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Momento angolare

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Physics I

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JoVE Science Education Physics I

Angular Momentum

1.9: Equilibrium and Free-body Diagrams

1.13: Energy and Work

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09:33 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

Il momento angolare è definito come il prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare dell’oggetto. Come il suo analogo lineare, il momento angolare è conservato, il che significa che il momento angolare totale di un sistema non cambierà se non ci sono coppie esterne sul sistema. Una coppia è l’equivalente rotazionale di una forza. Poiché è un momento angolare conservato, è una quantità importante in fisica.

L’obiettivo di questo esperimento è misurare il momento angolare di un’asta rotante e utilizzare la conservazione del momento angolare per spiegare due dimostrazioni rotazionali.

Principles

Il momento angolare può essere scritto come:

, (Equazione 1)

dove è il momento di inerzia e è la velocità angolare. Il momento di inerzia è l’analogo rotazionale della massa per il moto lineare. È correlato alla distribuzione di massa di un oggetto rotante e all’asse di rotazione. Maggiore è il momento di inerzia, maggiore è la coppia necessaria per causare un’accelerazione angolare su un oggetto. La regola della mano destra può essere utilizzata per determinare la direzione del momento angolare. Quando le dita della mano destra si arricciano nella direzione di rotazione, il pollice esteso punta nella direzione del momento angolare.

Una coppia è definita come il prodotto di una forza applicata a una certa distanza da un asse di rotazione:

, (Equazione 2)

dove è la distanza dall’asse di rotazione e è la forza applicata. Se una coppia agisce su un oggetto, la velocità angolare di quell’oggetto cambierà, insieme al suo momento angolare. Se la somma delle coppie su un oggetto è uguale a zero, il momento angolare totale sarà conservato e avrà lo stesso valore finale di inizialmente.

Un divertente esempio di conservazione del momento angolare può essere dimostrato con una ruota da bici e una sedia rotante. La ruota e la persona sulla sedia costituiscono un sistema con un certo momento angolare. Se la persona applica una coppia per far girare la ruota, con l’asse che punta verticalmente, il sistema avrà guadagnato momento angolare. Se poi la persona capovolge la ruota che gira, inizierà a girare sulla sua sedia nella direzione opposta alla ruota che gira. Qui, il sistema aveva un momento angolare, con la sua direzione determinata dalla regola della mano destra. Quando la ruota è stata capovolta, il momento angolare del sistema ha cambiato direzione. A causa della conservazione, la sedia ha iniziato a ruotare nella direzione opposta in modo che il momento angolare totale del sistema fosse uguale a quello del sistema prima che la ruota fosse capovolta.

Un’altra dimostrazione della conservazione del momento angolare può essere fatta con una sedia rotante e due pesi. Se i pesi sono tenuti a distanza di braccio mentre la sedia sta girando e poi vengono portati vicino al petto, ci sarà un aumento della velocità angolare. Questo accade perché avvicinando i pesi all’asse di rotazione diminuisce il momento di inerzia del sistema. Se non c’è più forza che agisce per far girare la sedia, allora la coppia sul sistema è zero. Il momento angolare deve rimanere costante, poiché non ci sono coppie, e l’unico modo per farlo è che la velocità angolare aumenti.

In questo esperimento, un’asta rotante è collegata a un peso che cade. Il peso in caduta fornirà una coppia sull’asta e il momento angolare sarà misurato in due punti: prima quando il peso è sceso a metà strada e poi di nuovo una volta che il peso raggiunge la fine della corda. Vedere la Figura 1 per un’immagine della configurazione sperimentale.

Il momento di inerzia di una canna da spinning è , dove è la massa dell’asta e è la lunghezza. Queste quantità possono essere misurate prima che l’esperimento abbia luogo. Per trovare la velocità angolare, verranno utilizzate le equazioni cinematiche rotazionali:

. (Equazione 3)

L’equazione 3 afferma che la velocità angolare finale è uguale alla velocità angolare iniziale più l’accelerazione angolare , moltiplicata per il tempo. Perché l’asta inizierà a riposo, sarà uguale a zero. L’accelerazione angolare è definita da , dove è la coppia e è il momento di inerzia. La coppia è il prodotto incrociato della distanza dall’asse di rotazione alla forza e della forza del peso che causa una tensione nella corda, che fa ruotare l’asta: . Quella forza che agisce sulla puleggia è uguale alla forza sul peso: , dove è la massa e è l’accelerazione dovuta alla gravità. Il raggio della coppia sarà la distanza dalla corda avvolta all’asse di rotazione.

