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Momento di inerzia

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Physics I

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JoVE Science Education Physics I

Rotational Inertia

1.9: Equilibrium and Free-body Diagrams

1.13: Energy and Work

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07:48 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

L’inerzia è la resistenza di un oggetto ad essere accelerato. Nella cinematica lineare, questo concetto è direttamente correlato alla massa di un oggetto. Più un oggetto è massiccio, maggiore è la forza necessaria per accelerare quell’oggetto. Questo è visto direttamente nella seconda legge di Newton, che afferma che la forza è uguale all’accelerazione di massa.

Per la rotazione, esiste un concetto simile chiamato inerzia rotazionale. In questo caso, l’inerzia rotazionale è la resistenza di un oggetto ad essere accelerato rotazionalmente. L’inerzia rotazionale dipende non solo dalla massa, ma anche dalla distanza di massa dal centro di rotazione.

L’obiettivo di questo esperimento è misurare l’inerzia rotazionale di due masse rotanti e determinare la dipendenza dalla massa e dalla distanza dall’asse di rotazione.

Principles

Un certo oggetto o sistema di oggetti ha una certa inerzia rotazionale. L’inerzia rotazionale attorno a un certo asse è chiamata momento di inerzia. Poiché la distanza dalla massa all’asse di rotazione è importante, un singolo oggetto può avere momenti di inerzia molto diversi a seconda dell’asse attorno al quale ruota. Il momento di inerzia per un oggetto è definito come:

, (Equazione 1)

dove i è il numero di oggetti.

Nell’equazione 1, r è la distanza dall’asse di rotazione alla massa. Come si può vedere nell’equazione, il momento di inerzia dipende dalla massa dell’oggetto e dal quadrato della distanza dalla massa all’asse di rotazione.

Proprio come la cinematica lineare ha equazioni del moto, la cinematica rotazionale ha equazioni analoghe del moto. Ad esempio, la seconda legge di Newton per il moto lineare è:

. (Equazione 2)

Un’equazione rotazionale simile assume la forma:

, (Equazione 3)

dove è la coppia, è il momento di inerzia e è l’accelerazione angolare. Qui, il momento di inerzia è l’analogo del termine di massa nella seconda legge di Newton. Allo stesso modo, il momento di inerzia è presente nelle altre importanti equazioni del moto rottivo:

, (Equazione 4)

, (Equazione 5)

dove è la velocità angolare dell’oggetto.

Per questo esperimento, una massa è collegata a un braccio rotante da una stringa avvolta attorno all’asse di rotazione. Vedere la Figura 1 per un’immagine dell’aspetto della configurazione sperimentale. Due masse saranno collegate al braccio rotante, l’attrito sarà ignorato in questo esperimento e il momento totale di inerzia sarà uguale al momento delle masse rotanti più il momento del braccio rotante.

La massa, che cade a causa dell’influenza della gravità, metterà in atto una coppia sul braccio rotante. Dall’equazione 2 e . Qui, è la forza sull’oggetto, che proviene dalla tensione nella corda, ed è la distanza dalla forza all’asse di rotazione. Qui, quella distanza è la distanza dal bordo della corda avvolta all’asse di rotazione.

L’accelerazione angolare è definita da , dove è l’accelerazione lineare di un punto sulla corda avvolta che corrisponde all’accelerazione del peso in caduta. Mettere tutto insieme dà . La seconda legge di Newton è usata per trovare la tensione. La somma delle forze sull’oggetto dovrebbe essere uguale alla massa volte l’accelerazione. Qui, le forze sul peso che cade sono la gravità ( ) e la tensione , quindi . Assumendo un’accelerazione costante, allora , dove è la distanza percorsa dal peso e è il tempo necessario per cadere quella distanza. Questo deriva dalle equazioni cinematiche del moto.

