9.10: Testare un'affermazione riguardante la proporzione della popolazione

Qui viene fornita una procedura completa per verificare un'affermazione relativa alla proporzione della popolazione.

Esistono due metodi per verificare un'affermazione relativa a una proporzione della popolazione: (1) utilizzando la proporzione campionaria dei dati, in cui una distribuzione binomiale ha un valore che si avvicina alla distribuzione normale e (2) utilizzando le probabilità binomiali calcolate dai dati.

Il primo metodo utilizza la distribuzione normale come valore di riferimento per la distribuzione binomiale. I requisiti sono i seguenti: la dimensione del campione è sufficientemente grande, la probabilità della proporzione p è vicina a 0,5, il np (prodotto della dimensione del campione e della proporzione) è maggiore di 5 e i valori critici possono essere calcolati utilizzando la distribuzione z. Richiede inoltre che i campioni siano casuali e imparziali e che la natura dei dati sia binomiale, ovvero che ci siano solo due possibili risultati (ad esempio, successo o fallimento; selezionato o non selezionato, vero o falso, ecc.). Una proporzione è di natura binomiale. Pertanto, questo metodo è adatto per verificare un'affermazione utilizzando il test di ipotesi per la proporzione della popolazione.

Come primo passo, le ipotesi (ipotesi nulla e alternativa) vengono formulate chiaramente ed espresse simbolicamente. La proporzione p utilizzata nelle dichiarazioni di ipotesi è il valore presunto della proporzione, spesso 0,5. La proporzione ottenuta dai dati è la proporzione campionaria. Entrambi questi valori sono cruciali nel calcolo della statistica z.

Il valore critico può quindi essere ottenuto dalla distribuzione z utilizzando l'approssimazione normale della distribuzione binomiale. Il valore critico può essere positivo o negativo a seconda della direzione dell'ipotesi, di conseguenza, il test di ipotesi è a coda di destra, a coda di sinistra o a due code. Il valore critico viene calcolato a qualsiasi livello di confidenza desiderato, più comunemente 95% o 99%.

Il valore P viene quindi calcolato direttamente utilizzando la statistica z e il valore z critico, e il test di ipotesi è concluso. La statistica z può anche essere confrontata direttamente con il valore critico per concludere il test di ipotesi.

Il secondo metodo per verificare l'affermazione sulla proporzione non richiede np > 5 poiché utilizza l'esatta distribuzione binomiale, senza approssimazione normale. Questo metodo non calcola il valore critico. Utilizza invece le probabilità di ottenere x (il valore dei successi sul totale delle prove, ad esempio 60 successi su 110 prove) nelle n prove. Calcola le probabilità di x o meno e x o maggiore e quindi porta ai valori P. Questo secondo metodo per verificare un'affermazione relativa alla proporzione è ripetitivo da eseguire manualmente e richiede un software statistico. Tuttavia, le inferenze determinate in entrambi i modi sono ugualmente accurate.

Nelle popolazioni naturali di guppy di Trinidad, le femmine selezionano i maschi con colorazione arancione per l'accoppiamento.

Per determinare se anche le popolazioni di guppy in un acquario mostrano lo stesso comportamento, viene condotto un esperimento in cui 12 femmine vengono presentate individualmente a tre maschi arancioni e tre maschi blu contemporaneamente.

Originariamente si sostiene che le femmine scelgano i maschi arancioni.

Quindi, l'ipotesi nulla affermerebbe che un numero uguale di femmine mostrerebbe una preferenza per i maschi arancioni e blu. L'ipotesi alternativa è che un numero maggiore di femmine preferirebbe i maschi arancioni.

L'esperimento mostra che dieci femmine su dodici preferivano i maschi arancioni.

Questo rapporto fornisce la proporzione del campione, 0,83, che viene utilizzata per ottenere la statistica del test come segue.

Si osserva che questa statistica del test rientra nella regione critica con un livello di significatività di 0,05.

Inoltre, il valore P di questa statistica z è 0,011.

Quindi, possiamo concludere che la popolazione di guppy in acquario mostra la stessa preferenza di accoppiamento osservata nella popolazione naturale.