Effets de rotation sur la propagation des ondes magnéto-photo-thermoélastiques dans un demi-espace semi-conducteur anisotrope renforcé de fibres sous excitation optique

Résumé

Nous présentons un modèle analytique pour étudier la propagation des ondes magnéto-photo-thermoélastiques rotatives dans des semi-conducteurs anisotropes renforcés par fibres sous excitation optique. La méthode peut être utilisée pour analyser la température, la densité de porteurs, le déplacement et la distribution des contraintes dans les matériaux semi-conducteurs avancés.

Résumé

Cette étude étudie le comportement couplé rotatif magnéto-photo-thermoélastique d’un demi-espace semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres, soumis à une excitation optique et à un champ magnétique appliqué. Les équations gouvernantes, intégrant les effets thermiques, élastiques, de densité porteuse, électromagnétiques et de rotation, sont formulées dans un cadre multiphysique unifié. La méthode du mode normal est employée pour transformer les équations aux dérivées partielles couplées en un système d’équations différentielles ordinaires, qui est ensuite réécrit en un système différentiel matriciel du premier ordre. Une formulation basée sur les valeurs propres est alors développée pour construire la solution analytique du problème couplé. Le problème des valeurs propres résultant, le système à condition de frontière et les grandeurs de champ sont évalués numériquement. Des résultats numériques sont présentés pour la température, la densité des porteurs, les composantes de déplacement et les distributions de contraintes afin d’examiner les effets du paramètre de rotation et de l’intensité du champ magnétique sur les champs physiques couplés. Les résultats démontrent le rôle important des interactions rotationnelles et électromagnétiques dans la modification de la propagation des ondes, des caractéristiques d’atténuation et des distributions de champ au sein du milieu semi-conducteur anisotrope. Des calculs numériques ont été réalisés pour un milieu semi-conducteur à base de silicium.

Introduction

La photo-thermoélasticité est devenue un domaine de recherche actif grâce à sa capacité à décrire les interactions couplées entre les champs thermiques, mécaniques, optiques et de densité de porteurs dans les matériaux semi-conducteurs soumis à l’irradiation laser et à l’excitation photothermique. Ces phénomènes couplés jouent un rôle important dans les dispositifs optoélectroniques modernes, les technologies de semi-conducteurs, les systèmes de traitement laser et les applications microélectroniques. Saeed et ^al.1 ont étudié la propagation des ondes dans les solides semi-conducteurs aux propriétés dépendant de la température, tandis qu’Abbas et ^al.2 ont examiné les interactions photothermiques dans des semi-conducteurs présentant des cavités cylindriques et une conductivité thermique variable. Par la suite, Ihtisham Ullah et ^al.3 ont analysé l’influence de la conductivité thermique variable et des impulsions laser sur les ondes élastiques réfléchies dans les milieux semi-conducteurs. De plus, Yadav⁴ a étudié la propagation des ondes plasmatiques magnéto-photothermiques dans des semi-conducteurs de diffusion sous un cadre thermoélastique à retard multiphasique à deux températures. Plus récemment, Lute et ^al.5 et Lute et ^al.6 ont développé des modèles avancés de semi-conducteurs photo-thermoélastiques incorporant la génération de chaleur photothermique, les effets de mémoire et les interactions non locales, tandis qu’Alaofi et El-Dali⁷ ont proposé une formulation multiphysique photo-thermo-hygroélastique pour les matériaux semi-conducteurs. De plus, plusieurs modèles photo-thermoélastiques généralisés basés sur des théories de phase-décalage et des formulations non locales ont été rapportés comme ayant amélioré la description des phénomènes de transport thermique et de porteurs couplés chez les^{semi-conducteurs} 8,9,10,11.

La demande croissante pour des structures d’ingénierie légères et performantes a stimulé des recherches approfondies sur les matériaux anisotropes et renforcés par fibres. Grâce à leurs caractéristiques mécaniques supérieures et à leur résistance thermique accrue, les composites renforcés par fibres ont été largement utilisés dans les applications de génie aérospatial, civil et électronique. Khan et ^al.12 ont développé un modèle thermoélastique micropolaire unifié pour les composites renforcés de fibres dépendant de la température et ont démontré l’influence significative des paramètres microstructurels sur les caractéristiques de propagation des ondes. Pitarresi et ^al.13 ont étudié la réponse thermoélastique des plastiques renforcés par fibres et ont mis en lumière le rôle de l’hétérogénéité des matériaux dans les distributions de contraintes thermiques. Escalante-Solís et ^al.14 ont examiné l’effet de la courbure des fibres sur le comportement micromécanique des composites renforcés, tandis qu’Abo-Dahab et ^al.15 ont étudié les phénomènes de réflexion des ondes dans des milieux thermoélastiques renforcés par fibres. Plus récemment, Purkait et Kanoria¹⁶ ont analysé un milieu magnéto-thermoélastique renforcé de fibres rotatives soumis à une excitation laser pulsée, tandis qu’Akai et ^al.17 et Quinlan et ^al.18 ont étudié les réponses thermoélastiques dans des structures composites renforcées de fibres sous différentes conditions de charge. Ces études ont confirmé que les caractéristiques de renforcement et l’anisotropie influencent substantiellement le transport thermique, les concentrations de contraintes et le comportement de propagation des ondes. Néanmoins, la plupart des recherches disponibles étaient consacrées aux matériaux composites thermoélastiques et n’ont pas pris en compte simultanément le couplage des semi-conducteurs photo-thermoélastiques avec les mécanismes de transport des porteurs.

