JoVE Science Education

Momento meccanico

JoVE Science Education
Physics I

A subscription to JoVE is required to view this content. Sign in or start your free trial.

JoVE Science Education Physics I

Torque

1.9: Equilibrium and Free-body Diagrams

1.13: Energy and Work

24,321 Views

•

08:18 min

•

April 30, 2023

Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

L’obiettivo di questo esperimento è comprendere i componenti della coppia e bilanciare più coppie in un sistema per raggiungere l’equilibrio. Proprio come una forza provoca l’accelerazione lineare, la coppia è una forza che causa un’accelerazione rotazionale. È definito come il prodotto di una forza e la distanza della forza dall’asse di rotazione. Se la somma delle coppie su un sistema è uguale a zero, il sistema non avrà alcuna accelerazione angolare.

Principles

La coppia è definita come il prodotto incrociato della distanza, r, dall’asse di rotazione a cui viene applicata una forza, e la forza, F:

, (Equazione 1)

dove è la forza applicata e è la distanza dall’asse di rotazione. La coppia ha unità di forza moltiplicate per la distanza e quindi viene misurata in Newton metri. Poiché la coppia è un vettore, ha sia magnitudine che direzione. La direzione della coppia è perpendicolare al piano costituito dai componenti di forza e distanza. La direzione può essere determinata usando la mano destra. Estendere il dito del puntatore nella direzione del primo componente. Estendere il dito medio nella direzione del secondo componente. Una volta fatto questo, la direzione del pollice esteso è la direzione della coppia. Un esempio è una chiave che stringe un bullone. Una forza viene applicata all’estremità della chiave, a una certa distanza dal bullone, che fornisce una coppia per ruotare il bullone in posizione. Più lunga è la distanza, maggiore è la coppia, come si può vedere dall’equazione 1. La forza necessaria per ruotare un oggetto può essere ridotta in modo significativo semplicemente aumentando la lunghezza della forza rispetto all’asse di rotazione.

Una coppia su un sistema causerà un’accelerazione angolare su quel sistema:

. (Equazione 2)

Qui, è l’accelerazione angolare ed è il momento di inerzia per quel sistema. Questo è l’equivalente rotazionale della seconda legge di Newton, con la massa sostituita con il momento di inerzia e l’accelerazione sostituita con l’accelerazione angolare.

Questo esperimento includerà un metro stick che è in grado di ruotare liberamente attorno al suo asse, come mostrato in Figura 1.

Figura 1: Configurazione sperimentale.
I pesi sono fissati a varie distanze dall’asse di rotazione, il che causerà una coppia sul sistema. Se le coppie su entrambi i lati sono bilanciate, la levetta del misuratore non deve ruotare dal riposo. Per esaminare la coppia da un peso o da una combinazione di pesi, è possibile attaccare una scala di forza all’altro lato. La forza che la bilancia legge moltiplicata per la distanza dalla scala all’asse di rotazione sarà uguale alla coppia dei pesi.

Procedure

1. Utilizzo di due pesi per bilanciare la trave.

Inizia collegando un peso di 200 g al primo gancio a destra. Quindi, collegare un peso di 200 g al primo foro a sinistra. Se rilasciato dal riposo, il raggio non deve ruotare.
Rimuovere il peso di 200 g dal lato sinistro. Determinare utilizzando l’equazione 1 in cui sarebbe necessario posizionare un peso di 100 g per bilanciare la coppia dal lato destro. Posiziona il peso e conferma la previsione.

2. Utilizzo di tre pesi per bilanciare la trave.

Collegare un peso di 100 g al primo gancio a destra. Posiziona un peso di 100 g sul terzo gancio a destra.
Determinare dove posizionare un peso di 200 g sul lato sinistro per bilanciare le coppie.
Determinare dove posizionare un peso di 100 g sul lato sinistro per bilanciare le coppie.

