וקטורים בכיוונים מרובים
מקור: ניקולס טימונס, אסנטה קוריי, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, בית הספר למדעי הפיזיקה, אוניברסיטת קליפורניה, אירווין, קליפורניה
ניסוי זה מדגים כיצ…
1. כוחות איזון.
- על שולחן הכוח, הגדר שתי גלגלות עם אותה מסה הפונה לכיוונים מנוגדים (הבדל של 180° בזווית).
- הכוח של כל אחד מהם יהיה שווה
ל. בדוק אם שני הכוחות שווים ומנוגדים על ידי בחינת הטבעת במרכז שולחן הכוח, אשר לא צריך לזוז. - שים לב שאם מרכיבי הווקטורים המשויכים לכוחות אלה מתווספים, לווקטור התוצאה יהיה אפס סדר גודל. כך ניתן לקבוע שכל הכוחות נמצאים בשיווי משקל.
2. חישובים אנליטיים.
- מעבדה זו תורכב משלושה כוחות בשיווי משקל. שני כוחות יהיו ידועים, בעוד השלישי יימצא אנליטי ראשון, באמצעות התיאוריה של וקטורים, ולאחר מכן באופן ניסיוני. עבור מעבדה זו, לשמור
על 0° למשך הזמן. - שים לב שאם
ידועים 
ו, כאשר נוסף למערכת, גורם שני הכוחות להיות בשיווי משקל, אז הוא בסדר גודל שווה אבל בכיוון ההפוך לסכום ( + ). - חישוב הגודל של ו. השתמש בעובדה ש- 1 ניוטון (N) היא יחידת כוח השווה ל
- . - באמצעות התיאוריה של וקטורים, לחשב מה סדר הגודל יהיה אם זה היה הסכום ( + ).
- באמצעות התיאוריה של וקטורים, לחשב איזו זווית תהיה אם זה היה הסכום ( + ).
3. ניסוי.
- לאחר הערכים בשורה הראשונה של טבלה 1 עבור ו, הגדר את שני הכוחות בטבלת הכוח. זכור לשמור על 0°.
- הגדר את הכוח השלישי, , על ידי הוספת משקולות ושינוי הזווית עד שיווי המשקל הוא הגיע. רשום ערכים אלה בטבלה 2.
- חזור על שלב 3.2 עבור כל אחד מארבעת המקרים.
- קבע את ההבדל באחוזים מהתוצאה האנליטית על-ידי חישוב
. השלם טבלה 2 עם ערכים מחושבים אלה.
וקטורים הם כמויות עם סקלרים שאינם דומים לגודל ולכיוון, שיש להם רק גודל וסימן.
כוח, תאוצה ומהירות הם דוגמאות לווקטורים. בעוד שמסה, אנרגיה וזמן, הם דוגמאות לסקלרים.
וקטור מיוצג בדרך כלל על ידי חץ. אורך החץ תואם את גודלו והזווית מציינת כיוון.
סרטון זה יציג מערכת כוחות הניתנת לניתוח באמצעות חיבור וחיסור וקטורי, וידגים כיצד פעולות כאלה מניבות תוצאות החשובות להבנת מספר תופעות פיזיקליות.
תיאור וקטור דורש מערכת קואורדינטות. בתוך מסגרת הייחוס הנבחרת הזו, לדוגמא זו של כדור שנבעט באוויר יש וקטור מהירות התחלתי. כפי שהוסבר קודם לכן, אורך החץ מייצג את גודל המהירות. וכיוון הווקטור הוא הזווית שלו מהקרקע.
כל וקטור יכול להתפרק לרכיבים, שהם וקטורים עצמם לאורך ציר ה-x וה-y. אם המהירות ההתחלתית של הכדור היא 20 מטר לשנייה ב-60 מעלות, הרכיב האופקי הוא מהירות כפול קוסינוס של 60 מעלות ויש לו גודל של 10 מטר לשנייה. הרכיב האנכי הוא מהירות כפול סינוס של 60 מעלות וגודלו כ-17.3 מטר לשנייה.
תוספת וקטורית של רכיבים אופקיים ואנכיים משחזרת את וקטור המהירות המקורי. כדי להוסיף וקטורים, דמיינו שאתם מניחים את ראשו של אחד לזנב של השני. בדוגמה זו הווקטורים נמצאים במקרה בזווית ישרה. הסכום מתקבל כאשר עוברים ישירות מהזנב של הראשון לראש של השני.
רכיבים אלה נמצאים בזווית ישרה, כך שגודל הסכום ניתן על ידי משפט פיתגורס. הזווית היא הארק-טנגנס של הרכיב האנכי חלקי הרכיב האופקי.
