renforcé par fibres, visant à capturer l’interaction entre les champs thermique, porteur et mécanique. Ces matériaux anisotropes renforcés par des fibres jouent un rôle crucial dans les applications d’ingénierie modernes, notamment les dispositifs microélectroniques et optoélectroniques, les technologies basées sur des lasers, les capteurs et les structures composites avancées, où des propriétés directionnelles et des performances mécaniques améliorées sont requises. Ils sont particulièrement importants dans la conception de composants semi-conducteurs soumis à des charges thermiques et optiques, où une prédiction précise du comportement du champ couplé est essentielle pour la fiabilité et l’optimisation des performances. Les équations gouvernantes sont formulées à partir du modèle physique couplé puis transformées en une forme sans dimension pour simplifier l’analyse et mettre en évidence l’influence relative des paramètres impliqués. Le problème est résolu en utilisant une technique de mode normal et réduit à un système différentiel vectoriel-matricielle du premier ordre, suivi d’une approche à valeurs propres pour obtenir des solutions analytiques satisfaisant les conditions aux limites imposées dans un domaine semi-infini. L’analyse numérique est réalisée pour examiner l’effet de la variation temporelle sur tous les champs physiques, révélant une forte atténuation spatiale et un comportement couplé régis par l’anisotropie et le renforcement des fibres. Des représentations spatio-temporelles sont utilisées pour visualiser l’évolution et la localisation des champs, fournissant un aperçu physique des interactions multiphysiques et démontrant l’efficacité de l’approche analytique.

Introduction

La thermo-photoélasticité est devenue un domaine multidisciplinaire important qui décrit l’interaction entre les effets thermiques, mécaniques et optiques dans les matériaux semi-conducteurs sous excitation photothermique. Le couplage entre ces champs devient particulièrement notable dans les applications modernes impliquant le chauffage laser et l’excitation optique. Par exemple, Saeed¹ a étudié les interactions thermo-photoélastiques dans les semi-conducteurs à l’aide de modèles hyperboliques à deux températures, démontrant l’importance des effets de relaxation thermique pour prédire avec précision le comportement des systèmes. La réponse thermomécanique des composites renforcés de fibres a également attiré une attention considérable en raison de leur résistance mécanique accrue et de leurs propriétés anisotropes. Li et^{Lambros 2} ont analysé le comportement thermomécanique dynamique de ces composites, soulignant leur adéquation pour des applications d’ingénierie avancées. De même, Kalkal et ^al.3 ont étudié les déformations bidimensionnelles (2D) dans des milieux renforcés de fibres gradués fonctionnellement en rotation sous champs magnétiques, montrant la forte influence de l’anisotropie et des effets externes sur la réponse du système. De plus, Pitarresi et ^al.4 ont examiné le rôle de l’hétérogénéité macroscopique dans le comportement thermoélastique, soulignant la nécessité d’une modélisation précise des matériaux composites. Les développements récents ont étendu ces études aux milieux semi-conducteurs avec des effets multiphysiques couplés. Mondal et ^al.5 ont étudié la propagation des ondes dans les semi-conducteurs renforcés en tenant compte des réponses mémoire et des champs magnétiques, révélant des interactions complexes couplées. Des études expérimentales, telles que celles d’Akai et ^al.6, ont évalué les dommages causés par la fatigue dans les composites renforcés de fibres en utilisant des variations de température thermoélastiques, confirmant leur importance pratique. De plus, des approches micromécaniques ont été employées pour estimer les propriétés thermoélastiques efficaces, comme l’ont démontré Lu et ^al.7. L’influence de la charge externe et des conditions environnementales a également été largement étudiée. Barak et^{Dhankhar 8} ont analysé la charge inclinée dans des milieux renforcés de fibres gradués fonctionnellement, tandis que Kundu et^{Kalkal 9} ont examiné les interactions photothermiques sous gravité et les charges thermiques en mouvement. Chaudhary et ^al.10 ont étudié des propriétés dépendantes de la température à l’aide de modèles à double phase et décalage, et Pandit et ^al.11 ont appliqué des modèles de déformation fractionnaire pour capturer le comportement de déformation non local. Ces études soulignent l’importance de prendre en compte des conditions réalistes de charge et de matériaux dans l’analyse thermoélastique.

