4.13
L'acqua scorre in un grande serbatoio industriale, ma la portata d'ingresso non è costante. Inizialmente, la pompa fornisce acqua a 5m 3/s.
L'afflusso d'acqua aumenta a una velocità costante di due metri cubi al secondo grazie ai continui aggiustamenti del sistema.
Questa variazione costante rende la portata di afflusso dell'acqua una funzione lineare del tempo, dove 2 è la pendenza che indica la velocità di aumento, e 5 è la portata di afflusso iniziale.
L'obiettivo è trovare il volume totale di acqua immagazzinata nel serbatoio in qualsiasi momento. Ciò richiede un'integrazione indefinita, che determina il volume totale dell'acqua integrando la velocità di afflusso nel tempo.
Invece di analizzare l'afflusso in istanti specifici, l'integrazione fornisce una funzione unica per il volume totale dell'acqua rispetto al tempo.
Integrando la portata di afflusso lineare si introduce un termine quadratico, che mostra la crescita accelerata del volume d'acqua, mentre il termine lineare mostra la crescita costante dalla portata di afflusso iniziale.
Infine, la costante di integrazione è data dalla funzione di volume a t uguale a zero, che corrisponde al volume iniziale d'acqua presente nel serbatoio.
La portata in ingresso dell’acqua in un serbatoio di accumulo non è costante, ma aumenta nel tempo. Inizialmente, la pompa immette acqua con una portata di 5 L/min. Tuttavia, la portata aumenta di 2 L/min per ogni minuto aggiuntivo, a causa dell’aumento della pressione o di regolazioni del sistema. Questo scenario può essere descritto matematicamente con una funzione lineare:
\begin{equation}f(t) = 2t + 5\end{equation}
È necessario integrare la funzione della portata in ingresso per misurare il volume totale d’acqua aggiunto al serbatoio nel tempo. Il volume totale d’acqua V(t) si ottiene calcolando il seguente integrale:
\begin{equation}V(t) = \int (2t + 5) \, dt\end{equation}
Applicando la regola della potenza per valutare l’integrale, emergono termini sia quadratici sia lineari, che riflettono la variazione della portata nel tempo:
\begin{equation}V(t) = t^2 + 5t + C\end{equation}
Il termine t^2 deriva dall’aumento della portata, mostrando che l’accumulo d’acqua segue un andamento quadratico nel tempo. Il termine 5t rappresenta la componente di portata costante presente fin dall’inizio. La costante C tiene conto del volume iniziale d’acqua nel serbatoio prima dell’avvio del processo di immissione. Poiché l’integrazione determina il volume totale sommando la portata istantanea, questa equazione fornisce una funzione completa che descrive la quantità totale d’acqua nel serbatoio in qualunque istante.
L'acqua scorre in un grande serbatoio industriale, ma la portata d'ingresso non è costante. Inizialmente, la pompa fornisce acqua a 5m 3/s.
L'afflusso d'acqua aumenta a una velocità costante di due metri cubi al secondo grazie ai continui aggiustamenti del sistema.
Questa variazione costante rende la portata di afflusso dell'acqua una funzione lineare del tempo, dove 2 è la pendenza che indica la velocità di aumento, e 5 è la portata di afflusso iniziale.
L'obiettivo è trovare il volume totale di acqua immagazzinata nel serbatoio in qualsiasi momento. Ciò richiede un'integrazione indefinita, che determina il volume totale dell'acqua integrando la velocità di afflusso nel tempo.
Invece di analizzare l'afflusso in istanti specifici, l'integrazione fornisce una funzione unica per il volume totale dell'acqua rispetto al tempo.
Integrando la portata di afflusso lineare si introduce un termine quadratico, che mostra la crescita accelerata del volume d'acqua, mentre il termine lineare mostra la crescita costante dalla portata di afflusso iniziale.
Infine, la costante di integrazione è data dalla funzione di volume a t uguale a zero, che corrisponde al volume iniziale d'acqua presente nel serbatoio.
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