L’interaction entre les champs magnétiques et les milieux semi-conducteurs thermoélastiques a également attiré une attention considérable en raison de son importance dans les dispositifs électromagnétiques et les matériaux conducteurs. Yadav¹⁹ a étudié la réflexion d’onde dans un demi-espace magnéto-thermoélastique orthotrope rotatif avec des effets de diffusion, tandis que Selvamani et ^al.20 ont étudié la propagation des ondes magnétoélastiques dans des nanofaisceaux fractionnaires non locaux. Abouelregal et ^al.21 ont examiné la stimulation laser thermomagnétique couplée dans des structures poreuses magnétisées avec des effets dépendants de la mémoire, tandis que Chandel et ^al.22 ont proposé un cadre magnéto-thermoélastique non local basé sur la conduction thermique de Moore-Gibson-Thompson. Dans le contexte des semi-conducteurs,^{Abouelregal 23} a développé un modèle photo-thermoélastique fractionnaire modifié pour un demi-espace semi-conducteur rotatif soumis à un champ magnétique, et Sur²⁴ a étudié les interactions magnéto-photo-thermoélastiques dans des milieux présentant des caractéristiques héréditaires. Plus récemment, Saidi et ^al.25 et Rashid et ^al.26 ont analysé les perturbations magnéto-photo-thermoélastiques dans des milieux semi-conducteurs rotatifs généralisés et ont démontré l’influence significative de l’intensité magnétique sur la propagation des ondes couplées. Des observations similaires ont été rapportées dans les modèles avancés photo-thermo-viscoélastiques et de semi-conducteurs^{Moore-Gibson-Thompson} 27,28,29.

Les effets de rotation sont un autre aspect important de la thermoélasticité généralisée, car la rotation introduit des forces de Coriolis et centripètes supplémentaires qui modifient considérablement les caractéristiques de propagation des ondes. Khan et ^al.30 ont réalisé une analyse de sensibilité du comportement des ondes dans des solides thermoélastiques en rotation soumis à une charge thermique induite par laser. Yadav³¹ a étudié les ondes magnétothermoélastiques dans des milieux orthotropes rotatifs avec des effets de diffusion, tandis qu’Abouelregal et ^al.32 ont examiné les réponses thermoélastiques fractionnaires à double phase dans des milieux contraints en rotation contenant des cavités sphériques. De plus, Khan et ^al.33 ont étudié la propagation des ondes dans un demi-espace thermoélastique poreux rotatif sous un modèle non local fractionnaire à décalage triphasique. Les influences rotationnelles sur les nanostructures thermoélastiques des semi-conducteurs ont également été examinées par Abo-Dahab et ^al.34, qui ont démontré que la rotation peut modifier significativement les distributions thermiques et mécaniques des champs. Malgré ces efforts, les effets de rotation ont rarement été étudiés simultanément avec l’anisotropie, le renforcement de fibres, l’excitation optique, le transport des porteurs et les interactions du champ magnétique au sein d’un cadre semi-conducteur unifié.

Bien que des progrès substantiels aient été réalisés dans les études mentionnées précédemment, la plupart des recherches existantes se sont concentrées sur des combinaisons sélectionnées d’effets photo-thermoélastiques, magnétiques, rotationnels ou de renforcement. Un modèle analytique complet qui intègre simultanément l’excitation optique, la dynamique du transport des porteurs, l’anisotropie, le renforcement des fibres, les interactions du champ magnétique et les influences rotationnelles dans un milieu semi-conducteur reste largement indisponible. Par conséquent, il est encore nécessaire d’une formulation unifiée qui décrive avec précision le couplage mutuel entre ces mécanismes physiques et clarifie leur influence combinée sur la propagation des ondes.

