Funzione della lunghezza d’arco

La funzione di lunghezza d’arco rappresenta la distanza totale percorsa lungo una curva liscia, misurata a partire da un punto iniziale fisso fino a un punto finale variabile. Per curve continue e differenziabili, la lunghezza d’arco fornisce un metodo rigoroso per quantificare la distanza quando le approssimazioni lineari risultano insufficienti.

Per ricavare la lunghezza d’arco, la curva viene suddivisa in molti piccoli segmenti. Ciascun segmento è approssimato da un tratto rettilineo la cui lunghezza dipende dalle variazioni orizzontali e verticali su quell’intervallo. Questi tratti lineari richiamano la struttura di una somma di Riemann. All’aumentare del numero di segmenti e al ridursi della loro ampiezza verso zero, l’approssimazione converge a un integrale che restituisce la lunghezza esatta della curva.

Per una funzione y = f(x) derivabile su un intervallo, la lunghezza d’arco da un punto fisso x = a fino al punto finale variabile x è data da:

\begin{equation*}L(x) = \int_a^x \bm{\sqrt{1 + (f'(u))^2}}\, du\end{equation*}

L’integrando è sempre maggiore o uguale a uno, riflettendo il fatto che la distanza più breve tra due punti è una linea retta. All’aumentare del valore assoluto della derivata, che indica una curva più ripida, aumenta anche il valore dell’integrando, facendo sì che la lunghezza d’arco si accumuli più rapidamente.

Derivando la funzione di lunghezza d’arco tramite il Teorema fondamentale del calcolo, si osserva che la sua velocità di variazione in ogni punto dipende direttamente dalla pendenza della curva in quel punto. Ciò mette in evidenza la stretta relazione tra il comportamento geometrico locale e la distanza totale accumulata.

Le funzioni di lunghezza d’arco sono fondamentali nelle applicazioni pratiche in cui è necessaria una misurazione accurata della distanza lungo percorsi curvilinei. Per esempio, nell’installazione di barriere di protezione stradale lungo una strada tortuosa, i calcoli della lunghezza d’arco consentono di determinare l’effettiva distanza al suolo, evitando di sottostimare materiali, costi e tempi di installazione.