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Diagrammi di equilibrio e corpo libero

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Physics I

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Equilibrium and Free-body Diagrams

1.2: Force and Acceleration

1.13: Energy and Work

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09:05 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

L’equilibrio è un caso speciale in meccanica che è molto importante nella vita di tutti i giorni. Si verifica quando la forza netta e la coppia netta su un oggetto o un sistema sono entrambe pari a zero. Ciò significa che sia le accelerazioni lineari che quelle angolari sono zero. Quindi, l’oggetto è a riposo, o il suo centro di massa si muove a velocità costante. Tuttavia, questo non significa che nessuna forza agisca sugli oggetti all’interno del sistema. In effetti, ci sono pochissimi scenari sulla Terra in cui nessuna forza agisce su un dato oggetto. Se una persona attraversa un ponte, esercita una forza verso il basso sul ponte proporzionale alla sua massa, e il ponte esercita una forza verso l’alto uguale e opposta sulla persona. In alcuni casi, il ponte può flettersi in risposta alla forza verso il basso della persona, e in casi estremi, quando le forze sono abbastanza grandi, il ponte può diventare gravemente deformato o addirittura fratturarsi. Lo studio di questa flessione di oggetti in equilibrio si chiama elasticità e diventa estremamente importante quando gli ingegneri progettano edifici e strutture che usiamo ogni giorno.

Principles

I requisiti per un sistema per ottenere l’equilibrio sono semplici da annotare. In equilibrio, la somma delle forze e la somma delle coppie sono zero:

Σ F = 0 (Equazione 1)

e

Σ τ = 0. (Equazione 2)

La coppia τ è una forza angolare, definita come il prodotto incrociato della lunghezza del braccio della leva da cui la forza viene applicata all’asse di rotazione. Tale distanza è indicata come r:

τ = r x F, (Equazione 3)

= r F sin(θ)

dove θ è l’angolo al quale la forza viene applicata al braccio della leva. Per le forze perpendicolari rispetto al braccio della leva, l’equazione 3 diventa semplicemente τ = r · F.

Queste equazioni sono abbastanza semplici da scrivere, ma man mano che il sistema in questione diventa più complesso, sono coinvolte più forze e coppie, e trovare la configurazione ottimale che soddisfi l’equilibrio può diventare piuttosto difficile. L’approccio generale per risolvere l’equazione 1 è quello di scomporre le forze nelle direzioni x, y e z equindi di risolvere l’equazione 1 per ciascuna delle tre direzioni(ad esempio,Σ F_x = Σ F_y = Σ F_z = 0). In situazioni in cui c’è solo movimento nel piano xy,la coppia viene calcolata su un asse perpendicolare a quel piano. Questo asse viene scelto arbitrariamente per semplificare i calcoli; se tutti gli oggetti nel sistema sono a riposo, l’equazione 2 rimarrà vera su qualsiasi asse. In tre dimensioni, l’asse di rotazione viene nuovamente scelto in modo tale che i calcoli siano i più semplici, il che dipende dalla configurazione del sistema. Ad esempio, la scelta dell’asse di rotazione in modo che una delle forze sconosciute agisca attraverso quell’asse si tradurrà in un braccio a leva zero e non produrrà coppia (vedi Equazione 3), facendo apparire un termine in meno nell’equazione della coppia. Non esiste un’unica tecnica per risolvere i problemi di equilibrio, ma la scelta di comodi sistemi di coordinate può semplificare notevolmente il processo di risoluzione delle equazioni 1 e 2.

Quando gli oggetti nel sistema subiscono forze di equilibrio, alcuni di essi si comprimono o si espandono, a seconda del loro materiale e della configurazione all’interno del sistema. Ad esempio, quando una forza viene esercitata su un’asta o una molla, la sua lunghezza si espanderà proporzionalmente alla forza, data dalla legge di Hooke:

F = k ΔL, (Equazione 4)

dove ΔL è la lunghezza dell’espansione e k è una costante di proporzionalità chiamata “costante di molla”.

