Derivazione implicita

Nella meccanica classica, il moto è spesso descritto mediante relazioni tra coordinate spaziali e tempo. Un’auto che si muove lungo un’autostrada rettilinea con accelerazione costante costituisce un caso semplice in cui la velocità è una funzione esplicita del tempo. Questo scenario conduce a un’equazione lineare, che consente un’analisi diretta mediante tecniche elementari di derivazione.

Al contrario, un satellite in orbita circolare segue una traiettoria descritta da una funzione implicita. La posizione del satellite è determinata dall’equazione di una circonferenza, che collega le coordinate x e y senza isolare una variabile dipendente.

Derivazione implicita per il moto circolare

Per un satellite in orbita circolare, la posizione verifica l’equazione:

\begin{equation*}x^2 + y^2 = r^2\end{equation*}

Per determinare la direzione istantanea del moto—rappresentata dalla pendenza della retta tangente—si applica la derivazione implicita. Derivando entrambi i membri rispetto a x:

\begin{equation*}\jfrac{d}{dx}\liparens {x^2 + y^2} = \jfrac{d}{dx}\liparens {r^2}\end{equation*}

\begin{equation*}2x + 2y \jfrac{dy}{dx} = 0\end{equation*}

Risolvendo rispetto a \begin{equation*}\jfrac{dy}{dx} \end{equation*}:

\begin{equation*}\jfrac{dy}{dx} = -\jfrac{x}{y}\end{equation*}

Questa derivata rappresenta la pendenza della retta tangente in ogni punto (x,y) della traiettoria del satellite.

Equazione della retta tangente

Utilizzando la forma punto-pendenza, la retta tangente nel punto (x_1,y_1) è:

\begin{equation*}y - y_1 = -\jfrac{x_1}{y_1}(x - x_1)\end{equation*}
 

Questa equazione descrive la direzione del vettore velocità del satellite in una determinata posizione. La derivazione implicita svolge dunque un ruolo centrale nell’analisi del moto di oggetti vincolati a traiettorie geometriche, come i satelliti in orbita.