Des phénomènes dynamiques et liés aux vibrations ont également été explorés dans les systèmes semi-conducteurs. Song et ^al.12 ont étudié les vibrations photothermiques dans les structures semi-conductrices, tandis que Mondal et Sur¹³ ont analysé la propagation des ondes dans des milieux orthotropes avec des effets de mémoire. Les effets viscoélastiques et microstructurels ont été étudiés par Abouelregal et ^al.14, et les effets de chauffage de type rampe ont été étudiés par Hobiny et ^al.15. De plus, des modèles thermoélastiques généralisés tels que la théorie du décalage triphasé ont été développés par Zenkour¹⁶ pour améliorer la précision des prédictions. Des modèles multiphysiques avancés incorporant des effets électromagnétiques et micropolaires ont encore enrichi la compréhension du comportement thermo-photoélastique. Al-Hazaemh et ^al.17 ont étudié l’excitation photo-électro-magnéto-thermoélastique dans des milieux semi-conducteurs rotatifs, tandis que Nazir et Kumar¹⁸ ont analysé les interactions thermoélastiques micropolaires. Song et ^al.19 ont également examiné les interactions thermoélastiques non dissipatives, et Nasr et^{Abouelregal 20} ont étudié les processus d’absorption de la lumière dans les semi-conducteurs à cavités. Les modèles non locaux et à ordre fractionnaire ont joué un rôle crucial dans les développements récents. Gupta et ^al.21 ont étudié l’excitation photothermique dans des milieux poreux non locaux, tandis que Hobiny et^{Abbas 22} ont analysé la propagation des ondes d’ordre fractionnaire dans les semi-conducteurs. Hafed et Zenkour²³ ont étudié les effets de charge inclinée, et Oliinyk et ^al.24 ont examiné les effets thermo-photoélastiques non stationnaires. Le comportement fonctionnellement gradué des semi-conducteurs sous excitation laser a également été exploré par Awwad et ^al.25, tandis que Gupta et ^al.26 ont étudié le couplage thermo-piézo-photoélectrique avec des modèles dépendants de la mémoire. Des approches expérimentales classiques combinant techniques thermiques et optiques ont été établies par Greene et^{Patterson 27} ainsi que par Barone et Patterson²⁸, fournissant des méthodes fiables pour l’analyse des contraintes. De plus, Kaur et Singh²⁹ ont développé des modèles non locaux dépendants de la mémoire pour les résonateurs semi-conducteurs, et Abbas et ^al.30 ont analysé les interactions photothermiques avec conductivité thermique variable. Des études expérimentales et numériques sur des membranes composites renforcées ont été menées par Lu et ^al.31, tandis que Purkait et^{Kanori 32} ont étudié les réponses mémoire dans des milieux renforcés de fibres en rotation. Abo-Dahab et ^al.33 ont également examiné la réflexion des ondes dans des milieux thermoélastiques renforcés par fibres sous conditions de charge. Plus récemment, des modèles thermoélastiques fractionnaires et non locaux avancés ont été proposés pour décrire des matériaux complexes. Abouelregal et ^al.34 ont étudié les réponses thermiques dans les tissus biologiques à l’aide de modèles fractionnaires, tandis que Selvamani et ^al.35,36 ont étudié la propagation non locale des ondes et le comportement des vibrations dans les nanobeams. De plus, des modèles à double phase de décalage et viscoélastiques ont été appliqués aux microstructures par Abouelregal et ^al.37, et des formulations thermoélastiques fractionnaires avec noyaux mémoire ont été^{développées 38,39} pour capturer des phénomènes complexes couplés.

Malgré ces développements étendus, la plupart des études existantes se concentrent principalement sur des solutions analytiques ou numériques sans fournir de visualisation spatiotemporelle détaillée des champs physiques. Dans de nombreuses applications pratiques, notamment dans les milieux semi-conducteurs anisotropes renforcés par fibres, la réponse du système dépend fortement à la fois des variations spatiales et temporelles, rendant la visualisation essentielle pour une interprétation précise. De plus, bien que les approches numériques et expérimentales fournissent des informations précieuses, les méthodes analytiques basées sur les techniques de modes normaux et de valeurs propres offrent des avantages significatifs dans les problèmes impliquant des domaines semi-infinis et des systèmes multiphysiques couplés. Ces approches permettent des solutions en forme fermée, offrant une compréhension physique plus approfondie des mécanismes de propagation, d’atténuation et de couplage des ondes, et servent de repères fiables pour valider les résultats numériques et expérimentaux.