Procedure

1. Osservare l’equilibrio in un sistema statico e verificare che la somma delle forze e delle coppie sia zero. Confermare le costanti di molla k utilizzate nel sistema.

Ottenere un metro a bastone, due bilance a molla con costanti di molla note, due supporti per sospendere le molle da, due pesi di masse diverse e un meccanismo per sospendere i pesi dal bastone del metro.
Fissare i due supporti al tavolo, a 1 m di distanza.
Attaccare le molle ai supporti.
Attaccare la molla a ciascuna estremità del bastone del misuratore.
Attaccare il primo peso al centro del bastone del misuratore.
Calcolare sia la forza che la coppia esercitate dal peso sulla levetta del misuratore e registrarle nella Tabella 1.
Registrare la forza esercitata su ciascuna delle molle nella Tabella 1.
Spostare il peso a sinistra di 0,2 m e ripetere i passaggi 1,6-1,7.
Sposta il peso a sinistra di ulteriori 0,2 m, quindi lo spostamento totale dal centro della levetta del misuratore è di 0,4 m. In altre parole, la lunghezza del braccio del momento per la molla a sinistra è di 0,1 m e la lunghezza del braccio del momento per la molla a destra è di 0,9 m.
Ripetere i passaggi 1,5-1,9 per l’altro peso.
Calcola la differenza percentuale delle forze calcolate sulle molle sinistra e destra, F_L e F_R, rispetto alle forze corrispondenti lette dalle scale a molla.

L’equilibrio è un caso speciale nella meccanica classica ma è onnipresente nella vita di tutti i giorni, mentre i diagrammi a corpo libero aiutano a decifrare le forze sottostanti presenti.

Un sistema è in equilibrio traslazionale se le forze che agiscono su di esso sono bilanciate, cioè la forza netta è zero. L’equilibrio può anche essere stabilito in un sistema rotazionale se la coppia netta, t, è zero.

Oltre a questi casi di equilibrio statico in cui i sistemi sono a riposo, l’equilibrio dinamico implica che un sistema si muove ma non sperimenta alcuna accelerazione lineare a o accelerazione angolare, a.

Ora, anche se un sistema è in equilibrio, una moltitudine di forze o coppie individuali possono agire su di esso, e diagrammi a corpo libero – composti da forme e frecce semplici – sono spesso implementati al fine di concettualizzare queste forze e / o coppie che agiscono su un sistema.

L’obiettivo di questo esperimento è comprendere l’equilibrio di un sistema composto da più componenti sotto l’influenza di varie forze.

Prima di analizzare questo complesso sistema, rivisitiamo i concetti di equilibrio e diagrammi a corpo libero. Come accennato in precedenza, l’equilibrio si verifica in un sistema traslazionale, come una molla caricata, quando la forza di ripristino bilancia il peso gravitazionale. In un sistema rotazionale, ad esempio quando i pesi sono attaccati a una trave che ruota liberamente, l’equilibrio viene stabilito quando le coppie si bilanciano a vicenda. Si noti che, rispetto all’asse di rotazione, la coppia è positiva per la rotazione in senso antiorario e negativa per la rotazione in senso orario.

In questi casi, le forze nette o le coppie sono uguali a zero e quindi non esiste un’accelerazione lineare o angolare. Secondo la Prima Legge di Newton, poiché questi sistemi sono in equilibrio statico, devono rimanere a riposo.

Nonostante l’assenza di una forza netta o di una coppia, forze multiple agiscono sugli oggetti all’interno di questi sistemi. I diagrammi a corpo libero, o diagrammi di forza, sono spesso disegnati per comprendere le forze e le coppie che agiscono sui sistemi in equilibrio.

