6.14: Teorema del limite centrale

Il teorema del limite centrale, abbreviato nella sigla clt, è una delle idee più potenti e utili in tutta la statistica. Il teorema del limite centrale per le medie campionarie afferma che se si definiscono ripetutamente dei campioni di una determinata dimensione, si calcolano le loro medie e si crea un istogramma di tali medie, l'istogramma risultante tenderà ad avere una forma all’incirca di una campana normale. In altre parole, all’aumentare delle dimensioni del campione, la distribuzione delle medie segue più da vicino la distribuzione normale.

La dimensione del campione, n, che deve essere "sufficientemente grande", dipende dalla popolazione originale da cui vengono estratti i campioni (la dimensione del campione dovrebbe essere almeno 30, oppure i dati dovrebbero provenire da una distribuzione normale). Se la popolazione originaria è lontana dall’essere normale, allora è necessario effetuare più analisi affinché le medie o le somme campionarie siano normali. Il campionamento viene effettuato con sostituzione.

Sarebbe difficile soprastimare l’importanza del teorema del limite centrale nella teoria statistica. Sapere che i dati, anche se la loro distribuzione non è normale, si comportano in modo prevedibile è un’informazione molto importante.

La distribuzione normale ha la stessa media della distribuzione originale e la varianza è uguale alla varianza originale, divisa per la dimensione del campione. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, quindi la deviazione standard della distribuzione campionaria è la deviazione standard della distribuzione originale divisa per la radice quadrata di n. La variabile n corrisponde al numero di valori la cui media viene calcolata insieme, non il numero di volte in cui viene eseguito l'esperimento.

Questo testo è adattato da Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem.

Questo testo è adattato da Openstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit theorem for Sample Means (Averages).

Si considerino i dot plot per le popolazioni con una distribuzione normale e uniforme.

La distribuzione delle medie campionarie per diverse dimensioni del campione mostra che si avvicina a una distribuzione normale all'aumentare della dimensione del campione: questo è il principio fondamentale del teorema del limite centrale.

Sebbene la media delle medie campionarie sia uguale alla media della popolazione, la sua deviazione standard è inferiore alla deviazione standard della popolazione.

Tuttavia, questa regola non si applica alle popolazioni che non sono normali e con una dimensione del campione inferiore o uguale a 30.

Sapendo che le medie campionarie sono normalmente distribuite, è possibile effettuare una migliore analisi statistica utilizzando le proprietà della distribuzione normale.

Ad esempio, la regola empirica che si applica alla distribuzione normale aiuta a determinare la probabilità che un gruppo di persone abbia pesi medi entro una, due o tre deviazioni standard dalla media delle medie campionarie.

Questi valori possono anche essere standardizzati in punteggi z. Quindi, si potrebbe determinare la probabilità di un gruppo di persone selezionate casualmente con un peso medio inferiore a 80 kg.