3. Utilizzo di più pesi per bilanciare la trave.

Collegare un peso di 200 g al quarto gancio sul lato destro.
Utilizzando qualsiasi combinazione di pesi da 100 g e 200 g, trova tre modi in cui la coppia dal lato destro può essere bilanciata sul lato sinistro.
Con il peso di 200 g ancora collegato al quarto gancio sul lato destro, collegare una scala di forza al primo gancio sul lato sinistro e tirare fino a quando non è in equilibrio. Assicurati di mantenere la scala di forza perpendicolare al raggio. Registrare la forza. Fallo per ogni gancio sul lato sinistro e registra i valori.
Con il peso di 200 g ancora collegato al quarto gancio sul lato destro, utilizzare un proniometro per ruotare il raggio di 30°. Attaccare la scala di forza al terzo gancio a sinistra e registrare la forza. Ripetere l’operazione per 60°.

La coppia è la forza sottostante che governa la rotazione ed è utile per descrivere il funzionamento di macchine sia semplici che complesse.

Proprio come una forza netta provoca l’accelerazione lineare a in un sistema traslazionale, una coppia netta, tipicamente rappresentata dalla lettera greca t, è una forza che causa l’accelerazione angolare a in un sistema rotazionale.

Tuttavia, se più coppie che agiscono su un sistema sono fatte per bilanciarsi a vicenda, allora la coppia netta sarà zero e il sistema sarà in equilibrio.

L’obiettivo di questo video è comprendere le componenti della coppia posizionando i pesi in posizioni diverse su un raggio che ruota liberamente per raggiungere l’equilibrio rotazionale.

Prima di utilizzare i pesi per bilanciare un raggio, rivisitiamo i concetti di coppia ed equilibrio rotazionale. Un buon esempio di coppia è quando si ha una gomma a terra e si deve usare una chiave inglese per allentare un dado prima di poterlo cambiare.

La coppia è definita come il prodotto incrociato della distanza, r, dall’asse di rotazione a cui viene applicata la forza e la forza. Questa distanza è anche chiamata braccio della leva. Si noti che solo la componente perpendicolare della forza, trovata usando il peccato dell’angolo theta tra la forza e il braccio di rotazione, contribuisce alla grandezza della coppia.

È evidente dall’equazione che spostando la forza applicata dal centro della chiave alla fine, si raddoppia il braccio della leva e quindi si raddoppia la coppia utilizzata per allentare il dado. Se il dado non si muove ancora, potrebbe essere necessario capire come aumentare la forza perpendicolare.

Ora considera un altro sistema, in cui un peso di massa m è attaccato a un raggio che può ruotare. Conoscendo la relazione tra accelerazione lineare e angolare e moltiplicando entrambi i lati dell’equazione per r, dà una nuova definizione di coppia. Ora, mr2 non è altro che l’inerzia rotazionale I del sistema e questa equazione della coppia rappresenta l’equivalente rotazionale della seconda legge di Newton, dove una coppia può causare un’accelerazione angolare. Si prega di guardare il video di educazione scientifica di JoVE sull’inerzia rotazionale per ulteriori informazioni su questo argomento.

Ora, se il raggio viene livellato e il peso viene rimosso, non c’è coppia netta sul sistema e quindi anche l’accelerazione angolare deve essere zero. Pertanto, il sistema a riposo non ruoterà e si dice che sia in equilibrio rotazionale. Per ulteriori informazioni su questo concetto, guarda il video sui diagrammi di equilibrio e corpo libero.

L’equilibrio di rotazione può anche essere stabilito posizionando correttamente i pesi sui lati opposti dell’asse di rotazione, in modo che si oppongano ugualmente l’uno all’altro. Convenzionalmente, rispetto all’asse di rotazione, la coppia è positiva per la rotazione in senso antiorario e negativa per la rotazione in senso orario.

Ora che hai capito come la coppia può influenzare un sistema rotazionale, vediamo come applicare queste forze per raggiungere l’equilibrio. Questo esperimento consiste in un raggio con ganci equamente distanziati per attaccare pesi, un girotrattore, una scala di forza e numerosi pesi con masse di 100 g e 200 g.

Inizialmente, due pesi vengono utilizzati per stabilire l’equilibrio rotazionale con un peso di 200 g collegato al primo gancio a destra. Collegare un altro peso di 200 g al primo gancio a sinistra dovrebbe impedire alla trave di ruotare. Rimuovere il peso dal lato sinistro e posizionare un peso di 100 g nella posizione corretta per bilanciare la coppia dal lato destro.