Ogni forza o coppia che contribuisce è rappresentata da una freccia la cui dimensione e direzione descrive completamente il vettore in questione. Attraverso l’addizione vettoriale, il sistema traslazionale è mostrato in equilibrio. Allo stesso modo, tenendo conto della direzione della coppia rispetto all’asse, anche il sistema rotazionale è in equilibrio.

Ora, immagina di combinare questi sistemi in modo tale che un peso sia attaccato al centro della trave mentre la trave stessa è sospesa alle sue estremità da due molle. Il sistema è complesso ma può essere compreso utilizzando due diagrammi a corpo libero separati. Il sistema traslazionale include il peso e le forze di ripristino della molla sinistra e destra, indicate rispettivamente come FL e FR.

Poiché il sistema è in equilibrio, la somma delle grandezze di FL e FR dovrebbe essere uguale alla grandezza del peso. Questa equazione descrive l’equilibrio di transizione.

Nel sistema rotazionale, invece delle forze abbiamo le coppie. Ricordiamo che la coppia è definita come la forza perpendicolare moltiplicata per la distanza r che la forza viene applicata dall’asse di rotazione. Poiché il peso è posizionato sull’asse di rotazione, non esercita alcuna coppia sul raggio. Mentre per le molle in questo caso, le forze perpendicolari sono le forze di ripristino e r è la rispettiva distanza dal peso.

Ora di nuovo, poiché il sistema è in equilibrio, le grandezze di queste coppie dovrebbero essere uguali, e questa equazione illustra l’equilibrio rotazionale.

Allontanando il peso dal centro, il raggio si inclina. Per il sistema traslazionale, la somma delle forze di ripristino è ancora uguale e opposta a quella del peso. Pertanto, l’equazione per l’equilibrio traslazionale – che si occupa della grandezza di queste forze – rimane la stessa.

Per il sistema rotazionale, l’inclinazione di un angolo θ cambia le forze nelle coppie della molla alla componente coseno delle rispettive forze di ripristino. Anche le lunghezze dei bracci rotazionali cambiano. Tuttavia, il peso è ancora sull’asse di rotazione e quindi non esercita alcuna coppia sul raggio.

Poiché anche questo sistema è in equilibrio, le grandezze delle coppie applicate dalle molle dovrebbero essere le stesse. Annullando il coseno θ, si traduce nella stessa formula di equilibrio rotazionale.

Ora che hai compreso i principi dell’equilibrio, applichiamo questi concetti a un sistema che sperimenta sia forze che coppie. Questo esperimento consiste in un metro stick, due bilance a molla, due supporti e due pesi di massa diversa in grado di essere sospesi dal bastone del metro.

Per iniziare, posiziona i due supporti a un metro di distanza sul tavolo assicurandoti che siano sicuri. Sospendere una scala a molla da ognisupporto e collegare ogni estremità di un bastone metro sul fondo di una scala a molla.

Quindi, attaccare il peso meno massiccio al bastone del misuratore a metà strada tra le bilance a molla. Con il sistema in equilibrio traslazionale e rotazionale, calcolare le singole forze che agiscono sulla levetta del misuratore e registrarle.

Leggete i valori su ciascuna delle scale a molla e registrate queste forze di ripristino esercitate dalle molle.

Ora sposta il peso di 0,2 m a sinistra rendendo il braccio di rotazione sinistro 0,3 m e il braccio di rotazione destro 0,7 m. Ripetere il calcolo delle singole forze e le misurazioni della scala a molla.

Infine, spostare il peso a sinistra di ulteriori 0,2 m ed eseguire i calcoli della forza e le misurazioni della scala a molla. Ripeti questo esperimento di equilibrio per il peso più massiccio.

Le singole forze che agiscono sul bastone del misuratore sono costituite dalla forza gravitazionale sul peso attaccato e dalle forze di ripristino delle molle. Quando si esaminano i diagrammi a corpo libero del sistema sotto equilibrio traslazionale e rotazionale, due equazioni possono essere utilizzate per determinare le due forze di ripristino sconosciute.