בעת הוספת שני וקטורים שאינם מאונכים, פרק כל אחד מהם לרכיבי x ו-y ולאחר מכן הוסף רכיבים מתאימים. לבסוף, חשב את הסכום הווקטורי של רכיבים אופקיים ואנכיים כפי שהוסבר קודם. חיסור וקטור אחד מאחר שווה ערך לשלילת הווקטור השני והוספתו לראשון. כמו קודם, פרק כל וקטור לרכיבי x ו-y. לאחר מכן הפחיתו את רכיב ה-x הקטן יותר מהגדול יותר ועשו את אותו הדבר עבור רכיבי y. לאחר מכן, כמו קודם, חשב את הסכום הווקטורי של רכיבי x ו-y המתקבלים.
כדי להדגים חיבור וחיסור של וקטורים במעבדת פיזיקה, הציוד הנפוץ הוא טבלת כוח. זהו דיסק עם זוויות מסומנות סביב ההיקף, טבעת במרכז המחוברת לחוטים עם מסות בקצה השני התלויות על ידי גלגלות. המסות מייצרות כוחות, שהם הווקטורים שיש ללמוד. הכוח לאורך כל חוט שווה לכוח הכבידה, או mg, עם יחידות של ניוטון.
עכשיו, במערך הזה, אם יש רק שתי מסות שוות ב-180 מעלות אחת מהשנייה, אז הן מייצרות כוחות עם סכום וקטורי של אפס. מצב זה נקרא שיווי משקל, המביא לתאוצה אפסית ולכן הטבעת לא תזוז.
אבל אם שני הכוחות המושכים את הטבעת אינם מבטלים זה את זה, למשל עקב שינוי בזווית, אז הכוח נטו שאינו אפס יגרום לטבעת לנוע. במקרים כאלה, אם אנו יודעים את הגדלים והכיוונים של הכוחות הללו, אנו יכולים להשתמש בחיבור וחיסור וקטורי כדי לחשב את הכוח השלישי הדרוש כדי לבסס מחדש את שיווי המשקל.
בחלק הבא נראה כיצד לערוך ניסויים בטבלת כוח כזו הבודקים את העקרונות התיאורטיים של חיבור וחיסור וקטורי
אם שני הכוחות שווים ומנוגדים, הטבעת במרכז הטבלה לא צריכה לזוז. במקרה זה, כל וקטור כוח מתנגד בדיוק לשני בגודל ובכיוון. לסכום הווקטורי יש גודל אפס, שהוא המצב של אפס כוח נטו, או שיווי משקל.
כדי לאמת את עקרונות החיבור והחיסור הווקטורי, הגדר את המסות והזוויות עבור כוחות A ו-B כפי שמצוין בשורה הראשונה של טבלה זו. שמור על הזווית של A באפס מעלות. כעת, הגדר את הכוח השלישי על ידי הוספת מסות ושינוי הזווית עד שהטבעת לא זזה.
לאחר השגת שיווי משקל, חשב את הכוח של C על ידי הכפלת המסה שלו בתאוצה עקב כוח הכבידה. כמו כן, רשום את הגודל והזווית של כוח C.
חזור על בדיקה זו עבור שלושת המקרים השונים ורשום את הגודל והזווית של כוח C בכל פעם.
עבור ארבעת מערכי הניסוי, טבלה זו מציגה את הגדלים המחושבים של כוחות A ו-B, ואת הזוויות של B ביחס ל-A. אם נשתמש בהגדרה הראשונה כדוגמה, נוכל לחשב את כוח C הדרוש כדי ליצור שיווי משקל על השולחן.
כאן לכוח A יש גודל של 0.98 ניוטון ב-0?. לכוח B יש אותו גודל של 0.98 ניוטון אבל זווית של 20?. כדי לקבוע את הווקטור עבור C, פרק את הכוחות A ו-B לרכיבי x ו-y שלהם. הערה: כוח A מכוון רק לאורך ציר ה-x ואין לו רכיב y. לאחר מכן הוסף את הרכיבים כדי להפיק את וקטורי x ו-y, שהם הסכום של וקטורים A ו-B.
כדי להשיג שיווי משקל, רכיבי ה-x וה-y של C חייבים להיות הפוכים מהווקטורים הללו. כדי להשיג את הווקטור C, הזיזו את הזנב של רכיב ה-y שלו לראש רכיב ה-x. לאחר מכן הוסף את שני הווקטורים באמצעות משפט פיתגורס כדי למצוא את הגודל של וקטור C. והזווית עבור C היא הארק-טנגנס של הרכיב האנכי חלקי הרכיב האופקי. לכן, הגודל המחושב של C מתברר כ-1.93 ניוטון בזווית של 10? ביחס לציר ה-x.