Motivé par ces observations, le présent travail développe un modèle analytique bidimensionnel pour étudier la propagation des ondes magnéto-photo-thermoélastiques dans un demi-espace semi-conducteur anisotrope, renforcé par des fibres, soumis à une excitation optique. Les équations gouvernantes sont formulées dans un cadre unifié qui intègre les champs thermique, mécanique, de densité porteuse et électromagnétique, et sont résolues en utilisant la technique du mode normal avec l’approche des valeurs propres. Il est à noter qu’Alaofi et ^al.35 ont récemment étudié la réponse thermo-photoélastique couplée du silicium anisotrope renforcé de fibres en utilisant une formulation à valeurs propres. Cependant, les effets du champ magnétique et les contributions rotationnelles n’ont pas été pris en compte dans leur modèle. La nouveauté du présent travail réside dans l’extension de cette formulation en incorporant simultanément des interactions magnétiques, des effets de rotation, la dynamique du transport des porteurs, le renforcement anisotrope et l’excitation optique dans un seul cadre magnéto-photo-thermoélastique. Par conséquent, le modèle proposé offre une description plus complète des phénomènes de propagation des ondes couplées et permet une évaluation détaillée de l’influence combinée de l’intensité magnétique et de la rotation sur les champs physiques d’intérêt. Contrairement à Alaofi et ^al.35, qui ont étudié la réponse thermo-photoélastique d’un semi-conducteur anisotrope renforcé par des fibres sans champ magnétique ni effets de rotation, la formulation actuelle intègre l’interaction simultanée de rotation, champ magnétique, excitation optique, transport de porteurs et renforcement anisotrope dans un cadre unifié. De plus, l’implémentation des valeurs propres est étendue à ce système couplé plus général, permettant d’analyser les effets physiques couplés non abordés dans le modèle précédent. De plus, une caractéristique distinctive du présent travail est la mise en œuvre de l’approche des valeurs propres. Bien que de nombreuses études connexes, dont Alaofi et ^al.35, reposent sur des procédures d’élimination pour réduire le système de gouvernance avant d’obtenir la solution, la formulation actuelle est construite et résolue à l’aide d’un cadre de valeurs propres basé sur des matrices. Cette implémentation s’applique à un système couplé plus général impliquant la rotation, le champ magnétique, l’excitation optique, le transport des porteurs et le renforcement de fibres, élargissant ainsi la portée des modèles précédemment publiés.

Protocole

Le présent travail repose entièrement sur la modélisation analytique, le calcul symbolique et les simulations numériques visant à étudier les interactions magnéto-photo-thermoélastiques rotatives couplées dans des milieux semi-conducteurs anisotropes. Aucun participant humain, expérience animale, donnée clinique ou spécimens biologiques n’a été impliqué dans cette étude. Par conséquent, l’approbation éthique et le consentement éclairé n’étaient pas requis.

Formulation mathématique du problème magnéto-photo-thermoélastique dans un demi-espace semi-conducteur anisotrope renforcé de fibres rotatif

Dans la présente étude, un demi-espace semi-conducteur anisotrope bidimensionnel en rotation renforcée par fibres est étudié sous excitation optique et champ magnétique appliqué. Le milieu occupe la région semi-infinie x ≥ 0, où la frontière à x = 0 représente la surface exposée soumise à une charge optique externe. Le système de coordonnées est choisi de sorte que l’axe x - s’étende dans le milieu, tandis que l’axe y - se trouve le long de la surface, représentant le comportement dans le plan de la structure. Le champ magnétique appliqué et le vecteur vitesse angulaire sont tous deux pris le long de l’axe z - . Le milieu semi-conducteur est supposé homogène et linéairement élastique, tandis que l’anisotropie est introduite par des fibres de renfort alignées intégrées dans la direction x. L’absorption optique à la frontière produit un chauffage localisé et des porteurs de charge excessifs, ce qui entraîne des interactions couplées thermiques, mécaniques et porteuses au sein du milieu. De plus, le champ magnétique introduit des effets de couplage électromagnétique, tandis que le mouvement de rotation contribue à des effets inertiels qui influencent significativement la propagation des ondes thermoélastiques et la réponse physique globale. En conséquence, l’état physique du milieu est représenté par le champ de température T(x, y, t)(K), la densité des porteurs N(x, y, t)(^m-3) et les composantes de déplacement u(x, y,t)(m) et v(x,y,t)(m), sous l’hypothèse de petites déformations. La figure 1 illustre la géométrie du problème, incluant le système de coordonnées, l’excitation optique, le champ magnétique, l’effet de rotation et l’orientation des fibres. La formulation actuelle s’applique aux milieux semi-conducteurs homogènes anisotropes renforcés par fibres opérant dans le régime de petites déformations et le cadre de la thermoélasticité linéaire. Le modèle suppose une orientation fixe des fibres et des propriétés constantes du matériau dans tout le milieu. Par conséquent, le comportement non linéaire des matériaux, les grandes déformations, les dommages aux matériaux et les variations spatiales des propriétés des matériaux ne sont pas pris en compte dans l’étude actuelle. Par conséquent, le modèle proposé est destiné à des conditions de charge modérées où la réponse reste dans la plage linéaire. Dans la présente étude, l’excitation optique est modélisée à l’aide de conditions aux limites prescrites pour la température de surface et la densité de porteurs photo-générée. Le processus détaillé d’interaction laser-matière, incluant l’absorption optique, la profondeur de pénétration et la distribution d’intensité, n’est pas traité explicitement. Au lieu de cela, son effet net est représenté par les amplitudes de frontière θ₀ et N₀, qui caractérisent les excitations thermiques et porteuses induites par le champ optique incident.