I bracci di rotazione sono identici quando il peso è a metà strada tra le molle. Pertanto, ciascuna delle forze di ripristino dovrebbe essere uguale alla metà del peso. Per gli esperimenti quando il peso viene spostato dal centro, le forze di ripristino sono dettate dal rapporto dei rispettivi bracci di rotazione.

Questi valori calcolati possono essere confrontati con le forze di ripristino determinate dalle misurazioni della scala a molla. Le differenze tra i valori rientrano negli errori di misurazione dell’esperimento. Pertanto, invocando condizioni di equilibrio, le forze di ripristino possono essere determinate con la conoscenza della massa del peso e della lunghezza dei bracci di rotazione.

I principi di base dell’equilibrio possono essere preziosi quando gli ingegneri progettano strutture che usiamo ogni giorno.

Un ponte è sempre in equilibrio statico mentre sperimenta costantemente grandi forze e coppie sia dal proprio peso che dai carichi che si muovono attraverso di esso. Pertanto, la costruzione di un ponte sospeso, come il Golden Gate di San Francisco, richiede significativi sforzi di ingegneria strutturale per garantire che l’equilibrio sia mantenuto anche durante i periodi di traffico intenso.

Allo stesso modo, i grattacieli hanno un complesso sistema di travi d’acciaio sotto forze tremende, che nel complesso compongono un sistema rigido in equilibrio statico. Pertanto, la comprensione dei concetti alla base dell’equilibrio aiuta un architetto a decidere i parametri di costruzione, in modo che queste strutture possano sopportare una certa quantità di coppia, specialmente nelle zone soggette a terremoti.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE a Equilibrium. Ora dovresti capire i principi dell’equilibrio e come i diagrammi a corpo libero possono essere usati per determinare le forze e le coppie che contribuiscono a un sistema in equilibrio. Grazie per l’attenzione!

Results

I risultati rappresentativi dell’esperimento sono riportati nella Tabella 1. La forza esercitata sulle due molle dalla massa sospesa è indicata dalle loro posizioni: sinistra e destra, indicate dai pedice L e R. Poiché ci sono due incognite in questo esperimento, F_Le F_R, sono necessarie due equazioni per risolverle. Pertanto, le equazioni 1 e 2 vengono utilizzate per risolvere le due forze. Le coppie vengono utilizzate per ottenere una relazione tra F_Le F_R .

Poiché la forza esercitata dal peso è verso il basso, l’angolo θ nell’equazione 3 è 90° e la coppia è solo r · F. Le coppie τ_Le τ_Rsono anch’queste in direzioni opposte, dove il senso antiorario è definito come la direzione positiva. Utilizzo dell’equazione 2

–τ_L+ τ_R = 0 = –r_L F_L + r_R F_R. (Equazione 5)

Equivalentemente

F_L = F_R r_R/r_L. (Equazione 6)

Utilizzo dell’equazione 1

F_L + F_R = m g, (Equazione 7)

dove m è la massa del peso e g è la costante gravitazionale di 9,8 m/s². In altre parole, la forza verso il basso del peso è uguale alla somma delle forze che trattengono il sistema di bastone del peso e del metro, che sono solo le due molle a sinistra e a destra, che sospendono il sistema. Con queste due equazioni (6 e 7), si possono calcolare le incognite F_Le F_R. Questi sono mostrati nella Tabella 1. Questi valori vengono confrontati con le forze esercitate sulle molle nelle ultime due colonne della tabella. Ci si aspettano lievi discrepanze dagli errori di misurazione. Inoltre, è stato ipotizzato che la massa del bastone del contatore sia zero, il che è errato, in senso stretto, ma comunque una buona approssimazione. Questo laboratorio utilizza scale a molla, che mostrano quanti Newton vengono applicati alla molla quando allungati, quindi non è necessario conoscere la costante della molla, k.