כעת במהלך הניסוי, אנו מחשבים את C באמצעות תצפית וניסוי וטעייה, על ידי התאמת המשקולות והזוויות כדי למנוע תנועה של הטבעת על שולחן הכוחות.
והטבלה הזו מראה שתוצאות ניסיוניות ומחושבות הן עבור הגודל והן עבור הזווית תואמות באופן הדוק עבור כל ארבעת ההערכות. הסכם זה נותן תוקף לייצוג הכוחות כווקטורים. ניתן לייחס את ההבדל למגבלות ברמת הדיוק של המשקולות, דיוק המדידה של הזווית וכוחות לא מוסברים הנגרמים מחיכוך על שולחן הכוח ועם הגלגלות.
חיבור וחיסור וקטורי משמשים ביישומים פשוטים ומורכבים כאחד. בואו נסתכל על כמה מהם.
כאשר מסיירים בעיר כמו ניו יורק, המרחק נמדד בדרך כלל בבלוקים, והכיוונים הם צפון, דרום, מזרח ומערב.
אדם שהולך ארבעה רחובות מזרחה ושלושה רחובות צפונה עובר שינוי במיקום, שהוא כמות וקטורית. לכן, על ידי יישום המשוואות לחיבור וקטורי, ניתן לחשב את הגודל והכיוון של הווקטור בין נקודות ההתחלה והסיום של ההליכה.
מהליכה לטיסה: טייס מבצע כל הזמן חיבור וחיסור וקטורי מנטלי כדי לתמרן את המטוס. על ידי שימוש בדשי הכנפיים והאיילרונים, טייס יכול להתאים את העילוי כנגד כוח הכבידה. אם העילוי גדול מכוח הכבידה, המטוס עולה. אם העילוי קטן מכוח הכבידה, הוא יורד.
באופן דומה, טייס משתמש במנועים כדי לכוונן את הדחף כנגד הגרר. אם הדחף גדול מהגרר, המטוס מאיץ. אם הדחף קטן מהגרר, הוא מאט.
כאשר סכום ארבעת הכוחות הללו שווה לאפס, המטוס נמצא בשיווי משקל ומשייט במהירות ובגובה קבועים.
זה עתה צפיתם במבוא של JoVE לווקטורים. כעת עליכם לדעת כיצד לחבר ולחסר וקטורים, ולהבין כיצד כמויות פיזיקליות מסוימות מתנהגות כווקטורים. תודה שצפית!
View the full transcript and gain access to JoVE Science Education videos
Q1: What is the difference between vectors and scalars?
Vectors have both magnitude and direction, while scalars have only magnitude and sign. Force, acceleration, and velocity are vectors. Mass, energy, and time are scalars. Vectors are typically represented by arrows where length indicates magnitude and angle indicates direction within a chosen coordinate system.
Q2: How do you decompose a vector into components?
Any vector can be decomposed into x- and y-component vectors along perpendicular axes. For a vector at angle θ with magnitude M, the horizontal component equals M times cosine of θ, and the vertical component equals M times sine of θ. These components can be recombined using vector addition to reconstruct the original vector.
Q3: What is the process for adding two non-perpendicular vectors?
Decompose each vector into x- and y-components, then add corresponding components separately. Calculate the resultant x- and y-components, then combine them using the Pythagorean theorem to find magnitude. Use arctangent of the vertical component divided by the horizontal component to find the angle of the resultant vector.
Q4: How does vector subtraction work in physics?
Subtracting one vector from another is equivalent to negating the second vector and adding it to the first. Decompose each vector into x- and y-components, subtract corresponding components, then calculate the vector sum of the resulting components using the Pythagorean theorem and arctangent to find magnitude and direction.
Q5: What is equilibrium and how does it relate to vector addition?
Equilibrium occurs when the net force on an object is zero, resulting in zero acceleration. On a force table, when two equal forces act at 180 degrees from each other, their vector sum is zero and the ring remains stationary. If forces do not cancel, vector addition determines the third force needed to restore equilibrium and establish rotational equilibrium.
Q6: How is a force table used to experimentally validate vector addition?
A force table is a disk with angle markings and a central ring attached to cords with suspended masses. Masses produce forces measured in Newtons. By adjusting masses and angles for two forces, students calculate the third force needed to prevent ring motion. Comparing calculated results using vector addition with experimental observations validates the vector principles.
Q7: What are real-world applications of vector addition and subtraction?
Pilots use vector addition and subtraction to maneuver aircraft by adjusting lift against gravity and thrust against drag. When the sum of these four forces equals zero, the plane maintains constant speed and altitude. Navigation also uses vectors: a person walking four blocks east and three blocks north can calculate their displacement vector using vector addition equations.