Figura 1. Configurazione sperimentale. Inserto: 1) supporto ad anello grande, 2) estensore, 3) assemblaggio rotante, 4) peso e 5) barra di coppia.

Procedure

1. Testare la teoria della conservazione del momento angolare con la ruota della bici.

Mentre sei seduto su una sedia che può ruotare liberamente, inizia a far girare la ruota della bici e poi tienila per le maniglie in modo che la sua direzione del momento angolare sia verticale.
Mentre si tiene la ruota per le due maniglie, capovolgere la ruota in modo che il suo momento angolare punti nella direzione opposta. Nota come la sedia inizierà a ruotare.

2. Testare la teoria della conservazione del momento angolare con due pesi.

Mentre sei seduto su una sedia che può ruotare liberamente, tieni due pesi a distanza di braccio.
Fai girare la sedia a un partner e poi porta i pesi vicino al petto. Si noti l’aumento della velocità di rotazione della sedia.

3. Misurare il cambiamento del momento angolare nella canna da spinning.

Misura la lunghezza dell’asta e la sua massa. Usando un metro stick, misurare il punto intermedio del peso in caduta e contrassegnare il raggio verticale con del nastro adesivo per avere un riferimento. Calcola il momento di inerzia dell’asta.
Aggiungere 200 g alla fine della corda e avvolgerla verso l’alto. Prendi nota di dove si trova il punto intermedio della stringa.
Rilascia il peso e misura la quantità di tempo necessaria per arrivare a metà strada e poi di nuovo in fondo. Fallo tre volte e prendi i valori medi. Calcola il momento angolare in entrambi i punti.
Aumentare il peso alla fine della corda a 500 g e ripetere il passaggio 3.3.
Aumentare il peso a 1.000 g e ripetere il passaggio 3.3.

Una massa rotante ha la proprietà del momento angolare e la conservazione del momento angolare è fondamentale per risolvere i problemi nella dinamica rotazionale.

Come spiegato in un altro video di questa raccolta, il momento lineare di un oggetto non cambia, cioè Δp è zero fino a quando non viene applicata una forza esterna netta.

Lo stesso principio di conservazione si applica al momento angolare, indicato dalla lettera L. Quindi ΔL è anche zero fino a quando non viene applicata una coppia esterna netta.

Qui, spiegheremo prima il concetto di momento angolare e mostreremo come viene conservato usando diversi esempi. Quindi il video dimostrerà un esperimento di laboratorio che coinvolge la misurazione del momento angolare per una canna da spinning.

Per comprendere il momento angolare, consideriamo una palla attaccata alla corda che subisce un movimento rotozionale attorno a un asse. La grandezza del momento angolare di questa palla‘L’ è r – il raggio del cerchio – volte p, che è il momento traslazionale. Ora p è massa volte velocità, dove velocità è la velocità tangenziale. La velocità tangenziale è la velocità angolare ‘ω’ volte r. La direzione del momento angolare è data dalla regola della mano destra. Se si arricciano le dita della mano destra nella direzione di rotazione, il pollice esteso punta nella direzione del momento angolare del sistema.

Sulla base di questa formula e del principio di conservazione del momento angolare, possiamo prevedere che in assenza di coppia esterna netta, se r è ridotto ω aumenterebbe, e se r è aumentato ω diminuirebbe.

Questo principio di conservazione del momento angolare è evidente nel pattinaggio artistico. Con le braccia fuori il pattinatore ruota a una velocità, ma non appena portano le braccia dentro, la velocità di rotazione aumenta in modo significativo.

Ora che abbiamo rivisto il principio della conservazione del momento angolare, vediamolo in azione in un laboratorio di fisica. Per la prima dimostrazione, siediti su una sedia che può ruotare liberamente e tenere due pesi a distanza di braccio. Chiedi a un’altra persona di far girare la sedia. Durante la rotazione, avvicina i pesi al petto e nota come aumenta la velocità di rotazione della sedia.

Come con il pattinatore su ghiaccio che gira, quando i pesi sono tenuti lontani dal corpo, la persona sulla sedia ha un alto momento di inerzia a causa di una rrelativamente più grande . Portare i pesi vicino al corpo riduce il momento di inerzia del sistema, e quindi a causa della conservazione del momento angolare, la velocità di rotazione aumenta.

Per la seconda dimostrazione, siediti di nuovo su una sedia che può ruotare liberamente e tenere una ruota di bicicletta per le maniglie in modo che il suo asse sia verticale. Quindi ruotare la ruota in senso antiorario, mantenendo la sedia ferma. Secondo la regola di destra, la direzione del vettore del momento angolare della ruota è verticale, puntando verso l’alto.

