6.14: 中心極限定理

CLTと略される中心極限定理は、すべての統計学の中で最も強力で有用なアイデアの 1 つです。標本平均の中心極限定理では、指定されたサイズの標本を繰り返し抽出してその平均を計算し、それらの平均のヒストグラムを作成すると、得られるヒストグラムはほぼ正規の釣鐘型になる傾向があると主張しています。言い換えれば、サンプルサイズが大きくなるにつれて、平均値の分布は正規分布により近くなります。

「十分な大きさ」であることが必要なサンプル サイズ n は、サンプルが抽出される元の母集団によって異なります (サンプル サイズは少なくとも 30 であるか、データは正規分布から得られる必要があります)。元の母集団が正規からかけ離れている場合、標本の平均値または合計が正規になるためにはさらに多くの観測値が必要になります。サンプリングは交換で行われます。

統計理論における中心極限定理の重要性は、どれだけ強調してもしすぎることはありません。データの分布が正規ではない場合でも、データが予測可能な方法で動作することを知ることは、強力なツールとなります。

正規分布の平均は元の分布と同じであり、分散は元の分散をサンプル サイズで割った値に等しくなります。標準偏差は分散の平方根であるため、標本分布の標準偏差は元の分布の標準偏差を n の平方根で割ったものになります。変数 n は、実験が行われた回数ではなく、平均された値の数です。

このテキストは Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theoremから翻案されます.

このテキストはOpenstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit theorem for Sample Means (Averages)から翻案されます.

正規分布と一様分布を持つ母集団のドットプロットを考えてみましょう。

異なるサンプルサイズのサンプル平均の分布は、サンプルサイズが大きくなるにつれて正規分布に近づくことを示しています - これが中心極限定理の核心的な原理です。

サンプル平均の平均は母平均と同じですが、その標準偏差は母標準偏差よりも小さくなっています。

ただし、このルールは、正規ではなく、サンプルサイズが30以下の母集団には適用されません。

サンプル平均が正規分布していることを知ることで、正規分布の特性を使用してより良い統計分析を行うことができます。

たとえば、正規分布に適用される経験則は、サンプル平均の平均から1、2、または3標準偏差以内に平均重みを持つ人々のグループの確率を決定するのに役立ちます。

これらの値は、z スコアに標準化することもできます。したがって、平均体重が80 kg未満の無作為に選択された人々のグループの確率を決定できます。