Dans le présent travail, une étude approfondie du comportement thermo-photoélastique couplé dans un milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres est présentée. La nouveauté de cette étude réside dans l’intégration d’une approche analytique basée sur les valeurs propres avec la visualisation de cartes thermiques spatiotemporelles afin d’offrir une compréhension plus approfondie de l’évolution et de la localisation des champs physiques. L’objectif de ce travail est d’analyser l’influence de l’anisotropie et du renforcement des fibres sur l’interaction entre les champs thermique, mécanique et porteurs, et de démontrer l’applicabilité de la méthode proposée à l’interprétation de phénomènes multiphysiques complexes pertinents pour des applications modernes d’ingénierie telles que les dispositifs semi-conducteurs, les capteurs et les technologies basées sur les lasers.

Protocole

Cette étude repose entièrement sur la modélisation théorique et les simulations numériques et n’implique pas de participants humains, de sujets animaux ou de spécimens biologiques. Par conséquent, l’approbation éthique et le consentement éclairé n’étaient pas requis.

Formulation mathématique de la photo-thermoélasticité dans des milieux anisotropes renforcés par fibres
La présente étude a examiné un demi-espace semi-conducteur anisotrope 2D renforcé par fibres soumis à une excitation optique de surface. Le milieu occupait la région x ≥ 0, où la frontière à x = 0 représente la surface exposée. Le système de coordonnées était défini de sorte que l’axe des x s’étendait dans le milieu, tandis que l’axe des y se trouvait le long de la surface et décrivait le comportement dans le plan. Le matériau était supposé homogène mais anisotrope en raison de la présence de fibres de renfort alignées, ce qui introduisait une dépendance directionnelle dans les propriétés élastiques et de couplage. L’absorption optique à la surface a généré un chauffage localisé et des porteurs de charge excessifs, conduisant à une interaction entièrement couplée entre les champs thermique, mécanique et porteurs. En conséquence, l’état du système était décrit par la température θ(x, y, t) (K), la densité de porteurs N (x, y, t) (^m-3), et les composantes de déplacement u (x, y, t) et v (x, y, t)(m), sous l’hypothèse de petites déformations. Un schéma du domaine physique, du système de coordonnées, de l’orientation des fibres et de l’excitation optique appliquée est illustré à la Figure 1. Tous les calculs symboliques et numériques étaient effectués à l’aide de Wolfram Mathematica (Version 12.0).

Figure 1. Représentation schématique du milieu semi-conducteur semi-infini renforcé par fibres soumis à une excitation optique à la frontière x = 0. Le système de coordonnées (x, y) est montré, avec l’orientation de la fibre alignée le long de la direction x (a = (1, 0)), illustrant la configuration géométrique et l’anisotropie dépendante de la direction du milieu. Veuillez cliquer ici pour voir une version agrandie de cette figurine.

La relation constitutive pour le tenseur de contrainte dans un milieu semi-conducteur thermoélastique anisotrope renforcé par des fibres a été exprimée sous la forme générale à l’aide de l’équation 1 ^1,5. Dans cette formulation, θ désigne l’incrément de température par rapport à la température de référence T₀, tandis que T représente la température absolue lorsque cela est applicable.

.   (1)

Ici, C_ijkl sont les coefficients de rigidité élastique, e_kl est le tenseur de déformation, et β_ij et η_ij représentent respectivement les tenseurs de couplage thermoélastique et de porteur. En présence d’un renforcement de fibre, la réponse du matériau devenait dépendante de la direction et était régie par le vecteur d’orientation de la fibre a = (a_i), ce qui introduisait des contributions anisotropes à la fois dans les termes élastiques et de couplage. En conséquence, la relation constitutive a été étendue pour incorporer explicitement l’effet du renforcement de la fibre comme ^2,3 :

. (2)

Ici, λ et μ_τ sont les constantes de Lamé, et μ_L est le module de cisaillement longitudinal le long de la direction de la fibre. Le paramètre α représente les effets de renforcement des fibres et se distingue de α_ij, qui désignent les coefficients de dilatation thermique. Le vecteur unitaire définissait l’orientation de la fibre et introduisait une dépendance directionnelle dans la réponse contrainte-déformation. Pour la formulation 2D actuelle, on supposait que les fibres étaient alignées selon l’axe des x ; par conséquent, le vecteur d’orientation a été explicitement pris comme un = (1, 0). Cette spécification a fourni une paramétrisation claire de la direction de la fibre et a permis d’intégrer de manière cohérente les contributions anisotropes dans les équations gouvernantes, abordant directement le comportement directionnel induit par le renforcement des fibres. Pour la configuration 2D actuelle, les composantes gouvernantes de contrainte se sont réduites à :

, (3)

, (4)

. (5)

Ces équations illustrent l’influence combinée de l’anisotropie, du renforcement des fibres et des effets de couplage multiphysique. Les coefficients _{β ij} et η_ij étaient définis en termes de paramètres du matériau comme suit :

,

,

,

.