Figure 1 : Représentation schématique de l’espace semi-conducteur anisotrope en rotation à fibres renforcées, soumis à une excitation optique et à un champ magnétique externe. La figure illustre la configuration physique du problème, incluant le système de coordonnées, l’excitation optique, le champ magnétique appliqué, l’orientation des fibres et les effets de rotation considérés dans la formulation présente. Veuillez cliquer ici pour voir une version agrandie de cette figurine.

La relation constitutive pour le tenseur de contrainte dans un milieu semi-conducteur thermoélastique anisotrope renforcé par des fibres peut s’exprimer sous forme généralisée comme^suit 12,15,16.

(1)

Ici, σ_ij désigne les composantes du tenseur de contrainte, C_ijkl sont les coefficients de rigidité élastique, e_kl représente le tenseur de déformation, T est l’incrément de température par rapport à la température de référence T₀, et N désigne la densité excédentaire de porteurs. Les tenseurs β_ij et η_ij correspondent respectivement aux coefficients de couplage thermoélastique et porteur. En conséquence, la relation constitutive incluant l’influence explicite du renforcement des fibres peut s’écrire^{comme 12,15} :

(2)

Dans cette formulation, λ et μ_T sont les constantes élastiques de Lamé, tandis que μ_L désigne le module de cisaillement longitudinal le long de la direction de la fibre. Les paramètres α et β décrivent les effets de renforcement associés aux fibres plongées. La quantité δ_ij est le symbole delta de Kronecker, et a_i sont les composantes du vecteur unitaire définissant l’orientation de la fibre. Pour le modèle actuel, les fibres de renfort sont alignées le long de la direction x de telle sorte que a = (1,0). Les termes impliquant β_ijθ et η_ijN représentent respectivement les effets de couplage thermique et de porteurs. Pour la configuration bidimensionnelle actuelle, les composantes gouvernantes des contraintes se réduisent aux formes^{suivantes : 12,15} :

.    (3)

.    (4)

.    (5)

Ici, et désignent les composantes de déplacement le long des directions x - et y respectivement, tandis que A_ij sont les coefficients élastiques effectifs du milieu anisotrope renforcé par fibres. Les coefficients de couplage thermoélastique et de porteur sont définis comme suit

,

,

,

.

Dans les relations ci-dessus, α_ij représentent les coefficients de dilatation thermique, tandis que ξ_ij désignent les coefficients d’expansion des porteurs associés au milieu semi-conducteur. Les coefficients élastiques effectifs du milieu anisotrope renforcé par fibres sont donnés par

, , , .

Ces coefficients caractérisent la réponse élastique anisotrope du matériau semi-conducteur renforcé et décrivent comment l’orientation de la fibre influence le comportement thermoélastique couplé. Pour tenir compte de l’influence des interactions électromagnétiques dans la formulation actuelle magnéto-photo-thermoélastique, on suppose qu’un champ magnétique uniforme est appliqué le long de la direction z, qui est normale au plan x - y de déformation. En conséquence, le vecteur champ magnétique est considéré sous la forme^23,25 , , où H₀ désigne l’intensité constante du champ magnétique. Puisque la formulation actuelle est limitée aux déformations bidimensionnelles, le champ de déplacement du milieu est pris comme , où et représentent les composantes de déplacement selon les directions x et y, respectivement.

Sous l’hypothèse de petites déformations et d’un milieu semi-conducteur électriquement conducteur à mouvement lent, l’interaction entre la vitesse de la particule et le champ magnétique appliqué génère un champ électrique induit.

Sur la base des relations électromagnétiques de Maxwell pour les milieux conducteurs en mouvement, le vecteur champ électrique induit peut s’exprimer comme^19,23

.     (6)

où μ₀ désigne la perméabilité magnétique et est le vecteur vitesse des particules. En substituant les expressions de et dans la relation ci-dessus, on obtient

.    (7)

ce qui donne

.   (8)

En prenant la dérivée temporelle du champ électrique induit, on obtient

. (9)

Le vecteur de perturbation magnétique généré par la déformation du milieu semi-conducteur est défini comme²³˒²⁵

. (10)

L’expression ci-dessus satisfait automatiquement la condition de divergence de Maxwell pour le champ de perturbation magnétique, à savoir

. (11)

Pour déterminer la densité du courant électrique, on évalue d’abord le rotation du vecteur de perturbation magnétique. Sous forme de déterminant, l’opérateur de rotation peut s’écrire²³

. (12)

L’expansion du déterminant conduit à

. (13)

Le vecteur de densité de courant électrique est alors obtenu à partir de l’équation électromagnétique²³ de Maxwell

. (14)

où ε₀ désigne la permittivité électrique du milieu.

