1.12
すべての物理量は、基本数量または派生数量のいずれかを使用して表すことができ、各数量は、その次元を定義する記号で表されます。
たとえば、車の速度は、距離を時間で割ったものとして定義されます。距離という用語は、L で示され、時間が T で示される数量の長さに対応します。
したがって、数量速度の次元は、LをTで割ったものまたはLTTをマイナス1の累乗にしたものとして書くことができます。
方程式が次元的に正しいためには、2つのルールに従う必要があります。その1、方程式の等式の両側の式は同じ次元でなければならない。
その2、方程式の標準的な数学関数は無次元でなければならない
たとえば、ボリュームの次元がLキューブであることがわかっています。ここで、半径 r と高さ h の円柱について考えてみます。
円柱の体積はπ r の 2 乗 h であることがわかっています。用語 π は定数であり、無次元の量です。項rは数量の長さに対応し、その寸法をLの2乗と書くことができ、項hは数量の長さにも対応し、円柱の体積の寸法をLの3乗として与えます。したがって、方程式は寸法的に正しいです。
方程式に現れる個々の物理量の次元がわかっている限り、方程式が次元的に一貫しているかどうかを確認できます。
次元解析の別のアプリケーションは、方程式を記憶することです。たとえば、速度が時間を距離で割った値と等しいのか、距離を時間で割った値なのかを覚えていないとします。
時間、距離、および速度の次元は、それぞれ T、L、および LT をマイナス 1 の累乗です。両方の方程式を方程式の両側の基本単位に縮小すると、速度は距離を時間で割った値に等しくなります。
物理量を結びつけるすべての数学方程式は、次元的に一貫している必要があります。そのため、次元の概念は非常に重要です。これは、数学方程式が次の 2 つの規則を満たす必要があることを意味します。 最初のルールは、方程式では等号の各辺の式が同じ次元でなければならないということです。 これは直感的であり、同じ次元を持つ量同士でなければ、加算や減算はできません。2 番目のルールは、方程式において、三角関数、対数、指数関数などの数学関数の引数は、無次元でなければなりません。
これら 2 つのルールのいずれかに違反すると、方程式は次元的に矛盾するため、物理法則の正しい記述を表すことはできません。 次元解析を用いることで、代数の誤りや記述ミスを発見できるだけでなく、さまざまな物理法則を思い出す助けになり、さらには新しい物理法則の形を推測することも可能になります。
微積分の演算が次元に及ぼす影響を理解しましょう。 関数の導関数は、そのグラフに接する線の傾きであり、傾きは比率です。 したがって、物理量の場合、v と t 、つまり t に関する v の導関数の次元とします。 v の次元と t の次元の比率です。 同様に、積分は単なる積の合計であるため、t に関する v の積分の次元は、単純に t の次元を倍したものになります。
このテキストは Openstax, University Physics Volume 1, Section 1.4: Dimensional Analysis. から編集されたものです。
すべての物理量は、基本数量または派生数量のいずれかを使用して表すことができ、各数量は、その次元を定義する記号で表されます。
たとえば、車の速度は、距離を時間で割ったものとして定義されます。距離という用語は、L で示され、時間が T で示される数量の長さに対応します。
したがって、数量速度の次元は、LをTで割ったものまたはLTTをマイナス1の累乗にしたものとして書くことができます。
方程式が次元的に正しいためには、2つのルールに従う必要があります。その1、方程式の等式の両側の式は同じ次元でなければならない。
その2、方程式の標準的な数学関数は無次元でなければならない
たとえば、ボリュームの次元がLキューブであることがわかっています。ここで、半径 r と高さ h の円柱について考えてみます。
円柱の体積はπ r の 2 乗 h であることがわかっています。用語 π は定数であり、無次元の量です。項rは数量の長さに対応し、その寸法をLの2乗と書くことができ、項hは数量の長さにも対応し、円柱の体積の寸法をLの3乗として与えます。したがって、方程式は寸法的に正しいです。
方程式に現れる個々の物理量の次元がわかっている限り、方程式が次元的に一貫しているかどうかを確認できます。
次元解析の別のアプリケーションは、方程式を記憶することです。たとえば、速度が時間を距離で割った値と等しいのか、距離を時間で割った値なのかを覚えていないとします。
時間、距離、および速度の次元は、それぞれ T、L、および LT をマイナス 1 の累乗です。両方の方程式を方程式の両側の基本単位に縮小すると、速度は距離を時間で割った値に等しくなります。
From Chapter 1:
Now Playing
単位、寸法、寸法
19.8K Views
単位、寸法、寸法
40.7K Views
単位、寸法、寸法
20.1K Views
単位、寸法、寸法
7.6K Views
単位、寸法、寸法
33.0K Views
単位、寸法、寸法
6.9K Views
単位、寸法、寸法
21.3K Views
単位、寸法、寸法
27.3K Views
単位、寸法、寸法
12.9K Views
単位、寸法、寸法
11.6K Views
単位、寸法、寸法
36.8K Views
単位、寸法、寸法
18.3K Views
単位、寸法、寸法
7.2K Views
単位、寸法、寸法
7.2K Views