Successivamente, vengono utilizzati tre pesi per bilanciare la coppia a partire da pesi da 100 g sia sul primo che sul terzo gancio a destra. Posizionare correttamente un peso di 200 g sul lato sinistro in modo che la coppia netta sul sistema sia pari a zero. Quindi, rimuovere il peso e utilizzare un peso di 100 g per ristabilire l’equilibrio.

Successivamente, vengono impiegati pesi multipli per bilanciare la trave con un peso di 200 g collegato al quarto gancio a destra. Utilizzando qualsiasi combinazione di pesi da 100 g e 200 g, determinare tre configurazioni sul lato sinistro che possono raggiungere l’equilibrio rotazionale.

Successivamente, con il peso di 200 g ancora collegato al quarto gancio a destra, calcola la forza necessaria per bilanciare la coppia per ciascuno dei ganci a sinistra. Attaccare la scala di forza al primo gancio a sinistra, assicurandosi che sia perpendicolare al raggio e tirarlo verso il basso fino a quando il raggio non è livellato e registra il valore della forza. Ripetere questa procedura per ogni gancio a sinistra.

Infine, con il peso di 200 g ancora attaccato, collegare la scala di forza al terzo gancio a sinistra e livellare la trave. E, usando un proniometro, consenti al raggio di ruotare a destra di 30 gradi. Assicurandosi che la scala di forza sia perpendicolare al raggio, registrare il valore della forza. Aumentate l’angolo di rotazione a 60 gradi e registrate questo valore di forza.

Ciascuno degli esperimenti di fascio bilanciato conferma che una corretta configurazione dei pesi può stabilire l’equilibrio dove la coppia netta è zero. Nessuna coppia netta implica che non si verifichi alcuna accelerazione angolare e quindi il raggio non ruota se rilasciato dal riposo. Questo equilibrio rotazionale è particolarmente evidente con le sei diverse configurazioni di pesi da 100 e 200 g sul lato sinistro, che possono bilanciare il peso di 200 g attaccato al gancio più esterno destro.

Nell’esperimento successivo, la scala di forza ha permesso una misurazione più continua della coppia richiesta per l’equilibrio. Poiché la scala di forza è perpendicolare al raggio, proprio come il peso, la forza FL all’equilibrio potrebbe essere calcolata usando questa formula. E questa tabella mostra la forza calcolata per diversi ganci sul lato sinistro con un peso costante di 200 g sul gancio più esterno sul lato destro.

Quando il fascio viene ruotato dall’orizzontale di un angolo theta, solo una componente del peso gravitazionale, dato da questa formula, contribuisce alla coppia. Di conseguenza, la forza misurata sarà inferiore al valore osservato per il fascio di livello e diminuirà con l’aumentare dell’angolo.

I principi di base della coppia possono essere preziosi quando si cerca di comprendere i sistemi meccanici rotanti e come questo può tradursi in movimento lineare.

Un’altalena dimostra perfettamente la coppia con le persone che generano forza su entrambi i lati del fulcro per creare rotazione. Quando entrambi i gruppi di persone hanno bracci di leva simili, il gruppo più pesante di persone genererà più coppia e l’altro gruppo di persone verrà sollevato. Al contrario, al fine di sollevare l’insieme più pesante di persone, devono ridurre il loro braccio momento scivolando verso il fulcro.

La coppia di un veicolo gioca un ruolo significativo nelle sue prestazioni, come evidente dalla seconda legge di Newton dell’accelerazione angolare. Per i veicoli con la stessa inerzia, una coppia maggiore genera una maggiore accelerazione angolare, che è direttamente proporzionale all’accelerazione lineare del veicolo. Allo stesso modo, se due veicoli hanno la stessa accelerazione, una coppia maggiore consentirebbe a una maggiore inerzia e quindi consentirebbe a un veicolo di trainare un carico enorme.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE a Torque. Ora dovresti capire i principi della coppia e come può essere utilizzata per stabilire l’equilibrio rotazionale o generare un’accelerazione angolare. Grazie per l’attenzione!

Results

Passaggio 1.2: collegare un peso di 100 g al secondo foro a sinistra.

Passaggio 2.2: collegare il peso di 200 g al secondo foro a sinistra.

Passo 2.3: Collegare il peso di 100 g al quarto foro a sinistra.