La force du corps électromagnétique agissant sur le milieu semi-conducteur est déterminée à l’aide de la relation de force de^{Lorentz 23}

. (15)

Le produit vectoriel peut être évalué sous forme de déterminant comme

. (16)

En substituant les expressions précédentes par l’équation (15), les composantes du vecteur force du corps électromagnétique deviennent

. (17)

. (18)

Ces relations indiquent clairement que le champ magnétique appliqué contribue à des mécanismes de couplage supplémentaires aux équations gouvernantes par des termes électromagnétiques de type rigidité et des termes inertiels modifiés proportionnels à . Par conséquent, le champ magnétique affecte significativement les caractéristiques de propagation des ondes thermoélastiques et le comportement dynamique global du milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres. En plus des effets électromagnétiques, l’influence de la rotation est intégrée à la formulation actuelle afin de décrire la réponse dynamique du milieu lorsqu’elle est observée à partir d’un référentiel en rotation. Le milieu semi-conducteur renforcé par fibres est supposé subir une rotation uniforme de corps rigide avec un vecteur de vitesse angulaire constante donné par³³ , où désigne la vitesse angulaire constante autour de l’axe z . Puisque l’axe de rotation est normal au plan x - y , lorsque les équations du mouvement sont formulées dans un système de coordonnées en rotation, des accélérations inertielles supplémentaires surviennent en raison de la nature non inertielle du référentiel en rotation. Ces accélérations consistent principalement en les accélérations de Coriolis et centrifuges. L’accélération de Coriolis est associée au champ de vitesse des particules et s’exprime par³¹˒³³

. (19)

En substituant les expressions de et , on obtient

. (20)

Ainsi, l’accélération de Coriolis devient

. (21)

L’accélération centrifuge dépend directement du champ de déplacement lui-même et est représentée par^31,35

. (22)

Premièrement, le produit vectoriel est évalué comme

. (23)

Alors, en substituant le résultat obtenu dans la relation d’accélération centrifuge on obtient

. (24)

En conséquence, la contribution rotationnelle totale apparaissant dans les équations gouvernantes peut s’exprimer comme suit

. (25)

Ainsi, les composantes d’accélération rotationnelle dans les directions x et y deviennent

, (26)

. (27)

Les expressions ci-dessus démontrent que le mouvement de rotation introduit un couplage supplémentaire entre les composantes de déplacement via l’accélération de Coriolis, en plus des effets inertiels dépendants du déplacement dus à l’accélération centrifuge. Par conséquent, l’action combinée du champ magnétique et de la rotation entraîne des modifications significatives de la réponse dynamique et des caractéristiques de propagation des ondes du milieu semi-conducteur anisotrope renforcé de fibres en rotation. Pour intégrer l’influence combinée des interactions électromagnétiques et du mouvement de rotation, les équations du mouvement pour le milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres sont généralisées pour inclure à la fois la force du corps électromagnétique et les accélérations inertielles supplémentaires résultant d’un référentiel en rotation. En conséquence, l’équation générale du mouvement pour un continuum rotatif déformable peut s’exprimer comme^{suit 31}˒³²

. (28)

Ici, ρ désigne la densité de masse, et F_i représente les composantes de force corporelle électromagnétique. De plus, désigne le vecteur vitesse angulaire du référentiel en rotation. Les égalisations. (22) et (24) correspondent respectivement aux accélérations de Coriolis et centrifuge. Les équations du mouvement dans les directions x et y peuvent s’écrire comme

. (29)

. (30)

En substituant les composantes de force du corps électromagnétique obtenues précédemment dans les équations ci-dessus, on obtient

. (31)

. (32)

Ensuite, en substituant les relations constitutives correspondant au milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres dans les équations ci-dessus on obtient les équations couplées du mouvement en fonction des composantes de déplacement, du champ de température et de la densité des^{porteurs 32}

. (33)

. (34)

Enfin, en utilisant l’expression du champ de perturbation magnétique donnée précédemment dans l’équation (15), et en la substituant dans les équations ci-dessus, les équations gouvernantes du mouvement peuvent s’écrire sous leur forme couplée finale comme

. (35)

. (36)

Ces équations révèlent l’influence couplée des effets du champ de rotation et du champ magnétique sur la réponse thermoélastique du milieu. Les termes de rotation tiennent compte à la fois des contributions de Coriolis et centrifuges, tandis que le champ magnétique introduit un couplage électromagnétique supplémentaire et modifie le comportement dynamique du système. Par conséquent, les équations gouvernantes établissent un cadre unifié pour analyser la propagation des ondes et les interactions multiphysiques dans les semi-conducteurs magnéto-photo-thermoélastiques en rotation renforcée de fibres. Sous excitation optique, le comportement thermique du milieu semi-conducteur est fortement influencé par l’interaction entre la conduction thermique, le transport des porteurs et la déformation mécanique, conduisant à un processus thermo-photoélastique fortement couplé. Contrairement au modèle classique de conduction thermique, la distribution de la température dans les matériaux semi-conducteurs est influencée non seulement par la diffusion thermique, mais aussi par la recombinaison des porteurs et le couplage thermoélastique. Par conséquent, l’équation généralisée de conduction thermique pour le milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres peut s’exprimer^{comme suit 7}˒²³.