Capovolgere la ruota in modo che giri in senso orario quando l’asse è di nuovo verticale. Ora il suo momento angolare punta verso il basso. Nota come la sedia gira in risposta.

La ruota della bicicletta, la persona che la tiene e la sedia compongono un sistema di oggetti multipli. Quando la ruota da sola gira, questo sistema ha un certo momento angolare totale. Sebbene la persona che tiene la ruota applichi una coppia per capovolgerla, questa coppia ha origine all’interno del sistema e la coppia esterna netta è zero.

Senza coppia esterna applicata, il momento angolare viene conservato, il che significa che non cambia. Capovolgendo la ruota si inverte la direzione del suo momento angolare. Per mantenere conservata la quantità totale di momento angolare nel sistema, la persona e la sedia devono ruotare, in modo che il loro vettore di momento angolare combinato si opponga a quello della ruota.

Di conseguenza, il momento angolare totale della persona, della sedia e della ruota capovolta deve avere la stessa grandezza ed essere nella stessa direzione del momento angolare della ruota nella sua posizione originale.

Successivamente, vediamo un esperimento che coinvolge la misurazione del momento angolare di una canna da spinning. Per questo, un peso in caduta tira una corda avvolta attorno a un asse. L’entità della coppia risultante è la tensione nella corda per il raggio dell’asse. Questa coppia fa girare l’asse, causando l’accelerazione rotazionale dell’asta ad esso collegata. Il momento di inerzia dell’asta può essere calcolato dalla sua massa M e lunghezza L.

L’accelerazione angolare della canna da spinning è uguale a questa coppia divisa per il momento di inerzia dell’asta. Con queste informazioni, è possibile calcolare la velocità angolare in qualsiasi momento dalle equazioni per la cinematica rotazionale.

Infine, utilizzando il momento di inerzia e la velocità angolare dell’asta, il momento angolare della canna da spinning sarà determinato in due punti: quando il peso è sceso a metà strada e quando ha raggiunto la fine del suo viaggio.

Prima di iniziare l’esperimento, misurare la lunghezza e la massa dell’asta, quindi calcolare il suo momento di inerzia. Utilizzare un metro stick per determinare il punto intermedio della corsa verso il basso del peso. Segna questo punto con del nastro adesivo sul raggio verticale. Attaccare 200 grammi all’estremità della corda e avvolgerla fino a quando il peso raggiunge la parte superiore.

Rilascia il peso e misura la quantità di tempo per raggiungere il punto a metà strada e la quantità di tempo per raggiungere il fondo. Registrare i risultati. Esegui questa calcolo tre volte e utilizza i valori medi per calcolare il momento angolare in entrambi i punti.

Aumentare il peso sulla corda a 500 grammi. Eseguire la procedura quattro volte e registrare i risultati. Quindi aumentare il peso a 1000 grammi, ripetere la procedura e registrare i risultati.

All’aumentare della massa del peso in caduta, la coppia e l’accelerazione angolare sull’asse dell’asta di rotazione dovrebbero aumentare proporzionalmente. Teoricamente, in un dato momento sia la velocità angolare che il momento angolare dovrebbero aumentare proporzionalmente con questa coppia.

A qualsiasi distanza caduta del peso, il momento angolare della canna da spinning avrebbe dovuto essere proporzionale alla radice quadrata della massa del peso. L’esperimento ha dimostrato che i momenti angolari con il peso di 500 grammi erano effettivamente circa 1,6 o la radice quadrata di 5/2 volte quelli del peso di 200 grammi. Allo stesso modo, i momenti con il peso di 1000 grammi erano circa 1,4 – o la radice quadrata di 2 volte quelli del peso di 500 grammi.

Inoltre, per un dato peso la coppia e l’accelerazione angolare devono essere costanti. In questa condizione, la velocità angolare della canna da spinning dovrebbe aumentare proporzionalmente con la radice quadrata della distanza in cui cade il peso. La distanza finale era il doppio della distanza nel punto di metà strada, quindi il momento angolare finale era 1,4 o la radice quadrata di 2 volte il momento angolare a metà strada.

I risultati di questo esperimento concordano con la teoria e confermano la relazione tra coppia e momento angolare.

Il momento angolare è una proprietà importante degli oggetti rotanti e i suoi effetti sono al centro di molti dispositivi meccanici e attività quotidiane.

Avrai notato che è più facile bilanciare su una bici quando è in movimento. La ragione di ciò è il momento angolare. Quando le ruote sono in movimento, avranno una certa quantità di momento angolare con direzione perpendicolare al telaio. Maggiore è il momento angolare, maggiore è la coppia necessaria per cambiare la quantità di moto, e quindi è più difficile ribaltare la moto.