Passo 3.2: Ci sono sei modi diversi:

1) 200 g –^{4° buca}

2) 200 g –^1° foro, 200 g –^3° foro

3) 100 g –^2° foro, 200 g –^3° foro

4) 100 g –^1° foro, 200 g –^2° foro, 100 g –^3° foro

5) 200 g –^2° buca, 100 g –^{4° buca}

6) 100 g –^1° foro, 100 g –^3° foro, 100 g –^4° foro

Tabella 1. Risultati per i passaggi 3.3 e 3.4.

Uncino #	Forza (N)	Forza a 30° (N)	Forza a 60° (N)
1	8	–	–
2	4	–	–
3	2.7	2.3	1.3
4	2	–	–

Questi risultati confermano le previsioni fatte dall’equazione 1. Ogni peso collegato al raggio fornisce una coppia sul sistema. Mentre i pesi su un lato causano una coppia in una direzione, i pesi sull’altro lato causano una coppia nella direzione opposta. Secondo l’equazione 2, quando la somma delle coppie sul raggio è uguale a zero, il raggio non ruoterà quando viene rilasciato dal riposo. In ogni parte dell’esperimento, quando il fascio è in equilibrio, le coppie devono sommarsi fino a zero.

Applications and Summary

Come accennato in precedenza, una semplice applicazione della coppia è l’utilizzo di una chiave inglese per stringere un bullone. La cosa importante da ricordare è che la coppia ha due componenti. Se è difficile stringere un bullone con la chiave in mano, un lavoratore ha due opzioni. Può applicare più forza o semplicemente ottenere una chiave più lunga. Di solito, quest’ultima è la scelta più facile.

Quando un’auto commerciale cita un certo valore di coppia, è una buona idea prestare attenzione. Come si può vedere dall’equazione, la coppia è ciò che fa accelerare le ruote di un’auto. Più coppia, più accelerazione.

Un’altalena nel parco giochi è una perfetta applicazione della coppia. Il raggio ruota attorno al fulcro e la coppia è fornita dalle persone sedute su entrambe le estremità. Se una persona ha più massa, la coppia su quel lato sarà più grande e la persona dall’altra parte sarà sollevata. Per far cadere quella persona, la persona a terra fornisce una coppia spingendo verso l’alto con le gambe per contrastare la forza del suo peso e viene a sua volta sollevato.

In questo esperimento, sono stati esaminati i due componenti principali della coppia. La coppia è il prodotto di una forza e della distanza tra la forza e un asse di rotazione. Posizionando pesi diversi in posizioni diverse su una trave rotante, sono state create quantità variabili di coppia. Il peso più pesante corrispondeva a una forza maggiore e quindi a una coppia maggiore. Posizionando i pesi più lontano dall’asse di rotazione si creava un braccio di leva più grande, che risultava in una coppia maggiore rispetto a se lo stesso peso fosse stato posizionato più vicino all’asse di rotazione. Quando la coppia totale sul fascio era uguale a zero, il sistema era in equilibrio.

Transcript

Torque is the underlying force that governs rotation and is useful for describing the operation of both simple and complex machines.

Much like how a net force causes linear acceleration a in a translational system, a net torque, typically represented by the Greek letter t, is a force that causes angular acceleration a in a rotational system.

However, if multiple torques acting on a system are made to balance one another, then the net torque will be zero, and the system will be in equilibrium.

The goal of this video is to understand the components of torque by placing weights at different positions on a freely rotating beam to achieve rotational equilibrium.

Before using weights to balance a beam, let’s revisit the concepts of torque and rotational equilibrium. A good example of torque is when you have a flat tire and have to use a wrench to loosen a nut before you can change it.

Torque is defined as the cross product of the distance, r, from the axis of rotation at which the force is applied and the force. This distance is also called the lever arm. Note that only the perpendicular component of the force, found using the sin of the angle theta between the force and the rotation arm, contributes to the magnitude of the torque.

It is evident from the equation that by moving the applied force from the middle of the wrench to the end, you double the lever arm and thus double the torque being used to loosen the nut. If the nut still won’t budge, you might need to figure out how to increase the perpendicular force.