. (37)

L’équation ci-dessus démontre clairement que le champ thermique à l’intérieur du milieu semi-conducteur magnéto-photo-thermoélastique rotatif est gouverné par l’influence combinée de la conduction thermique anisotrope, des processus de recombinaison des porteurs et des interactions thermoélastiques. Le terme décrit l’énergie thermique générée par la recombinaison des porteurs sous excitation optique, tandis que les termes de couplage impliquant et indiquent l’influence de la déformation mécanique dépendante du temps sur la réponse thermique du milieu. Par conséquent, le champ de température devient fortement couplé à la fois avec la densité des porteurs et avec le champ élastique, ce qui joue un rôle important dans les caractéristiques de propagation des ondes thermoélastiques dans les matériaux semi-conducteurs renforcés par fibres. Dans la formulation actuelle, l’évolution de la concentration de porteurs N(x, y, t) à l’intérieur du milieu semi-conducteur est régie par les effets combinés de la diffusion des porteurs, des processus de recombinaison et de l’activation thermique générée par l’excitation optique. En conséquence, l’équation de transport des porteurs décrivant la dynamique des porteurs hors équilibre peut s’écrire^{comme suit 4,23}

. (38)

Ici, D_E désigne le coefficient de diffusion du porteur, tandis que représente l’opérateur laplacien bidimensionnel dans le plan x -y . Le terme correspond à l’effet de recombinaison de la porteuse associé à la durée de vie de la porteuse τ. De plus, κ est le paramètre de couplage des porteurs thermiques défini par , où N₀ désigne la concentration des porteurs à l’équilibre. Le terme de couplage κT décrit l’influence du champ de température sur la génération de porteurs excédentaires dans le milieu semi-conducteur. L’équation ci-dessus démontre que la concentration de porteurs est fortement couplée au champ thermique grâce à des mécanismes de génération de porteurs activés thermiquement. Par conséquent, la dynamique des porteurs devient fortement dépendante à la fois des effets de diffusion thermique et de recombinaison, qui influencent de manière significative la réponse photo-thermoélastique couplée du milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres en rotation. Les équations gouvernantes et la formulation mathématique du système semi-conducteur magnéto-photo-thermoélastique couplé ont désormais été complètement établies. Les paramètres physiques et matériels du milieu de silicium sont résumés dans le tableau 2, avec leurs valeurs numériques, unités et références correspondantes. Ces paramètres sont ensuite utilisés dans les calculs numériques et la procédure de non-dimensionnalisation.

Formulation non dimensionnelle du modèle rotatif de semi-conducteurs renforcés par fibres magnéto-photo-thermoélastiques

Pour simplifier les équations gouvernantes et obtenir une représentation mathématique compacte du système magnéto-photo-thermoélastique rotatif couplé, des échelles caractéristiques appropriées sont introduites pour non dimensionaliser les variables physiques. Cette procédure de non-dimensionnalisation réduit le nombre de paramètres gouvernants du matériau et facilite le traitement analytique et numérique des équations couplées. Les grandeurs caractéristiques sélectionnées sont choisies de manière cohérente avec les propriétés thermoélastiques, électromagnétiques, rotationnelles et de transport des porteurs du milieu^{semi-conducteur 16,21} En conséquence, les variables sans dimension suivantes sont introduites :

, , , , , , .

Ici, C_T désigne la vitesse caractéristique de l’onde élastique, tandis que t* représente le temps de relaxation thermique caractéristique associé au processus thermoélastique couplé. De plus, ce paramètre définit le paramètre de rotation non dimensionnel qui caractérise l’influence du mouvement de rotation sur le comportement dynamique du milieu. En substituant les grandeurs sans dimension ci-dessus dans les équations gouvernantes précédemment dérivées, le système couplé en forme normalisée. Cette transformation simplifie considérablement la structure mathématique des équations et fournit un cadre approprié pour étudier les effets combinés du champ magnétique, de l’excitation optique, de la rotation, de l’anisotropie et des interactions porteur-transport. Pour simplifier, la notation première associée aux grandeurs sans dimension est omis dans l’analyse ultérieure. En conséquence, les équations gouvernantes du système magnéto-photo-thermoélastique rotatif couplé peuvent s’écrire sous la forme non dimensionnelle^{suivante 16,20} :

, (39)

, (40)

, (41)

. (42)

Les composantes de contrainte non dimensionnelle correspondantes du milieu semi-conducteur anisotrope en rotation renforcé par fibres sont obtenues comme suit :

, (43)

, (44)

. (45)

Les coefficients adimensionnels _{a i} (i = 1,2,...,18) représentent des combinaisons des paramètres physiques, thermiques, électromagnétiques, porteurs et de rotation du milieu semi-conducteur couplé. Ces coefficients caractérisent l’influence de l’anisotropie, du renforcement des fibres, du champ magnétique, du couplage thermoélastique, du transport des porteurs et du mouvement de rotation sur le comportement global du système. Par conséquent, les équations gouvernantes non dimensionnelles obtenues fournissent un modèle mathématique compact et efficace pour analyser les phénomènes de propagation des ondes couplées et les interactions multiphysiques dans des milieux semi-conducteurs renforcés de fibres magnéto-photo-thermoélastiques rotatifs. Les paramètres _a-i, γ_i et δ_i ont été introduits pour représenter des combinaisons compactes des propriétés physiques et matérielles régissant le comportement magnéto-photo-thermoélastique rotatif couplé du milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres. Chaque coefficient reflète un mécanisme d’interaction spécifique au sein du système couplé et fournit un aperçu de l’influence relative des processus physiques sous-jacents. Pour plus de clarté, les paramètres sans dimension et leurs définitions correspondantes sont résumés dans le Tableau 1.