Un altro sistema che utilizza la conservazione del momento angolare sono gli elicotteri con due rotori. Qui il rotore anteriore ruota le pale in senso orario e il rotore di coda ruota le pale in senso antiorario. Queste rotazioni si traducono in due momenti angolari opposti, che si annullano a vicenda … con conseguente conservazione del momento angolare per l’intero sistema. E questo è ciò che impedisce all’elicottero di girare fuori controllo.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE al momento angolare. Ora dovresti capire cos’è il momento angolare, come è conservato in vari sistemi e come influisce sul comportamento degli oggetti rotanti. Come sempre, grazie per aver guardato!

Results

Un sacco g)	Momento angolare a metà strada (kg m²)/s	Momento angolare in basso (kg m²)/s	Differenza (kg m²)/s
200	0.41	0.58	0.17
500	0.66	0.91	0.25
1,000	0.93	1.32	0.39

Nel primo passaggio, è stata confermata la teoria della conservazione del momento angolare, poiché la sedia ha iniziato a ruotare quando la ruota è stata capovolta. Nella seconda fase, la teoria della conservazione del momento angolare è stata nuovamente confermata, poiché la sedia ha iniziato a girare più velocemente quando i pesi sono stati portati e il momento di inerzia del sistema è stato ridotto. Nella terza fase del laboratorio, l’aumento della coppia sull’asta di filatura ha aumentato il momento angolare. Con tutte le altre quantità costanti, il momento angolare aumentava linearmente con il tempo.

Applications and Summary

Proprio come nella parte della sedia rotante del laboratorio, cambiare il momento di inerzia di un oggetto può aumentare o diminuire la velocità angolare di quell’oggetto. I pattinatori di figura ne approfittano e a volte iniziano a girare con le braccia tese e poi portano le braccia vicino ai loro corpi, il che li farà girare molto più velocemente.

Perché è più facile stare in equilibrio su una bici quando è in movimento? La risposta è il momento angolare. Quando le ruote non girano, è facile che la bici cada. Una volta che le ruote sono in movimento, avranno una certa quantità di momento angolare. Più grande è il momento angolare, maggiore è la coppia necessaria per cambiarlo, quindi è più difficile ribaltare la moto.

Se un quarterback che gioca a calcio lancia senza mettere alcun giro sulla palla, il suo volo sarà traballante e potrebbe mancare il suo bersaglio. Per evitare questo, i quarterback usano le dita per far girare il pallone quando lo lanciano. Quando la palla ruota mentre vola attraverso l’aria, ha un momento angolare, che richiede la coppia per cambiare la direzione del momento angolare. La palla non oscillerà o girerà in aria.

In questo esperimento, il concetto di conservazione della quantità di moto è stato testato in due dimostrazioni. In uno, la direzione del momento angolare è stata conservata, e nell’altro, la magnitudine è stata conservata. Nell’ultima parte dell’esperimento, è stato misurato l’effetto di una coppia sul momento angolare.

Transcript

A spinning mass has the property of angular momentum and conservation of angular momentum is central to solving problems in rotational dynamics.

As explained in another video of this collection, an object’s linear momentum does not change, that is Δp is zero until a net external force is applied.

The same conservation principle applies to angular momentum, denoted by the letter L. So ΔL is also zero until a net external torque is applied.

Here, we will first explain the concept of angular momentum and show how it is conserved using different examples. Then the video will demonstrate a lab experiment involving measurement of angular momentum for a spinning rod.

To understand angular momentum, let’s consider a ball attached to string undergoing a rotational motion about an axis. The magnitude of angular momentum of this ball ‘L’ is r – the radius of the circle – times p, which is the translational momentum. Now p is mass times velocity, where velocity is the tangential velocity. The tangential velocity is the angular velocity ‘ω’ times r. The direction of angular momentum is given by the right-hand rule. If you curl the fingers of the right hand in the direction of rotation, then the extended thumb points in the direction of the angular momentum of the system.

Based on this formula and the principle of angular momentum conservation, we can predict that in the absence of net external torque, if r is reduced ω would increase, and if r is increased ω would decrease.

This principle of angular momentum conservation is evident in figure skating. With the arms out the skater rotates at one speed, but as soon as they bring their arms in, the rotation speed increases significantly.

Now that we have reviewed the principle of angular momentum conservation, let’s see it in action in a physics lab. For the first demonstration, sit in a chair that can rotate freely and hold two weights out at arm’s length. Ask another person to spin the chair. While spinning, bring the weights close to the chest and notice how the chair’s speed of rotation increases.

