7.10: Stima della media della popolazione con deviazione standard sconosciuta

In pratica, raramente conosciamo la deviazione standard della popolazione. In passato, quando la dimensione del campione era ampia, questo non rappresentava un problema per gli statistici. Hanno utilizzato la deviazione standard del campione s come stima per σ e hanno proceduto come prima a calcolare un intervallo di confidenza con risultati sufficientemente vicini. Tuttavia, gli statistici incontravano problemi quando la dimensione del campione era piccola. Una piccola dimensione del campione ha causato imprecisioni nell’intervallo di confidenza.

William S. Gosset (1876-1937) della birreria Guinness di Dublino, in Irlanda, si imbatté in questo problema. I suoi esperimenti con il luppolo e l’orzo produssero pochissimi campioni. La semplice sostituzione di σ con s non produceva risultati accurati quando cercava di calcolare un intervallo di confidenza. Si rese conto che non poteva usare una distribuzione normale per il calcolo; Ha scoperto che la distribuzione effettiva dipende dalla dimensione del campione. Questo problema lo portò a “scoprire” quella che viene chiamata la distribuzione t di Student. Il nome deriva dal fatto che Gosset scriveva sotto lo pseudonimo di “Student”.

Fino alla metà degli anni ’70, alcuni statistici usavano l’approssimazione della distribuzione normale per campioni di grandi dimensioni e usavano la distribuzione t di Student solo per campioni di dimensioni massime di 30. Con le calcolatrici grafiche e i computer, la pratica ora è quella di utilizzare la distribuzione t di Student ogni volta che s viene utilizzata come stima per σ.

Se si estrae un campione casuale semplice di dimensione n da una popolazione che ha una distribuzione approssimativamente normale con μ media e deviazione standard della popolazione sconosciuta σ e si calcola il punteggio t utilizzando il campione SD.

Proprietà della distribuzione t di Student

• Il grafico per la distribuzione t di Student è simile alla curva normale standard.
• La media per la distribuzione t di Student è zero e la distribuzione è simmetrica intorno allo zero.
• La distribuzione t di Student ha più probabilità nelle sue code rispetto alla distribuzione normale standard perché la diffusione della distribuzione t è maggiore della diffusione della normale standard. Quindi il grafico della distribuzione t di Student sarà più spesso nelle code e più corto al centro rispetto al grafico della distribuzione normale standard.
• La forma esatta della distribuzione t di Student dipende dai gradi di libertà. All’aumentare dei gradi di libertà, il grafico della distribuzione t di Student diventa più simile al grafico della distribuzione normale standard.
• Si presume che la popolazione sottostante delle singole osservazioni sia normalmente distribuita con μ media della popolazione sconosciuta e deviazione standard della popolazione sconosciuta σ. La dimensione della popolazione sottostante non è generalmente rilevante a meno che non sia molto piccola. Se è a forma di campana (normale), allora l’ipotesi è soddisfatta e non ha bisogno di discussione. Si presume il campionamento casuale, ma questa è un’ipotesi completamente separata dalla normalità.

Calcolatrici e computer possono facilmente calcolare le probabilità t di qualsiasi studente. Può essere utilizzata anche una tabella di probabilità per la distribuzione t di Student. La tabella fornisce i punteggi t che corrispondono al livello di confidenza (colonna) e ai gradi di libertà (riga). Quando si utilizza una tabella t, si noti che alcune tabelle sono formattate in modo da mostrare il livello di confidenza nelle intestazioni delle colonne, mentre le intestazioni delle colonne in alcune tabelle possono mostrare solo l’area corrispondente in una o entrambe le code.

La tabella t di A Student fornisce i punteggi t dati i gradi di libertà e la probabilità di coda destra. La tabella è molto limitata. Calcolatrici e computer possono facilmente calcolare le probabilità t di qualsiasi studente.

La notazione per la distribuzione t di Student (usando T come variabile casuale) è:

• T ~ tdf dove df = n – 1.
• Ad esempio, se abbiamo un campione di dimensione n = 20 elementi, allora calcoliamo i gradi di libertà come df = n – 1 = 20 – 1 = 19 e scriviamo la distribuzione come T ~ t19.

Se la deviazione standard della popolazione non è nota, l’errore associato per una media della popolazione viene calcolato utilizzando il campione SD.

Questo testo è adattato da Openstax, Statistiche introduttive, Sezione 8.2 Una singola popolazione significa usare il <a href=”https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/8-2-a-single-population-mean-using-the-student-t-distribution”>t distribuzione.