Mettendo tutto insieme si traduce in un’equazione per il momento di inerzia in termini di quantità misurabili durante l’esperimento:

. (Equazione 7)

Se due masse sono attaccate al braccio rotante a distanze uguali dall’asse di rotazione, il momento di inerzia sarà:

, (Equazione 8)

che è il valore teorico per questo esperimento.

Figura 1. Configurazione sperimentale.

Procedure

1. Misurare il momento di inerzia dell’asta lunga.

Avvolgere la corda attaccata al peso fino a quando il peso è vicino al braccio rotante.
Lascia cadere il peso e misura il tempo necessario per cadere, così come la distanza che scende.
Eseguire il passaggio 1.2 tre volte e calcolare il momento medio di inerzia utilizzando l’equazione 7.
Calcola il momento teorico di inerzia della canna da spinning usando la seguente formula: , dove è la massa dell’asta e è la lunghezza.
Confrontare il valore teorico con il valore misurato e registrare la differenza.

2. Due masse attaccate all’asta.

Posizionare due masse da 100 kg a 20 cm di distanza dal centro dell’asta.
Ripetere i passaggi 1.2 e 1.3 con le masse collegate.
Il momento totale di inerzia dovrebbe essere uguale al momento di inerzia delle masse attaccate più il momento di inerzia dell’asta. Usa questo fatto, i risultati del passo 1 e l’equazione 8 per determinare i momenti teorici e sperimentali di inerzia per le masse attaccate.
Confrontare i valori teorici con i valori misurati e registrare le differenze.

3. Effetto della distanza sul momento di inerzia.

Ripetere il passaggio 2 del laboratorio, ma spostare le masse attaccate a 10 cm di distanza dal centro di rotazione. Notare eventuali cambiamenti nella caduta del peso o nella rotazione dell’asta.
Confrontare i valori teorici con i valori misurati e registrare le differenze.

4. Effetto della massa sul momento di inerzia.

Ripetere il passaggio 2 del laboratorio, ma modificare la dimensione della massa a 200 kg.
Confrontare i valori teorici con i valori misurati e registrare le differenze.

L’inerzia rotazionale caratterizza la relazione tra coppia e accelerazione rotazionale di un oggetto.

L’inerzia è la resistenza che un oggetto ha a un cambiamento nel suo stato di movimento. Nella cinematica lineare, il concetto di inerzia è direttamente correlato alla massa di un oggetto. Più un oggetto è massiccio, maggiore è la forza necessaria per accelerare quell’oggetto.

Nella cinematica rotazionale, il concetto è definito come inerzia rotazionale, che è la resistenza di un oggetto ad essere accelerato rotazionalmente. L’inerzia rotazionale, indicata con la lettera I, dipende non solo dalla massa ma anche dalla distanza della massa dal centro di rotazione, o r. E matematicamente, è dato dalla formula I uguale a m*r-quadrato.

Si noti che se c’è più di un oggetto rotante, allora l’inerzia rotazionale dell’intero sistema è la somma delle singole inerzie rotazionali – date da questa formula dove la i minuscola è per il numero di oggetti sottoposti a rotazione.

Questo video mostrerà come misurare teoricamente e sperimentalmente l’inerzia rotazionale di un braccio rotante con e senza masse attaccate.

Prima di entrare nei dettagli del protocollo, parliamo del set-up sperimentale e delle leggi ed equazioni che governano l’inerzia rotazionale in questo sistema.

Il primo set-up è costituito da un asse, che è libero di ruotare attorno a un asse di rotazione. Poi c’è un peso attaccato a una corda e la corda è avvolta attorno all’asse, in modo tale che il peso sia vicino all’asta.

Quando il peso viene rilasciato, la tensione nella corda fornisce la forza per la rotazione dell’asta. L’inerzia rotazionale, nota anche come momento di inerzia o massa angolare o I di questa asta può essere calcolata sperimentalmente usando questa formula. Qui, r è il raggio dell’asse, m è la massa dell’oggetto che cade, t è il tempo che l’oggetto richiede per cadere a una distanza misurata de g è l’accelerazione dovuta alla gravità

Teoricamente, il momento di inerzia di qualsiasi asta cilindrica è dato da questa formula, dove M è la massa dell’asta e L è la lunghezza dell’asta.