Now consider another system, where a weight of mass m is attached to a beam that can rotate. Knowing the relationship between linear and angular acceleration, and multiplying both sides of the equation by r, gives a new definition for torque. Now, mr2 is nothing but the system’s rotational inertia I and this equation of torque represents the rotational equivalent of Newton’s second law, where a torque can cause angular acceleration. Please watch JoVE’s Science Education video on Rotational Inertia for further information on this subject.

Now, if the beam is leveled and the weight is removed, there is no net torque on the system and so the angular acceleration must also be zero. Therefore, the system at rest will not rotate and is said to be in rotational equilibrium. For more information on this concept, please watch the video on Equilibrium and Free-Body Diagrams.

Rotation equilibrium can also be established by properly positioning weights on opposite sides of the axis of rotation, so that they equally oppose one another. Conventionally, with respect to the axis of rotation, torque is positive for counter-clockwise rotation and negative for clockwise rotation.

Now that you understand how torque can affect a rotational system, let’s see how to apply these forces to achieve equilibrium. This experiment consists of a beam with equally spaced hooks for attaching weights, a protractor, a force scale, and numerous weights with 100 g and 200 g masses.

Initially, two weights are used to establish rotational equilibrium with a 200 g weight connected to the first hook on the right. Connecting another 200 g weight to the first hook on the left should prevent the beam from rotating. Remove the weight from the left side and place a 100 g weight in the proper position to balance the torque from the right side.

Next, three weights are used to balance the torque starting with 100 g weights on both the first and third hooks on the right. Properly position a 200 g weight on the left side so that the net torque on the system is zero. Next, remove the weight and use a 100 g weight to re-establish equilibrium.

Subsequently, multiple weights are employed to balance the beam with a 200 g weight connected to the fourth hook on the right. Using any combination of 100 g and 200 g weights, determine three configurations on the left-hand side that can achieve rotational equilibrium.

Next, with the 200 g weight still connected to the fourth hook on the right, calculate the force required to balance the torque for each of the hooks on the left. Attach the force scale to the first hook on the left, making sure it is perpendicular to the beam, and pull it down until the beam is level and record force value. Repeat this procedure for each hook on the left.

Lastly, with the 200 g weight still attached, connect the force scale to the third hook on the left and level the beam. And, using a protractor, allow the beam to rotate to the right by 30 degrees. Making sure the force scale is perpendicular to the beam, record the force value. Increase the rotation angle to 60 degrees and record this force value.

Each of the balanced beam experiments confirms that a proper configuration of weights can establish equilibrium where the net torque is zero. No net torque implies that no angular acceleration occurs and therefore the beam does not rotate if released from rest. This rotational equilibrium is particularly evident with the six different configurations of 100 and 200 g weights on the left side, which can balance the 200 g weight attached to the right outermost hook.

In the next experiment, the force scale allowed for a more continuous measurement of the torque required for equilibrium. Since the force scale is perpendicular to the beam, just like the weight, the force FL at equilibrium could be calculated using this formula. And this table shows the calculated force for different hooks on the left side with a constant 200g weight on the outmost hook on the right side.

When the beam is rotated from the horizontal by an angle theta, only a component of the gravitational weight, given by this formula, is contributing to the torque. Consequently, the measured force will be less than the value observed for the level beam and will decrease with increasing angle.

The basic principles of torque can be invaluable when trying to understand rotating mechanical systems and how this can translate to linear motion.

A seesaw perfectly demonstrates torque with people generating force on either side of the fulcrum to create rotation. When both sets of people have similar lever arms, the heavier set of people will generate more torque and the other set of people will be lifted up. Conversely, in order to raise the heavier set of people up, they must reduce their moment arm by sliding toward the fulcrum.

A vehicle’s torque plays a significant role in its performance, as evident from Newton’s second law of angular acceleration. For vehicles with the same inertia, greater torque generates greater angular acceleration, which is directly proportional to the vehicle’s linear acceleration. Similarly, if two vehicles have the same acceleration, increased torque would accommodate more inertia and therefore allow a vehicle to tow a massive load.

You’ve just watched JoVE’s introduction to Torque. You should now understand the principles of torque and how it can be used to establish rotational equilibrium or generate angular acceleration. Thanks for watching!

Tags

Valore vuoto Problema