Ici, les coefficients A_ij représentent les constantes élastiques effectives du milieu anisotrope renforcé par des fibres et ont été définis comme suit :

. (6)

Ici, λ, μ_L et μ_T sont les constantes élastiques du milieu anisotrope renforcé par fibres, tandis que α_ij et ξ_ij représentent respectivement les coefficients d’expansion thermique et des porteurs. La propagation des ondes élastiques dans les milieux semi-conducteurs thermo-photoélastiques était régie par le principe de conservation de la quantité de mouvement linéaire, qui a constitué la base de l’analyse thermoélastique dynamique. En l’absence de forces corporelles, l’équation générale du mouvement pour un continuum déformable s’exprime comme suit sur la^{base de 1,15} :

. (7)

Ici, ρ est la densité de masse et σ_ij est le tenseur de contrainte. Dans la présente étude, la formulation était limitée à une configuration 2D dans le plan x - y , et le champ de déplacement était représenté par u(x, y, t) et v(x, y, t). Suivant les formulations standard dans les milieux thermo-photoélastiques, les équations gouvernantes du mouvement en deux dimensions étaient écrites comme suit :

, (8)

. (9)

En substituant les relations constitutives anisotropes renforcées par fibres dans les équations ci-dessus, le système couplé résultant d’équations aux dérivées partielles (ED) a été obtenu comme suit :

, (10)

. (11)

Ici, les indices désignent une différentiation partielle par rapport aux variables spatiales et temporelles. Ces équations mettent en lumière l’influence couplée de l’anisotropie, du renforcement des fibres, des gradients de température et de la diffusion des porteurs sur la réponse dynamique du milieu. En présence d’excitation optique, le champ thermique à l’intérieur du semi-conducteur était fortement influencé par l’interaction avec la densité des porteurs et la déformation mécanique, ce qui aboutissait à un processus de transport d’énergie entièrement couplé. Contrairement à la conduction thermique classique, l’évolution de la température dans ces milieux était régie par des termes sources supplémentaires issus de la recombinaison des porteurs et des effets thermoélastiques, qui modifiaient significativement les caractéristiques de propagation de la chaleur. L’équation de conduction thermique dans le cadre de la thermoélasticité généralisée était exprimée comme^{suit 16,20} :

. (12)

Ici, C_E est la chaleur spécifique à déformation constante, représentant la capacité thermique du matériau, et T₀ désigne la température absolue de référence du milieu dans son état d’équilibre. Pour la configuration 2D actuelle, cette équation s’est réduite à^16,20 :

. (13)

Cette équation démontre que le champ de température était affecté non seulement par la conductivité thermique directionnelle mais aussi par la recombinaison des porteurs via le terme , ainsi que par la déformation dépendante du temps via les termes de couplage thermoélastique. Cette formulation a saisi les interactions multiphysiques essentielles régissant le transfert de chaleur dans le semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres et a mis en lumière le rôle à la fois de la dynamique des porteurs et de la réponse mécanique dans la modification du comportement thermique du système. Lorsqu’un milieu semi-conducteur était soumis à une excitation optique, un nombre significatif de porteurs de charge était généré grâce à l’absorption du rayonnement incident. Ces porteurs subissaient des processus de transport incluant la diffusion spatiale, la recombinaison et la génération thermique, tous liés intrinsèquement au champ de température du matériau. Par conséquent, la densité des porteurs est devenue l’une des variables clés régissant la réponse thermo-photoélastique couplée.

