Equazioni differenziali: risoluzione di problemi

Quando si analizza il moto di corpi in caduta, è essenziale considerare non solo la forza di gravità, ma anche la resistenza dell’aria. Un esempio pratico riguarda il rilascio di un peso di prova di grande massa durante un controllo di sicurezza a bordo di una nave. Mentre il peso cade da fermo, la gravità lo accelera verso il basso, mentre la resistenza dell’aria esercita una forza diretta verso l’alto che aumenta con la velocità. Questa interazione dinamica tra le forze è ben descritta dalle equazioni differenziali, che forniscono un quadro matematico per descrivere l’evoluzione della velocità dell’oggetto nel tempo.

Forze e modellazione differenziale

Secondo la seconda legge di Newton, la forza risultante che agisce sul peso in caduta determina la sua accelerazione. La gravità esercita una forza costante pari alla massa dell’oggetto moltiplicata per l’accelerazione di gravità, mentre la resistenza dell’aria è tipicamente modellata come proporzionale alla velocità dell’oggetto. Combinando tali forze, si ottiene un’equazione differenziale del primo ordine che mette in relazione il tasso di variazione della velocità con la velocità stessa.

Comportamento esponenziale e velocità terminale

Risolvendo l’equazione differenziale ottenuta, si ricava una funzione della velocità che cresce nel tempo ma tende asintoticamente a un limite finito. Questo andamento riflette il progressivo bilanciamento tra gravità e resistenza dell’aria, fino a raggiungere uno stato noto come velocità terminale: il punto in cui l’accelerazione si annulla e l’oggetto cade a velocità costante. Con una massa di 10 kg e una costante di resistenza aerodinamica pari a 2 N·s/m, la velocità terminale calcolata è 49 m/s. Questo risultato mostra come le equazioni differenziali consentano di modellare efficacemente il moto reale e di evidenziare il ruolo della resistenza dell’aria nel limitare l’accelerazione durante la caduta libera.