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この研究は人間や動物被験者を含みませんでした。したがって、倫理的承認やインフォームド・コンセントは必要ありませんでした。提案された手法はMATLAB R2014bを用いて実装されました。使用されたツールボックスは以下の通りです:ウェーブレットパケット解析用のWavelet Toolbox(wpdecおよびwpcoef)、BPニューラルネットワーク実装用のNeural Network Toolbox(feedforwardnetおよびtrain)、EMD計算における線形計画問題解決のためのOptimization Toolbox(linprog)、およびKNN分類用のStatistics and Machine Learning Toolbox(fitcknnおよびpredict)。EMDは線形計画法を用いて輸送問題を解くことで実装されました。すべての実験は、Intel Core i7-10700 CPU(2.90 GHz)と16 GB RAMを搭載したWindows 10 PC上で実施されました。提案された方法は、公開されているCWRUベアリングデータセット(https://engineering.case.edu/bearingdatacenter/download-data-file)を用いて検証されました。故障は、電気放電加工(EDM)を用いて駆動端ベアリングSKF6205に、直径0.007インチ、0.014インチ、0.021インチの3箇所(内側レース、外側レース、ボール)で導入されました。振動信号は4つのモーター負荷(0–3馬力)で12kHzのサンプリング周波数で収集され、速度は1797〜1730rpmに相当します。各信号サンプルは2048のデータポイントで構成されており、スライディングウィンドウセグメンテーション方式で598ポイント(70.8%の重複)で得られました。
提案されたKNNベースの転がり軸受故障診断フレームワーク(図1)は、7つの連続した段階から成り、各段階の出力が次の段階への入力となります。第1段階では、ダウベシー3(db3)ウェーブレット基底を用いた三準位ウェーブレットパケット分解を用いて、転がり軸受の振動信号からエネルギー特徴を抽出します。第3分解レベルでの8つの部分バンドの正規化されたエネルギー値は特徴集合Q = (q1, q2, ..., qm)にまとめられ、ここでm = 8は特徴次元です。正規化は式66で定義された和正規化(相対エネルギー正規化)を用いて行われます。
図1:提案されたアルゴリズムの実装フローチャート。 提案されたKNN–MIV–EMD手法のワークフローを示すフローチャートで、振動信号入力、ウェーブレットパケットエネルギー特徴抽出、MIVベースの特徴重み付け、EMDベースの類似度計算、そして多数決による最終分類が含まれます。 この図の拡大版はこちらをクリックしてご覧ください。
第2段階では、各特徴のMIVはBPニューラルネットワーク(10ニューロンを持つ単一隠れ層、最大2000回の反復、ターゲット誤差1.0×10⁻5、摂動ステップサイズδ=各特徴の平均値の±10%)を用いて計算されます。これは式10–1323に定義されています。ネットワークは隠れ層で活性化関数θ sとして双曲接線シグモイド関数(tansig)を、出力層で線形関数(ピューレリン)として用いています。ネットワークはLevenberg–Marquardtアルゴリズム(trainlm)を用いて訓練されます。MIV値はその特徴の相対重要度の重みとして割り当てられます。
第3段階では、生の振動信号を200サンプルに分割し、2048のデータポイントのスライディングウィンドウ(ステップサイズは598ポイント、70.8%の重複)を用います。ウィンドウは信号の開始点から順に移動します。データセット(Q)はトレーニングセット(Qトレイン)とテストセット(Qテスト)に分割され、52/48の分割比率で分類されます。各故障条件に対して、104サンプルがランダムにトレーニングセットとして選ばれ、残りの96サンプルがテストセットとして使用されます。分割は異なるランダムシードを用いて10回繰り返され、平均性能指標が統計的な堅牢性を評価するために報告されます。このアプローチにより、結果が特定のランダム分割に依存しないことを保証します。分割はセグメンテーション後にサンプルレベルで行われるため、トレーニングセットとテストセットの間にデータポイントの重複はありません。
第4段階では、訓練セットに対する5分割交差検証を用いて最適数の最近傍Kを選択します。フォールドは固定されたランダムシードを用いてランダムに生成され、クラス分布を保つためにクラスごとに階層化されます。候補Kの値は範囲
