6.14: Teorema del limite centrale

Il teorema del limite centrale, abbreviato in clt, è una delle idee più potenti e utili di tutta la statistica. Il teorema del limite centrale per le medie campionarie dice che se si disegnano ripetutamente campioni di una data dimensione e si calcolano le loro medie, e si crea un istogramma di quelle medie, allora l’istogramma risultante tenderà ad avere una forma a campana normale approssimativa. In altre parole, all’aumentare delle dimensioni del campione, la distribuzione delle medie segue più da vicino la distribuzione normale.

La dimensione del campione, n, che deve essere “abbastanza grande” dipende dalla popolazione originale da cui vengono estratti i campioni (la dimensione del campione dovrebbe essere almeno 30, oppure i dati dovrebbero provenire da una distribuzione normale). Se la popolazione originale è lontana dalla normalità, sono necessarie ulteriori osservazioni affinché le medie o le somme del campione siano normali. Il campionamento viene effettuato con sostituzione.

Sarebbe difficile sopravvalutare l’importanza del teorema del limite centrale nella teoria statistica. Sapere che i dati, anche se la loro distribuzione non è normale, si comportano in modo prevedibile è uno strumento potente.

La distribuzione normale ha la stessa media della distribuzione originale e una varianza che è uguale alla varianza originale divisa per la dimensione del campione. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, quindi la deviazione standard della distribuzione campionaria è la deviazione standard della distribuzione originale divisa per la radice quadrata di n. La variabile n è il numero di valori di cui viene calcolata la media, non il numero di volte in cui viene eseguito l’esperimento.

Questo testo è adattato da Openstax, Statistiche introduttive, Sezione 7.0 Teorema del limite centrale.

Questo testo è adattato da Openstax, Statistiche introduttive, Sezione 7.1 Teorema del limite centrale per medie campionarie (medie).