7.11: Intervallo di confidenza per la stima della media della popolazione

Una stima puntuale della media della popolazione è ottenuta da un singolo campione. Una tale stima puntuale non rappresenta bene una popolazione perché deve tenere conto della variabilità della popolazione. La stima di un singolo punto può anche essere distorta nonostante il campione sia stato selezionato in modo casuale. Pertanto, una stima puntuale è spesso inaffidabile. È necessario un intervallo di confidenza per ridurre questa inaffidabilità.

Un intervallo di confidenza per la media è un intervallo di valori che fornisce una stima della media della popolazione. Poiché la media della popolazione è un valore sconosciuto ma fisso, non può essere conosciuta con precisione da un numero qualsiasi di campioni o da qualsiasi metodo di campionamento, ma può essere stimata. Un intervallo di confidenza di una media fornisce un intervallo di valori all’interno del quale è possibile trovare un valore reale della media della popolazione.

Il calcolo dell’intervallo di confidenza richiede un margine di errore e una conoscenza preliminare della deviazione standard (o varianza) della popolazione. Quando la deviazione standard della popolazione (varianza) è nota, il margine di errore viene calcolato utilizzando la distribuzione z poiché si assume la normalità dei campioni. In questo caso, la dimensione del campione deve essere superiore a 30. Nel caso in cui la deviazione standard della popolazione (varianza) sia sconosciuta, il margine di errore viene calcolato utilizzando la distribuzione t. Sebbene la distribuzione t sia una distribuzione simmetrica non normale, la stima richiede che i campioni siano prelevati dalla popolazione normalmente distribuita, oppure che la dimensione del campione sia maggiore di 30. L’intervallo di confidenza calcolato utilizzando la distribuzione t dipende dai gradi di libertà (o dalla dimensione del campione). Sono più ampi di quelli calcolati utilizzando la distribuzione z per il livello di confidenza e la dimensione del campione dati.

L’intervallo di confidenza in entrambi i casi (cioè la popolazione SD nota o sconosciuta) è stimato a un livello di confidenza prestabilito, cioè 90%, 95% o 99%.

Quando viene calcolato l’intervallo di confidenza al livello del 95%, siamo sicuri al 95% che il valore reale della media della popolazione cadrà tra il valore inferiore e quello superiore dei limiti di confidenza. In altre parole, può anche significare che se prendiamo diversi campioni e calcoliamo diversi intervalli di confidenza, il 95% di essi conterrà la media della popolazione. Poiché la media della popolazione è un singolo valore fisso, non è appropriato affermare che esiste una probabilità del 95% di trovare il vero valore del parametro della popolazione entro l’intervallo di confidenza. Non è nemmeno corretto affermare che il 95% delle medie campionarie rientra nell’intervallo calcolato dei limiti di confidenza.