Dans la formulation actuelle, l’évolution de la concentration de porteurs a été décrite par un équilibre entre les mécanismes de diffusion, les effets de désintégration et les processus d’activation thermique, conduisant à la relation gouvernante^{suivante : 1,5}"

. (14)

Ici, D_E représente le coefficient de diffusion des porteuses et est l’opérateur laplacien 2D dans le plan x - y. Le terme prend en compte les effets de recombinaison avec le temps de relaxation τ, tandis que k est le coefficient de couplage des porteurs thermiques défini comme , qui caractérise la sensibilité de la concentration de porteurs d’équilibre N₀ aux variations de température. Cette relation met en lumière le rôle de la température comme mécanisme moteur de la génération de porteurs et établit un couplage direct entre les champs thermique et électronique dans le milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres.

Les équations gouvernantes et la formulation mathématique du système porteur photothermoélastique couplé ont été établies. Les paramètres physiques et matériels correspondant au milieu du silicium (Si) sont résumés dans le tableau 1, avec leurs valeurs numériques, unités et références correspondantes. Ces paramètres sont ensuite utilisés dans les calculs numériques et dans le processus de non-dimensionnalisation.

Symbole	Valeur	Unité	Référence
λ	3,64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5,46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3,20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
K11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2,5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
11 α	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
22 α	3,5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2,16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1,28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220,90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (sans dimension)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (sans dimension)	15
N₀	1	— (sans dimension)	15

Tableau 1. Propriétés et paramètres du matériau utilisés dans l’analyse numérique du milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres. Toutes les grandeurs sont exprimées en unités SI, sauf indication contraire. Les paramètres sans dimension sont indiqués en conséquence. Les valeurs listées correspondent aux propriétés des matériaux à base de silicium et aux paramètres de modèle utilisés dans les présents calculs, obtenus à partir des références citées. Le coefficient de couplage des thermoporteurs κ est défini comme κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), suivant les formulations standard des modèles de semi-conducteurs thermo-photoélastiques.

Formulation adimensionnelle du modèle photo-thermoélastique anisotrope couplé
Pour simplifier les équations gouvernantes et obtenir une représentation non dimensionnelle cohérente du système thermo-photoélastique couplé, des échelles caractéristiques appropriées ont été introduites pour les coordonnées spatiales x, y, temps t, composantes de déplacement u, v, température T, densité de porteurs N et contraintes σ. Ces paramètres d’échelle ont été sélectionnés de manière cohérente en fonction des propriétés physiques intrinsèques du milieu et des mécanismes de couplage entre les champs thermique, mécanique et porteurs, selon des formulations établies rapportées dans la^{littérature 16,21}. En conséquence, les variables sans dimension étaient définies comme suit :

, , , , , , , , .

Cette transformation a réduit le nombre de paramètres indépendants du matériau et a fourni une représentation normalisée du système couplé. En substituant les variables sans dimension ci-dessus dans les équations gouvernantes précédemment dérivées, le système a été réécrit sous une forme non dimensionnelle. Pour simplifier, la notation première associée aux variables sans dimension a ensuite été omise. Cette procédure a donné un ensemble compact de ED partiels sans dimension, qui peuvent s’écrire sous la forme suivante :

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Après application de la transformation non dimensionnelle, les composantes de contrainte du système ont été écrites sous la forme normalisée suivante :

, (19)

, (20)

. (21)

Les paramètres sans dimension a_i ont été introduits pour représenter des combinaisons compactes des propriétés physiques et matérielles régissant le comportement anisotrope couplé photo-thermoélastique. Chaque coefficient reflétait un mécanisme d’interaction spécifique au sein du système et offrait un aperçu de l’influence relative des processus physiques sous-jacents. représente le rapport entre la rigidité de couplage normale et la rigidité élastique principale, reflétant le degré d’interaction anisotrope entre les deux composants de déplacement. caractérise la contribution relative de la déformation transversale à la composante normale des contraintes. mesure la variation directionnelle du couplage thermoélastique, indiquant l’anisotropie dans les effets de dilatation thermique. décrit l’influence anisotrope de la densité des porteurs sur la déformation élastique induite. représente la raideur de cisaillement normalisée et quantifie la contribution de la déformation par cisaillement par rapport à la déformation normale. prend en compte le couplage combiné entre la déformation normale et la déformation de cisaillement dans les équations de déplacement gouvernantes. exprime le rapport entre la raideur transversale et la rigidité du cisaillement, mettant en évidence le comportement de déformation anisotrope. représente le paramètre inertiel normalisé, reliant les effets de propagation des ondes à la rigidité du cisaillement. caractérise le couplage entre gradients de déplacement dans différentes directions spatiales. quantifie la contribution relative des effets thermiques au champ de déplacement dans la direction transversale. mesure l’effet de la déformation induite par le porteur par rapport à la rigidité du cisaillement. : représente l’anisotropie de la conductivité thermique selon différentes directions spatiales. caractérise l’influence de la recombinaison des porteurs sur la production de chaleur au sein du milieu. représente le couplage entre les effets thermiques et la déformation élastique dépendante du temps. explique l’influence combinée de l’expansion thermique anisotrope dans les deux directions spatiales. représente le paramètre de diffusion normalisé contrôlant la vitesse de transport des porteurs. caractérise la force relative des effets de recombinaison des porteurs. décrit le couplage entre les variations thermiques et les processus de génération des porteurs.