Nel prossimo esperimento, avvolgeremo la corda indietro e attaccheremo due masse identiche all’asta alla stessa distanza x dal centro. Queste due masse hanno un loro momento di inerzia, teoricamente dato dalla formula I uguale a due volte m x-quadrato.

Ora, quando il peso viene rilasciato, l’asta girerà di nuovo. In questo caso, l’inerzia sperimentale del sistema – data dalla formula precedentemente discussa – terrà conto sia dell’inerzia delle due masse che dell’inerzia dell’asta. Pertanto, sottraendo l’inerzia dell’asta ottenuta nel primo esperimento da questo valore, si otterrà l’inerzia rotazionale sperimentale delle sole masse in questo sistema.

Ora che hai capito come calcolare teoricamente e sperimentalmente le inerzie rotazionali per gli elementi di questo sistema, vediamo come impostare l’esperimento e come registrare i valori

Come discusso, il primo esperimento misura il momento di inerzia della sola canna da spinning. Prendi la corda che è attaccata al peso e avvolgila attorno all’asse fino a quando il peso è vicino al braccio. Lascia cadere il peso. Misura e registra la distanza che cade e il tempo necessario per cadere.

Avvolgi la corda e lascia cadere il peso altre tre volte. Utilizzare i risultati di queste prove per calcolare il momento medio di inerzia per la canna da spinning, quindi calcolare il valore teorico.

La prossima serie di esperimenti richiede il posizionamento di masse aggiuntive sull’asta. Posiziona due masse da 1 chilogrammo sui lati opposti dell’asta, con ciascuna a 20 centimetri dal centro.

Avvolgere la corda attorno all’asse fino a quando il peso è vicino al braccio. Come prima, rilascia il peso e misura la distanza che cade e il tempo necessario per cadere. Ripetere questa procedura altre tre volte.

Con questi risultati sperimentali, calcola il momento medio totale di inerzia per la canna da spinning con masse attaccate.

Per studiare l’effetto della distanza sul momento di inerzia, riposizionare le masse di 1 chilogrammo in modo che siano ciascuna a 10 centimetri dal centro dell’asta.

Eseguire la procedura sperimentale quattro volte e notare qualsiasi effetto sulla velocità di rotazione. Calcola il nuovo momento medio di inerzia solo per le masse e registra il risultato.

Infine, per analizzare l’effetto della massa sul momento di inerzia, modificare le due masse in modo che siano ciascuna di 2 chilogrammi e riposizionarle in modo che siano a 20 centimetri dal centro dell’asta.

Eseguire la procedura sperimentale quattro volte e notare nuovamente qualsiasi cambiamento nel comportamento della canna da spinning. Calcola il nuovo momento medio di inerzia solo per le masse e registra il risultato.

I valori teorici e sperimentali per il momento di inerzia dell’asta, e delle sole masse attaccate, concordano ragionevolmente bene, confermando le equazioni che descrivono l’inerzia rotazionale. Le limitazioni nell’accuratezza della misurazione spiegano la differenza percentuale tra i risultati attesi ed effettivi.

Poiché il momento di inerzia è proporzionale alla massa, il risultato per le masse di 1 chilogrammo posizionate a 20 centimetri dall’asse di rotazione è la metà di quello delle masse di 2 chilogrammi alla stessa distanza.

Il momento di inerzia per le masse rotanti è anche proporzionale al quadrato di distanza dall’asse di rotazione. Le masse da 1 chilogrammo situate a 20 centimetri dal centro hanno il doppio della distanza e, come previsto, quattro volte il momento di inerzia rispetto alle stesse masse a 10 centimetri.

L’inerzia rotazionale è un effetto importante e può essere utilizzata vantaggiosamente in molte situazioni.

