距離の問題

物体の速度が時間とともに変化するとき、短い間隔で小さな変位量を合計することで、総移動距離を求めることができます。この方法は、数値的加算と積分法を用いることで、真の総移動距離を近似します。一定間隔で速度を測定し、それぞれの値に対応する時間ステップを乗じることで、総移動距離を推定できます。

ランナーがレースの最初の3秒間に加速すると、0.5秒ごとに速度を測定した結果、0 m/sから6.2 m/sに増加したことがわかります。推定方法の一つは、左端点における速度を用いて、各速度の値に0.5秒の時間ステップを乗じることで、おおよその距離を10.55 mと算出する方法です。

もう一つの方法は、右端点における速度を用いるもので、わずかに高い13.65 mという推定値が得られます。真の総移動距離は、これら2つの推定値の間に存在し、速度の測定頻度を増やすことで精度が向上します。

より正確な距離の算出は、極限の概念に基づいています。正確な変位は、測定回数を増やしながら、速度の値の和に微小な時間間隔を乗じた極限を求めることで得られます。数学的には、これは次のように表されます。

\begin{equation*}d = \lim_{n \to \infty} \sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_{i-1})\,\Delta t = \lim_{n \to \infty}\sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_i)\,\Delta t\end{equation*}

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この極限はリーマン和による積分の定義に対応し、総移動距離が速度を時間について積分したものであることを示しています。時間間隔が無限小になると、和は積分に正確に収束し、数値的加算方法に伴う近似誤差が排除されます。