Solution analytique utilisant la technique du mode normal
Pour obtenir des solutions analytiques pour le système thermo-photoélastique anisotrope couplé, la technique du mode normal a été employée en raison de son efficacité à réduire les ED partiels gouvernants en un système plus facile à traiter d’ED ordinaires. Cette approche est largement utilisée dans l’analyse des phénomènes de propagation des ondes, y compris la dispersion et l’atténuation. En conséquence, les variations harmoniques des variables de champ dans le temps et dans la direction spatiale transversale étaient supposées ^1,12,23. Ainsi, les composantes de déplacement, la température, la densité des porteurs et la contrainte étaient exprimées de façon exponentielle comme suit :

. (22)

Ici, ω désigne la fréquence complexe régissant le comportement temporel des champs, tandis que a représente le nombre d’onde associé à la variation spatiale le long de la direction y. Ces paramètres ont été sélectionnés pour satisfaire aux exigences de stabilité et garantir des solutions bornées physiquement admissibles dans le domaine semi-infini. En substituant les formes supposées ci-dessus dans les équations gouvernantes non dimensionnelles précédemment dérivées et en simplifiant les expressions obtenues, le système couplé original des ED partiels a été réduit à un système d’ED ordinaires par rapport à la coordonnée spatiale , qui peut s’écrire comme suit :

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

De plus, les composantes de contrainte correspondantes dans le domaine transformé étaient écrites comme suit :

, (27)

, (28)

. (29)

Ici, D désigne l’opérateur différentiel . Ces équations représentent la forme réduite du système de gouvernance dans le domaine des modes normaux et fournissent la base pour dériver l’équation caractéristique et construire la solution analytique générale aux étapes suivantes. Les coefficients étaient définis comme suit : , , , , , , , , , , .

Formulation matricielle des DE et analyse des valeurs propres
Après l’application de la transformation en mode normal, le système de gouvernance donné dans les équations 23–26 a été réduit à un ensemble d’ED ordinaires du second ordre par rapport à la coordonnée spatiale. Pour faciliter une solution systématique, ce système a été converti en un système équivalent du premier ordre en introduisant des variables auxiliaires correspondant aux premières dérivées des grandeurs de champ. Plus précisément, les variables suivantes ont été définies :

, . (30)

En utilisant ces définitions, les équations 23 à 26 ont été réécrites comme le système suivant de huit ED du premier ordre :

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Le système ci-dessus a été exprimé sous forme de matrice compacte A comme suit :

. (36)

Le vecteur d’état était donné par les suivants :

. (37)

et la matrice système prenait la forme explicite :

. (38)

Cette formulation transformait le système original en un problème de valeurs propres ^1,15. L’équation caractéristique a été obtenue à partir de

. (39)

ce qui donne un polynôme d’ordre huitième régissant les valeurs propres. Sous une forme réduite, le polynôme caractéristique peut s’écrire comme

. (40)

où Z_i les coefficients sont des fonctions des paramètres du système et sont définis explicitement ci-dessous. Les valeurs propres résultantes déterminent le comportement spatial de la solution, y compris les caractéristiques d’atténuation et de propagation. Seules les valeurs propres satisfaisant Re(m) > 0 sont conservées pour garantir des solutions physiquement admissibles qui décroissent exponentiellement à mesure que x → ∞.

