Integrali indefiniti

La portata in ingresso dell’acqua in un serbatoio di accumulo non è costante, ma aumenta nel tempo. Inizialmente, la pompa immette acqua con una portata di 5 L/min. Tuttavia, la portata aumenta di 2 L/min per ogni minuto aggiuntivo, a causa dell’aumento della pressione o di regolazioni del sistema. Questo scenario può essere descritto matematicamente con una funzione lineare:

\begin{equation}f(t) = 2t + 5\end{equation}

È necessario integrare la funzione della portata in ingresso per misurare il volume totale d’acqua aggiunto al serbatoio nel tempo. Il volume totale d’acqua V(t) si ottiene calcolando il seguente integrale:

\begin{equation}V(t) = \int (2t + 5) \, dt\end{equation}

Applicando la regola della potenza per valutare l’integrale, emergono termini sia quadratici sia lineari, che riflettono la variazione della portata nel tempo:

\begin{equation}V(t) = t^2 + 5t + C\end{equation}

Il termine t^2 deriva dall’aumento della portata, mostrando che l’accumulo d’acqua segue un andamento quadratico nel tempo. Il termine 5t rappresenta la componente di portata costante presente fin dall’inizio. La costante C tiene conto del volume iniziale d’acqua nel serbatoio prima dell’avvio del processo di immissione. Poiché l’integrazione determina il volume totale sommando la portata istantanea, questa equazione fornisce una funzione completa che descrive la quantità totale d’acqua nel serbatoio in qualunque istante.