線形化と近似

線形化とは、複雑な非線形関数を、選択した参照点の近傍において、より単純な線形モデルで近似する数学的手法です。この手法は、関数を正確に評価することが難しい場合でも、特定の入力値付近での関数の挙動は、多くの場合、その点における接線によって近似できるという考えに基づいています。この手法は、既知の値からの小さな偏差が関係する場合に特に有用です。

入力値が4のときの値が正確にわかっている平方根関数を考えてみましょう。この入力値は、この点で関数値とその微分係数の両方を容易に求められるため、便利な参照点として機能します。しかし、4.1のような近傍の入力値における関数の評価は、計算ツールなしでは容易ではありません。線形化は、元の関数を参照点近傍の接線に置き換えることで、この困難に対処します。

接線近似は、3つの要素、すなわち参照点における関数の値、同じ点における関数の微分係数、そして参照点からの入力変数の小さな変化から構成されます。これらの要素を組み合わせることで線形化の式が形成され、

\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}

この式は、参照点付近における関数の値の推定値を提供します。この式に近傍の入力を代入することで、元の非線形関数を直接評価することなく近似値を得ることができます。

平方根の例では、まず参照点における関数の値と微分係数を計算し、次に新しい入力と参照点の入力値との差を計算します。これらの値を組み合わせることで、4.1の真の平方根に非常に近い推定値が得られます。このわずかな差異は、線形化の有効性と限界の両方を示しています。この例は、入力が選択された参照点に近い場合、関数を正確に評価することが困難な場合に、線形化によって正確かつ効率的な近似値が得られることを示しています。