Tabella 1. Risultati teorici e sperimentali.

Messa (g)	r_L (cm)	r_R (cm)	F_L (N)	F_R (N)	F_{L, molla} (N)	F_R,molla (N)	% diff (sinistra)	% diff (destra)
100	50	50	0.5	0.5	0.45	0.45	9.9	9.9
100	30	70	0.68	0.29	0.65	0.3	4.4	3.4
100	10	90	0.9	0.1	0.85	0.1	5.5	0
200	50	50	0.98	0.98	1	1	0	0
200	30	70	1.38	0.59	1.35	0.55	2.1	7.2
200	10	90	1.8	0.2	1.85	0.2	2.7	0

Applications and Summary

Tutti i ponti sono sottoposti a una certa quantità di stress, sia dal loro peso che dal peso dei carichi che si muovono attraverso. I ponti sospesi, come il Golden Gate, sono un complesso sistema di oggetti sottoposti a forze molto pesanti e in equilibrio. I cavi che sostengono il ponte sono elastici e la loro elasticità è stata considerata quando gli ingegneri strutturali hanno progettato il ponte. Allo stesso modo, i grattacieli hanno un complesso sistema di travi d’acciaio sotto forze tremende, che nel complesso compongono un sistema rigido in equilibrio statico. L’elasticità gioca un ruolo nei materiali utilizzati per costruire edifici, in quanto devono essere in grado di sopportare una certa quantità di flessione, specialmente nelle aree in cui i terremoti sono prevalenti. Anche le gru utilizzate per costruire queste strutture sono in equilibrio, con un complesso sistema di cavi e pulegge per sollevare e abbassare i materiali da costruzione.

In questo studio, è stato osservato l’equilibrio di un sistema composto da più componenti sotto varie forze. Gli effetti dei componenti elastici sono stati osservati anche utilizzando scale a molla di costanti di molla note. Le forze esercitate sulle molle sono state calcolate utilizzando le due condizioni necessarie per l’equilibrio: la somma delle forze e la somma delle coppie sono zero.

Transcript

Equilibrium is a special case in classical mechanics but is ubiquitous in everyday life, while free-body diagrams help decipher the underlying forces present.

A system is in translational equilibrium if the forces acting on it are balanced, that is, the net force is zero. Equilibrium can also be established in a rotational system if the net torque, t, is zero.

In addition to these static equilibrium cases where the systems are at rest, dynamic equilibrium implies that a system is moving but experiencing no linear acceleration a or angular acceleration, a.

Now, even if a system is in equilibrium, a multitude of individual forces or torques can be acting on it, and free-body diagrams — composed of simple shapes and arrows — are often implemented in order to conceptualize these forces and/or torques acting on a system.

The goal of this experiment is to understand the equilibrium of a system composed of multiple components under the influence of various forces.

Before analyzing this complex system, let’s revisit the concepts of equilibrium and free-body diagrams. As mentioned earlier, equilibrium occurs in a translational system, such as a loaded spring, when the restoring force balances the gravitational weight. In a rotational system, example when weights are attached to a freely rotating beam, equilibrium is established when the torques balance one another. Note that, with respect to the axis of rotation, torque is positive for counter-clockwise rotation and negative for clockwise rotation.

In these cases, the net forces or torques are equal zero and therefore no linear or angular acceleration exists. Per Newton’s First Law, since these systems are in static equilibrium they must remain at rest.

Despite the absence of a net force or torque, multiple forces are acting on the objects within these systems. Free-body diagrams, or force diagrams, are often drawn in order to understand the forces and torques acting on systems in equilibrium.

Each contributing force or torque is represented by an arrow whose size and direction fully describes the vector in question. Through vector addition, the translational system is shown to be in equilibrium. Similarly, by accounting for the torque direction with respect to the axis, the rotational system is also in equilibrium.