Tableau 1 : Définitions et interprétations physiques des paramètres sans dimension utilisés dans la présente formulation. Le tableau résume les paramètres sans dimension apparaissant dans les équations gouvernantes, ainsi que leurs significations physiques et leurs rôles dans la description des interactions couplées thermoélastiques, électromagnétiques, densité-porteurs et rotationnelles. Veuillez cliquer ici pour télécharger ce tableau.

Solution analytique utilisant la technique du mode normal

Pour obtenir la solution analytique du système magnéto-photo-thermoélastique rotatif couplé, la technique du mode normal est employée. Cette méthode est largement utilisée dans les théories de la thermoélasticité généralisée et des semi-conducteurs en raison de son efficacité à transformer les équations aux dérivées partielles couplées en un système réduit d’équations différentielles ordinaires. Une telle approche est particulièrement utile dans l’analyse de la propagation des ondes, de l’atténuation et des interactions multiphysiques dans les milieux semi-conducteurs anisotropes. En suivant l’analyse des modes normaux, toutes les grandeurs de champ physiques sont supposées varier harmoniquement par rapport au temps et à la coordonnée spatiale transversale . En conséquence, le champ de température, la densité de porteurs, les composantes de déplacement et les grandeurs de contrainte sont représentés sous la forme^{exponentielle 24,27}

. (46)

Ici, ω désigne le paramètre de fréquence complexe régissant la variation temporelle des champs physiques. La partie réelle de ω est associée à l’atténuation temporelle (ou à la croissance) de l’amplitude de l’onde, tandis que la partie imaginaire représente le comportement oscillatoire du mode de propagation. Ces interprétations sont cohérentes avec l’analyse conventionnelle du mode normal adoptée dans la présente étude, tandis que a représente le nombre d’onde associé à la variation spatiale le long de la direction y. Les grandeurs , et correspondent aux amplitudes de champ dépendant uniquement de la coordonnée spatiale x. En substituant les représentations en mode normal ci-dessus dans les équations gouvernantes non dimensionnelles obtenues précédemment et en simplifiant les expressions résultantes, le système différentiel partiel couplé d’origine est transformé en un ensemble d’équations différentielles ordinaires par rapport à la coordonnée spatiale x. Par conséquent, les équations gouvernantes dans le domaine transformé prennent la forme suivante :

, (47)

, (48)

, (49)

. (50)

De plus, les composantes de contrainte transformées correspondantes sont obtenues comme

, (51)

, (52)

. (53)

Ici, , désigne l’opérateur différentiel par rapport à la coordonnée spatiale . Le système transformé obtenu constitue la base mathématique pour construire l’équation caractéristique et dériver la solution analytique complète du problème magnéto-photo-thermoélastique rotatif couplé. Les coefficients apparaissant dans les équations transformées sont définis comme suit :

, , , , , , .

Ces coefficients contiennent les contributions combinées de l’élasticité anisotrope, de l’interaction du champ magnétique, du couplage thermique, du transport des porteurs et des effets de rotation. Ainsi, le système transformé fournit une représentation compacte adaptée pour obtenir les racines caractéristiques et étudier le comportement de propagation des ondes couplées dans le milieu semi-conducteur renforcé par fibres en rotation.

Fichier supplémentaire 1 : Solution analytique utilisant une forme matricielle. Ce fichier contient la formulation détaillée de la matrice, la procédure de résolution des valeurs propres, la dérivation des équations caractéristiques, ainsi que les étapes analytiques intermédiaires utilisées pour obtenir la solution générale du modèle magnéto-photo-thermoélastique couplé. Veuillez cliquer ici pour télécharger ce fichier.

La formulation détaillée de la matrice, la procédure de résolution des valeurs propres et la dérivation des équations caractéristiques sont fournies dans le Fichier Supplémentaire 1.