. (41)

Les racines du polynôme caractéristique définissent les valeurs propres m, qui gouvernent le comportement spatial de la solution. Ces valeurs propres ont été calculées numériquement à l’aide de Mathematica en construisant le polynôme caractéristique via la fonction CharacteristicPolynomial et en résolvant l’équation algébrique résultante à l’aide de NSolve. Puisque le problème est formulé dans un domaine semi-infini (x ≥ 0), seules les solutions physiquement admissibles qui restent bornées par x → ∞ sont considérées. En conséquence, seules les valeurs propres satisfaisant Re(m) > 0 ont été conservées, assurant des solutions exponentiellement décroissantes de la forme exp(−mx) comme x → ∞. Les racines restantes ont été écartées car elles correspondent à des solutions non décroissantes ou non bornées qui ne sont pas cohérentes avec les exigences physiques du modèle.

Pour chaque valeur propre conservée m, le vecteur propre correspondant a été obtenu à partir du système algébrique associé

, (42)

et était exprimé sous la forme suivante :

. (43)

En développant l’équation matricielle ci-dessus, le système d’équations linéaires suivant a été obtenu :

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

En raison de l’homogénéité du problème des valeurs propres, les vecteurs propres ont été définis jusqu’à une constante multiplicative arbitraire. Pour obtenir une représentation unique et cohérente, une condition de normalisation a été imposée en fixant une composante du vecteur propre. Dans le présent travail, la première composante a été sélectionnée de manière à q₁ = 1, et les autres composantes ont été déterminées séquentiellement à partir du système d’équations ci-dessus. D’un point de vue computationnel, cette normalisation a été mise en œuvre en attribuant une valeur unité à un composant et en résolvant le système résultant d’équations linéaires pour évaluer les composantes restantes. Cette procédure a fourni un moyen systématique et reproductible de calculer les vecteurs propres associés à chaque valeur propre admissible.

. (49)

Et les autres composants découlent en conséquence des relations système. Ces vecteurs propres décrivent les contributions relatives de la température, de la densité de porteurs et des champs de déplacement au sein de chaque mode. Par conséquent, la solution générale du problème a été construite comme une combinaison linéaire des modes propres admissibles, chacun associé à une valeur propre et à son vecteur propre correspondant, fournissant ainsi une description analytique complète du comportement photo-thermoélastique anisotrope couplé dans le milieu à demi-espace. La solution générale du système était donc écrite comme suit :

. (50)

Ici, C_i sont des constantes déterminées à partir des conditions aux limites. En dépliant l’expression vectorielle ci-dessus, les variables de champ ont été obtenues comme suit :

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Cette représentation montre que la solution consiste en une superposition de modes exponentiels, où chaque paire valeurs propres-vecteurs propres contribue indépendamment à la réponse physique globale. Les valeurs propres admissibles sont sélectionnées de manière à ce que leurs parties réelles soient positives, assurant des solutions bornées et physiquement significatives comme x → ∞.

Conditions aux limites et contraintes physiques
En substituant la solution générale dans les conditions aux limites prescrites à x = 0, on obtient un système d’équations algébriques linéaires en termes des constantes C_i. Plus précisément, chaque condition aux limites (contraintes de température, densité de porteurs et déplacement) était exprimée en termes d’expansions en modes propres, aboutissant à un ensemble d’équations reliant les coefficients C_i. Cette procédure a conduit à un système linéaire pouvant s’écrire sous forme matricielle comme BC = D, où B est la matrice des coefficients construite à partir des composantes des vecteurs propres évalués à la frontière, C = (C₁, C₂, C₃,_{C 4})^T est le vecteur des constantes inconnues, et est déterminé à partir des valeurs de frontière imposées telles que θ₀, N₀, et les contraintes de déplacement. Le système linéaire résultant a été résolu de façon computationnelle à l’aide de Mathematica, où la matrice des coefficients et le vecteur du côté droit ont été assemblés explicitement, et les constantes inconnues ont été obtenues à l’aide de la routine LinearSole. Ces constantes ont ensuite été remplacées dans la solution générale pour construire les expressions complètes des champs physiques, qui ont ensuite été utilisées dans l’évaluation numérique et la représentation graphique des résultats.

Les conditions aux limites imposées étaient données comme suit :

Contrainte de température :

. (55)

Cette condition représente une température de surface harmoniquement variable induite par un chauffage optique périodique. Il agit comme excitation thermique primaire pilotant les processus de transport thermoélastique et porteur couplés au sein du milieu. L’amplitude θ₀ caractérise l’intensité de la charge thermique appliquée.