Un funambolo porta un lungo palo per aumentare il suo momento di inerzia rispetto all’uso solo delle braccia. A causa della maggiore inerzia rotazionale, il palo rimane stabile e orizzontale, consentendo al funambolo di rimanere in equilibrio

Le ruote di un’auto o di qualsiasi veicolo concentrano la maggior parte della loro massa sul lato esterno mantenendo il centro relativamente leggero. Questa configurazione a cerchio non è solo più leggera, ma ha anche meno inerzia rotazionale rispetto a un disco solido.

Di conseguenza, è necessaria meno coppia per girare e arrestare la ruota, riducendo le richieste al motore durante l’accelerazione e la decelerazione.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE all’inerzia rotazionale. Ora dovresti capire cos’è il momento di inerzia e come dipende dalla massa e dalla distanza dal centro di rotazione. Come sempre, grazie per aver guardato!

Results

	Valore teorico (kg m²)	Valore sperimentale (kg m²)	Differenza (%)
Parte 1	0.20	0.22	10
Parte 2	0.08	0.07	14
Parte 3	0.02	0.02	0
Parte 4	0.16	0.15	6

I risultati dell’esperimento confermano le previsioni fatte dalle equazioni 7 e 8. Il momento di inerzia per una canna da spinning, come dato dalla formula nel passaggio 1.4, è stato confermato sperimentalmente. La distanza ridotta nel passaggio 3 ha comportato un momento di inerzia più piccolo, come previsto. La massa maggiore nel passaggio 4 ha provocato un momento di inerzia più grande, come previsto dall’equazione 8.

Applications and Summary

Ti sei mai chiesto perché un funambolo porta un palo molto lungo? Il motivo è che il palo lungo ha un momento di inerzia molto grande a causa della sua lunghezza. Pertanto, richiede una grande quantità di coppia per farlo ruotare. Questo aiuta il funambolo a rimanere in equilibrio, poiché il palo rimarrà stabile.

Le ruote di auto e biciclette non sono mai solo dischi solidi; invece, hanno raggi che sostengono la ruota dall’asse. Ciò consente un design più leggero, che aiuta con la velocità, Tuttavia, la vera ragione di questo design può essere spiegata l’inerzia rotazionale. Un disco solido ha un momento di inerzia più grande di una forma a cerchio. Con il suo momento di inerzia più piccolo, un cerchio richiede meno coppia per girare e, forse ancora più importante, richiede meno coppia per smettere di girare.

Quando un giocatore di baseball è in battuta contro un lanciatore che lancia palle veloci, potrebbe voler accelerare il suo swing per ottenere un colpo. Può raggiungere questo obiettivo semplicemente avvicinando le mani all’estremità pesante del pipistrello, che si chiama “soffocamento”. Ciò riduce la distanza dal centro di massa del pipistrello all’asse di rotazione e quindi rende più facile per la pastella ruotare il pipistrello.

In questo esperimento, il momento di inerzia per un’asta e due masse sono stati misurati sperimentalmente e calcolati teoricamente. Sono state esaminate le differenze tra questi valori. È stato testato l’effetto della massa sul momento di inerzia, così come l’effetto della distanza dall’asse di rotazione.

Transcript

Rotational inertia characterizes the relationship between torque and an object’s rotational acceleration.

Inertia is the resistance an object has to a change in its state of motion. In linear kinematics, the concept of inertia is directly related to the mass of an object. The more massive an object, the more force is required to accelerate that object.

In rotational kinematics, the concept is termed as rotational inertia, which is the resistance of an object to being rotationally accelerated. Rotational inertia, denoted by letter I, is dependent not only on the mass but also on the distance of the mass from the center of rotation, or r. And mathematically, it is given by the formula I equals m*r-square.

Note that if there is more than one rotating object, then the rotational inertia of the whole system is the sum of the individual rotational inertias — given by this formula where lowercase i is for number of objects undergoing rotation.

This video will show how to theoretically and experimentally measure the rotational inertia of a spinning arm with and without attached masses.