Conditions aux limites et détermination des constantes inconnues

Pour compléter la formulation analytique, les solutions générales obtenues ont été substituées aux conditions aux limites prescrites imposées à la surface x = 0. Cette substitution a généré un système algébrique couplé impliquant les constantes d’amplitude inconnue . Chaque exigence de limite associée à la température, à la densité de porteurs, au déplacement mécanique et aux contraintes était exprimée en termes de modes propres admissibles, donnant un ensemble linéaire d’équations reliant les coefficients . Pour plus de commodité, le système algébrique résultant a été réécrit sous forme de matrices compactes en BC = D, où B désigne la matrice des coefficients construite à partir des composantes du vecteur propre évaluées à la surface de bord, représente le vecteur des constantes inconnues, et D correspond au vecteur généré par les conditions aux limites imposées, incluant le paramètre de charge thermique θ₀, le terme d’excitation du porteur N₀, et les conditions de déplacement prescrites. Après avoir évalué ces constantes, elles ont été substituées dans les expressions générales des variables de champ afin d’obtenir les solutions analytiques complètes. Ces expressions ont ensuite été employées dans les calculs numériques et la visualisation graphique des champs thermoélastiques, de densité de porteurs et de déplacement au sein du milieu semi-conducteur anisotrope renforcé par fibres en rotation. Les conditions aux limites adoptées représentent une surface semi-conductrice optiquement éclairée soumise à des excitations thermiques et porteuses simultanées. La condition de température prescrite modélise la charge thermique générée par le champ optique incident, tandis que la condition de densité porteuse prend en compte les porteurs excédentaires photogénérés produits par l’illumination optique. De plus, la contrainte de déplacement transversal représente le confinement mécanique de la surface dans la direction -, tandis que la condition de contrainte de cisaillement nulle correspond à une frontière tangentiellement sans traction. Par conséquent, les conditions aux limites mixtes thermiques, électroniques et mécaniques sélectionnées fournissent une représentation physiquement cohérente des interactions photo-thermoélastiques couplées à la surface du semi-conducteur et fournissent les contraintes nécessaires pour déterminer les constantes inconnues de la solution. Les conditions aux limites imposées sont données comme suit :

Contrainte de température :

. (78)

Cette condition représente une température de surface harmoniquement variable induite par un chauffage optique périodique. Il agit comme excitation thermique primaire pilotant les processus de transport thermoélastique et porteur couplés au sein du milieu. L’amplitude θ₀ caractérise l’intensité de la charge thermique appliquée.

Contrainte de densité de porteurs :

. (79)

Cette condition aux limites décrit la densité de porteurs photo-générée résultant de l’éclairage optique. Il réfléchit l’excitation électronique due à l’absorption des photons et sa modulation harmonique est cohérente avec le champ optique incident.

Contrainte de déplacement :

. (80)

Cette condition indique que la frontière est mécaniquement contrainte dans la direction transversale. Ainsi, aucun déplacement ne se produit dans la direction de la surface de la direction.

Contrainte de contrainte de cisaillement :

. (81)

Cette condition correspond à une frontière sans traction par rapport à la contrainte de cisaillement. Elle garantit qu’aucune force tangentielle n’agit sur la surface, ce qui est cohérent avec une frontière mécaniquement libre dans la direction tangentielle. En plus des conditions aux limites en x = 0, l’exigence physique à l’infini était imposée ainsi : garantir des solutions physiques bornées dans le domaine semi-infini. Pour fournir un aperçu clair de la procédure analytique et computationnelle adoptée dans la présente étude, les principales étapes de la méthodologie de la solution sont résumées à la Figure 2.

Figure 2 : Organigramme de la procédure de solution analytique adoptée dans la présente étude, incluant la formulation des équations gouvernantes, l’analyse en mode normal, la résolution des valeurs propres, l’application des conditions aux limites et l’évaluation des variables de champ physiques. Le diagramme résume les principales étapes de calcul pour obtenir la solution analytique et évaluer numériquement la réponse magnéto-photo-thermoélastique couplée. Veuillez cliquer ici pour voir une version agrandie de cette figurine.

Résultats

Pour obtenir les résultats numériques présentés dans cette étude, le silicium (Si) a été sélectionné comme matériau représentatif des semi-conducteurs en raison de sa large applicabilité dans les applications d’ingénierie des semi-conducteurs et de la thermoélastique. Les propriétés physiques, thermiques, élastiques, électromagnétiques et liées aux supports utilisées dans les calculs sont résumées dans le tableau 2. Ces constantes matérielles ont été substituées aux équa...

Discussion

Analyse de l’admissibilité, de la stabilité et de la limitation des valeurs propres

L’admissibilité des valeurs propres obtenues est régie par l’exigence physique que toutes les variables de champ restent bornées dans le domaine semi-infini x ≥ 0. La solution propre générale s’exprime en termes de modes exponentiels de la forme . P...

Matériaux

Liste des matériaux utilisés dans cet article

Nom	Entreprise	Numéro de catalogue	Commentaires
Logiciel de calcul (analyse symbolique et numérique)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (Version 12.0) a été utilisé	Utilisé pour le calcul des valeurs propres, la mise en œuvre de solutions analytiques et l'évaluation numérique
Jeu de données de paramètres de matériaux (propriétés des semi-conducteurs de silicium)	Diverses sources littéraires	N/A	Constantes physiques (élastiques, thermiques, liées aux porteurs) utilisées dans les calculs (Tableau 1)
Ordinateur personnel/station de travail	HP	N/A	Les calculs ont été effectués sur un ordinateur personnel standard sous Windows avec une mémoire suffisante pour les simulations numériques
Éditeur d'équations	Microsoft  Word et MathType	N/A	Utilisé pour formater et présenter les expressions mathématiques dans le manuscrit
Logiciel de gestion de références	Elsevier	N/A	Utilisé pour gérer les références et formater les citations (style Vancouver)