Contrainte de densité de porteurs :

. (56)

Cette condition aux limites décrit la densité de porteurs photo-générée résultant de l’éclairage optique. Il réfléchit l’excitation électronique due à l’absorption des photons et sa modulation harmonique est cohérente avec le champ optique incident.

Contrainte de déplacement :

. (57)

Cette condition indique que la frontière est mécaniquement contrainte dans la direction transversale. Ainsi, aucun déplacement ne se produit le long de la direction V à la surface.

Contrainte de contrainte de cisaillement :

. (58)

Cette condition correspond à une frontière sans traction par rapport à la contrainte de cisaillement. Elle garantit qu’aucune force tangentielle n’agit sur la surface, ce qui est cohérent avec une frontière mécaniquement libre dans la direction tangentielle. En plus des conditions aux limites en x = 0, l’exigence physique à l’infini était imposée ainsi : garantir des solutions physiques bornées dans le domaine semi-infini. Avant de présenter les résultats numériques, la procédure computationnelle globale adoptée dans cette étude est résumée à la Figure 2. Les valeurs numériques des paramètres d’excitation θ₀, N₀, fréquence complexe ω et nombre d’onde a utilisés dans les calculs sont listées dans le tableau 1. Les paramètres listés dans le tableau 1 incluent à la fois les constantes de matériau de dimension et les paramètres non dimensionnels utilisés dans la formulation normalisée. Pour l’évaluation numérique, le domaine spatial a été défini comme , la coordonnée transversale était fixée à y = 0,6, et le domaine temporel était considéré dans . Ces plages étaient utilisées pour tous les calculs numériques et les représentations graphiques.

Figure 2. Flux de travail computationnel de la méthode proposée. La figure illustre la séquence d’étapes entre la formulation et les résultats numériques : équations gouvernantes, non-dimensionnalisation, application de la technique du mode normal, conversion vers un système du premier ordre, formulation matricielle, analyse des valeurs propres et vecteurs propres, application des conditions aux limites, détermination des constantes et génération de graphiques numériques. Veuillez cliquer ici pour voir une version agrandie de cette figurine.

Résultats

Résultats numériques
Dans cette section, des calculs numériques ont été effectués pour analyser le comportement du système porteur thermo-photoélastique couplé dans un milieu semi-conducteur anisotrope renforcé de fibres. Le matériau considéré était le silicium (Si), et ses paramètres physiques et matériels sont listés dans le tableau 1. Ces constantes matérielles ont été directement substituées dans les équations gouvernantes et implémentées dans les...

Discussion

Les résultats obtenus fournissent une compréhension physique claire du comportement thermo-photoélastique couplé dans les milieux semi-conducteurs anisotropes renforcés par fibres. La présente étude propose un cadre analytique basé sur les valeurs propres pour étudier l’interaction entre la charge thermique, la génération de porteurs et la déformation élastique dans ces milieux. La réponse observée est fondamentalement gouvernée par le fort couplage entre ces processus physiques. L’absor...

Matériaux

Liste des matériaux utilisés dans cet article

Nom	Entreprise	Numéro de catalogue	Commentaires
Logiciels informatiques (analyse symbolique et numérique)	Recherche Wolfram	Wolfram Mathematica (version 12.0) a été utilisée	Utilisé pour le calcul des valeurs propres, l’implémentation analytique de solutions et l’évaluation numérique
Outils de visualisation de données (génération de contours et de cartes thermiques)	Recherche Wolfram	Wolfram Mathematica (Version 12.0) a été utilisé pour générer des courbes de niveau 2D et des cartes de chaleur spatiotemporelles	Utilisé pour générer des courbes de niveau 2D et des cartes de chaleur spatiotemporelles
Jeu de données sur les paramètres du matériau (propriétés des semi-conducteurs en silicium)	Diverses sources littéraires	N/A	Constantes physiques (élastiques, thermiques, liées aux porteurs) utilisées dans les calculs (Tableau 1)
Ordinateur personnel/poste de travail	HP  ;	N/A	Les calculs étaient effectués sur un ordinateur personnel standard fonctionnant sous Windows OS avec suffisamment de mémoire pour des simulations numériques
Éditeur d’équations	Microsoft  ; Type de mots et de type mathématique	N/A	Utilisé pour la mise en forme et la présentation des expressions mathématiques dans le manuscrit
Logiciel de gestion de références	Elsevier	N/A	Utilisé pour gérer les références et formater les citations (style Vancouver)