Before going into the details of the protocol, let’s talk about the experimental set-up and the laws and equations that govern rotational inertia in this system.

The first set-up consists of an axle, which is free to rotate around an axis of rotation. Then there is a weight attached to a string and the string is wound around the axle, such that the weight is close to the rod.

When the weight is released, the tension in the string provides the force for the rod to spin. The rotational inertia, also known as moment of inertia or angular mass or I of this rod can be experimental calculated using this formula. Here, r is the radius of the axle, m is the mass of the falling object, t is the time the object requires to fall to a measured distance d, and g is the acceleration due to gravity

Theoretically, the moment of inertia of any cylindrical rod is given by this formula, where M is the mass of the rod and L is the length of the rod.

In the next experiment, we will wind the string back, and attach two identical masses to the rod at the same distance x from the center. These two masses have their own moment of inertia, theoretically given by the formula I equals two times m x-square.

Now when the weight is released, the rod will spin again. In this case, the experimental inertia of the system-given by the previously discussed formula- will take into account both, the inertia of the two masses and the inertia of the rod. Therefore, subtracting the rod’s inertia obtained in the first experiment from this value, will yield the experimental rotational inertia of just the masses in this system.

Now that you understand how to theoretically and experimental calculate the rotational inertias for the elements of this system, let’s see how to set-up the experiment and how to record the values

As discussed, the first experiment measures the moment of inertia of the spinning rod alone. Take the string that is attached to the weight and wind it around the axle until the weight is close to the arm. Drop the weight. Measure and record the distance it falls and the time it takes to fall.

Wind the string and drop the weight three more times. Use the results from these trials to calculate the average moment of inertia for the spinning rod, then calculate the theoretical value.

The next set of experiment requires placing additional masses on the rod. Place two 1-kilogram masses on opposite sides of the rod, with each 20 centimeters from the center.

Wind the string around the axle until the weight is close to the arm. As before, release the weight and measure the distance it falls and the time it takes to fall. Repeat this procedure three more times.

With these experimental results, calculate the average total moment of inertia for the spinning rod with attached masses.

To study the effect of distance on the moment of inertia, reposition the 1 kilogram masses so they are each 10 centimeters from the center of the rod.

Perform the experimental procedure four times and notice any effect on the spin rate. Calculate the new average moment of inertia for only the masses and record the result.

Lastly, to analyze the effect of mass on the moment of inertia, change the two masses so they are each 2 kilograms and reposition them so they are 20 centimeters from the center of the rod.

Perform the experimental procedure four times and again notice any change in the behavior of the spinning rod. Calculate the new average moment of inertia for only the masses and record the result.

Theoretical and experimental values for the moment of inertia of the rod, and of the attached masses alone, agree reasonably well, confirming the equations describing rotational inertia. Limitations in measurement accuracy explain the percentage difference between expected and actual results.

Because moment of inertia is proportional to mass, the result for the 1 kilogram masses positioned 20 centimeters from the axis of rotation is half that of the 2 kilogram masses at the same distance.

Moment of inertia for the spinning masses is also proportional to the square of distance from the axis of rotation. The 1 kilogram masses located 20 centimeters from the center have twice the distance and, as expected, four times the moment of inertia compared to the same masses at 10 centimeters.

Rotational inertia is an important effect and it can be used advantageously in many situations.

A tightrope walker carries a long pole to increase his moment of inertia compared to using only his arms. Because of greater rotational inertia, the pole remains steady and horizontal, allowing the tightrope walker to stay balanced

The wheels of a car or any vehicle concentrate most of their mass on the outer side while keeping the center relatively lightweight. This hoop-like configuration is not only lighter but also has less rotational inertia than a solid disk.

As a result, less torque is needed to spin and stop the wheel, reducing demands on the engine when accelerating, as well as decelerating.

You’ve just watched JoVE’s introduction to rotational inertia. You should now understand what moment of inertia is and how it depends on mass and distance from the center of rotation. As always, thanks for watching!