As with the spinning ice skater, when the weights are held far from the body, the person on the chair has a high moment of inertia due to a relatively bigger r. Bringing the weights close to the body reduces the system’s moment of inertia, and thus due to conservation of angular momentum, the speed of rotation increases.

For the second demonstration, again sit in a chair that can rotate freely and hold a bicycle wheel by the handles so its axis is vertical. Then spin the wheel counterclockwise, keeping the chair stationary. By the right-hand rule, the direction of the wheel’s angular momentum vector is vertical, pointing up.

Flip the wheel so it is spinning clockwise when the axis is vertical again. Now its angular momentum points down. Notice how the chair spins in response.

The bicycle wheel, the person holding it and the chair make up a system of multiple objects. When the wheel alone is spinning, this system has a certain total angular momentum. Although the person holding the wheel applies a torque to flip it over, this torque originates within the system and the net external torque is zero.

With no external applied torque, angular momentum is conserved, meaning it does not change. Flipping the wheel reverses the direction of its angular momentum. In order to keep the total amount of angular momentum in the system conserved, the person and chair must spin, so that their combined angular momentum vector opposes that of the wheel.

As a result, the total angular momentum of the person, chair and flipped wheel must have the same magnitude and be in the same direction as the angular momentum of the wheel in its original position.

Next, let’s see an experiment involving measurement of angular momentum of a spinning rod. For this, a falling weight pulls a string wound around an axle. The magnitude of the resulting torque is the tension in the string times the radius of the axle. This torque spins the axle, causing rotational acceleration of the rod attached to it. The rod’s moment of inertia can be calculated from its mass M and length L.

The spinning rod’s angular acceleration is equal to this torque divided by the rod’s moment of inertia. With this information, it is possible to calculate angular velocity at any time from the equations for rotational kinematics.

Finally, using the rod’s moment of inertia and angular velocity, the spinning rod’s angular momentum will be determined at two points: when the weight has fallen halfway and when it has reached the end of its travel.

Before starting the experiment, measure the rod’s length and mass then calculate its moment of inertia. Use a meter stick to determine the halfway point of the weight’s downward travel. Mark this point with tape on the vertical beam. Attach 200 grams to the end of the string and wind it until the weight reaches the top.

Release the weight and measure the amount of time to reach the halfway point and the amount of time to reach the bottom. Record the results. Do this three times and use the average values to calculate the angular momentum at both points.

Increase the weight on the string to 500 grams. Perform the procedure four times and record the results. Then increase the weight to 1000 grams, repeat the procedure and record the results.

As the mass of the falling weight increases, the torque and angular acceleration on the axle of the spinning rod should increase proportionally. Theoretically, at any given time both the angular velocity and angular momentum should increase proportionally with this torque.

At any given distance that the weight had fallen, the angular momentum of the spinning rod should have been proportional to the square root of the weight’s mass. The experiment showed that the angular momenta with the 500 gram weight were indeed approximately 1.6-or the square root of 5/2-times those of the 200 gram weight. Similarly, the momenta with the 1000 gram weight were approximately 1.4 -or the square root of 2-times those of the 500 gram weight.

Furthermore, for a given weight the torque and angular acceleration should be constant. Under this condition, the spinning rod’s angular velocity should increase proportionally with the square root of the distance the weight falls. The final distance was double the distance at the half-way point, so the final angular momentum was 1.4-or the square root of 2-times the angular momentum at the halfway point.

The results from this experiment agree with theory and confirm the relationship between torque and angular momentum.

Angular momentum is an important property of rotating objects and its effects are at the core of many mechanical devices and day-to-day activities.

You must have noticed that it is easier to balance on a bike when it is in motion. The reason for that is angular momentum. When the wheels are in motion, they will have some amount of angular momentum with direction perpendicular to the frame. The larger the angular momentum the larger is the torque required to change the momentum, and therefore it is harder to tip the bike over.

Another system that uses conservation of angular momentum is helicopters with two rotors. Here the front rotor rotates the blades in a clockwise direction and the tail rotor rotates the blades in counter-clockwise direction. These rotations result in two opposing angular momenta, which cancel each other out…resulting in angular momentum conservation for the entire system. And this is what prevents the helicopter from spinning out of control.

You’ve just watched JoVE’s introduction to angular momentum. You should now understand what angular momentum is, how it is conserved in various systems, and how it affects the behavior of rotating objects. As always, thanks for watching!

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Angular Momentum Conservation Of Angular Momentum Rotational Dynamics Linear Momentum Net External Force Net External Torque Spinning Mass Rotational Motion Radius Translational Momentum Tangential Velocity Angular Velocity Right-hand Rule