9.13: Testare un’ipotesi sulla deviazione standard

Qui viene spiegata una procedura completa per verificare un'affermazione relativa alla deviazione standard o alla varianza della popolazione.

La verifica dell'ipotesi sulla deviazione standard (o varianza) della popolazione richiede che i dati e i campioni siano casuali e imparziali. Anche la distribuzione della popolazione deve essere normale. Non vi è alcun requisito specifico sulla dimensione del campione poiché la stima si basa sulla distribuzione chi-quadrato.

Come primo passo, l’ipotesi (nulla e alternativa) riguardante l’affermazione sulla deviazione standard (o varianza) della popolazione dovrebbe essere dichiarata chiaramente ed espressa simbolicamente. L'ipotesi generalmente richiede un certo valore di deviazione standard o varianza da testare. I campioni forniscono la deviazione standard o la varianza del campione. Utilizzando entrambi questi valori, viene calcolata la statistica del test.

Il valore critico qui dipende dalla dimensione del campione (o dai gradi di libertà) calcolata dalla distribuzione chi-quadrato. In base alla direzionalità nell'ipotesi alternativa, il test può essere a coda sinistra, a destra o a due code. La statistica del test campione viene confrontata con il valore critico del chi quadrato, generalmente calcolato con un livello di confidenza del 95% o 99%. Altrimenti, si ottiene il valore P e lo si confronta con il livello di significatività di 0,05 o 0,01 per concludere il test di ipotesi.

La corretta determinazione del prezzo dell'oro richiede una bilancia accurata, e la sua accuratezza si ottiene riducendo la deviazione standard del peso medio.

Si consideri l'esempio in cui un'azienda afferma di aver ridotto significativamente la deviazione standard della propria bilancia da 0,005 g a 0,003 g testata su 30 singole unità.

Per testare questa affermazione, viene condotto un test di ipotesi in cui l'ipotesi nulla afferma che i modelli vecchi e migliorati hanno una deviazione standard uguale. L'ipotesi alternativa afferma che il modello migliorato è più accurato e ha una deviazione standard significativamente più piccola rispetto al vecchio modello.

La verifica dell'ipotesi richiede che la statistica del campione venga convertita nella statistica Χ² come segue.

Qui, la regione critica a un livello di significatività di 0,05 cade alla coda sinistra della curva.

Si noti che il valore di Χ² calcolato dal campione rientra in esso.

Inoltre, il valore P ottenuto utilizzando il test della coda sinistra è inferiore a 0,05.

Quindi, il modello migliorato si dimostra significativamente più accurato del vecchio modello in base al risultato del test.