Now, imagine combining these systems such that a weight is attached to the center of the beam while the beam itself is suspended at its ends by two springs. The system is complex but can be understood by using two separate free-body diagrams. The translational system includes the weight and the left and right spring restoring forces, denoted as FL and FR, respectively.

Since the system is in equilibrium, the sum of magnitudes of FL and FR should be equal to the magnitude of the weight. This equation describes transitional equilibrium.

In the rotational system, instead of forces we have torques. Recall that torque is defined as the perpendicular force times the distance r that the force is applied from the axis of rotation. Since the weight is positioned at the axis of rotation, it exerts no torque on the beam. Whereas for the springs in this case, the perpendicular forces are the restoring forces and r is the respective distance from the weight.

Now again, since the system is in equilibrium, the magnitudes of these torques should be equal, and this equation illustrates rotational equilibrium.

Moving the weight away from the center causes the beam to tilt. For the translational system, the sum of the restoring forces is still equal and opposite to that of the weight. Therefore, the equation for translational equilibrium — dealing with the magnitude of these forces — stays the same.

For the rotational system, the tilt by an angle θ changes the forces in the spring torques to the cosine component of the respective restoring forces. The lengths of the rotational arms also change. However, the weight is still at the axis of rotation and therefore exerts no torque on the beam.

Since this system is also in equilibrium, the magnitudes of the torques applied by the springs should be the same. Cancelling out the cosine θ, results in the same rotational equilibrium formula.

Now that you understand the principles of equilibrium, let’s apply these concepts to a system that experiences both forces and torques. This experiment consists of a meter stick, two spring scales, two stands, and two weights of different mass capable of being suspended from the meter stick.

To begin, place the two stands one meter apart on the table making sure they are secure. Suspend a spring scale off of each stand, and attach each end of a meter stick to the bottom of a spring scale.

Next, attach the least massive weight to the meter stick midway between the spring scales. With the system under translational and rotational equilibrium, calculate the individual forces acting on the meter stick and record them.

Read the values on each of the spring scales and record these restoring forces exerted by the springs.

Now shift the weight 0.2 m to the left making the left rotation arm 0.3 m and the right rotation arm 0.7 m. Repeat the calculation of the individual forces and the spring scale measurements.

Lastly, shift the weight to the left an additional 0.2 m and perform the force calculations and spring scale measurements. Repeat this equilibrium experiment for the more massive weight.

The individual forces acting on the meter stick consist of the gravitational force on the attached weight and the restoring forces of the springs. When looking at the free-body diagrams of the system under translational and rotational equilibrium, two equations can be used to determine the two unknown restoring forces.

The rotation arms are identical when the weight is midway between the springs. Therefore, each of the restoring forces should equal half of the weight. For the experiments when the weight is moved from the center, the restoring forces are dictated by the ratio of their respective rotation arms.

These calculated values can be compared with the restoring forces determined from the spring scale measurements. The differences between the values are within the measurement errors of the experiment. Therefore, by invoking equilibrium conditions, the restoring forces can be determined with knowledge of the mass of the weight and the length of the rotation arms.

The basic principles of equilibrium can be invaluable when engineers are designing structures that we use every day.

A bridge is always in static equilibrium while constantly experiencing large forces and torques from both its own weight and the loads moving across it. Therefore, construction of a suspension bridge, like the Golden Gate in San Francisco, requires significant structural engineering efforts to ensure that equilibrium is maintained even during the times of heavy traffic

Similarly, skyscrapers have a complex system of steel beams under tremendous forces, which altogether compose a rigid system in static equilibrium. Therefore, an understanding of the concepts behind equilibrium helps an architect decide the construction parameters, so that these structures can withstand a certain amount of torque, especially in the earthquake prone zones.

You’ve just watched JoVE’s introduction to Equilibrium. You should now understand the principles of equilibrium and how free-body diagrams can be used to determine the forces and torques contributing to a system in equilibrium. Thanks for watching!