内で探索され、特にK = 1、3、5、7、9を評価します。5つのフォールドで平均分類精度が最も高いKの値が最適値として選ばれます。この研究では、最適Kは3と決まります。
第5段階では、MIVからの特徴重要度重みとEMDによる分布差を統合することで類似度測定が強化されます。各サンプルは、和正規化( 式4–76に定義された通り)を用いて得られた8次元正規化エネルギー特徴ベクトルとして表されます。従来のKNN分類器は、サンプル間の類似性を測定するためにユークリッド距離を用いています。しかし、この手法は特徴分布の違いをよりよく捉えるために拡張されています。EMDは特徴分布間の距離を測定し、ウェーブレットパケット分解によって得られるベアリング振動信号のエネルギー分布解析に特に適しています。EMD計算前に追加の正規化は適用されません。EMDで使用されるグラウンド距離は、特徴成分間のユークリッド距離です。複数の分布間の距離を測定する際、EMDは分布の位置差に影響されず、抽出されたエネルギー特徴の効果的な比較や、KNN決定規則と組み合わせることで分類の改善が可能となります。
式1–3は本研究で提案された新しい定式化です。式4–7および8–26はそれぞれの分野における標準的な定式化を表しています。テストサンプル(I)とトレーニングサンプル(Qトレイン)の場合、MIVを含む加重ユークリッド距離は式1として定義されます。ここでm = 8は特徴量次元、wiは第i個特徴量の正規化されたMIV重み、QがQ検定 、Qは第i個の特徴値、i はテストと訓練サンプルの第i個特徴値です。 それぞれです。
(1)
EMDに基づく分布距離は 式2で定義されており、ここでテスト(Htest)と訓練(Htrain)サンプルの特徴分布が用いられます。EMDは、ある分配から別の分配に変換するために必要な最低コストを測定します。
(2)
両成分を組み合わせた最終的な強化距離は式 3として定義され、 λ はEMDに基づく分布距離の寄与を制御するバランスパラメータです。本研究では、経験的調整に基づいて λ を0.5に設定し、最適な分類性能を実現します。値 λ = 0.5は、ステップサイズ0.1の範囲[0, 1]の検証セット上でグリッドサーチによって決定され、最も分類精度が高い値を最適と選びました。最適な λ はデータセット固有のものかもしれません。他のデータセットについては、トレーニングデータに対するクロスバリデーションを用いてλを再調整することを推奨します。
(3)
ステージ6では、すべてのトレーニングサンプルがテストサンプルまでの強化距離に基づいてソートされ、MIVベースの特徴重要度重みやEMDベースの分布指標が組み込まれています。上位 のK =3サンプルを最近傍として選びます。
第7段階では、 K =3の最近傍に多数決投票ルールを適用し、各テストサンプルの最終クラスラベルを決定します。
ウェーブレットパケット解析とエネルギー抽出
ウェーブレットパケット分解はウェーブレット変換に基づいていますが、従来のウェーブレット分解よりも精緻です。ウェーブレットパケット分解の特徴は、従来のウェーブレット分解が低周波パート5のみを精緻化するのに対し、低周波成分と高周波成分の両方を分解することで、よりバランスの取れた完全な時間周波数解析を行うことができる点です。ウェーブレット分解の固定解像度特性とは対照的に、このアプローチによりバランスの取れた表現が可能となり、信号帯域幅全体における時間と周波数の局在化の典型的な妥協を緩和します。
多重分解過程において、ウェーブレットパケット分解は関数空間6の段階的に直交する分解とみなされます。ウェーブレットパケット分解の公式は式 46に示されています。
(4)
この定式化では、変数(
、 
、 
)はウェーブレットパケット分解から得られる係数に対応し、記号(hk-2l [ローパス]および gk-2l [ハイパス])は分解過程の中心となるフィルタ係数を表します。
本研究では、db3ウェーブレットがそのコンパクトな支持性と直交性からウェーブレット基底関数として選ばれ、振動信号から過渡的特徴を抽出するのに適しています。元の振動信号に対して3レベルのウェーブレットパケット分解が行われ、3段階で23 =8のサブバンドが得られます。
標準ウェーブレット変換と比べて、ウェーブレットパケット変換はより細かい信号分解を可能にします。元の信号を特定のスケールに分解することで、関心のある周波数帯を分離し、そのエネルギー分布を効果的な特徴として抽出します。ウェーブレットパケット変換は信号をサブバンドに分解し、そのエネルギー分布は元の信号の周波数成分を特徴づけ、この導出されたエネルギー特徴ベクトルは信号分類の堅牢な基盤となります。
信号の特徴ベクトルは、j層ウェーブレットパケット分解から得られる2つのj周波数帯にわたる正規化エネルギー分布として定義され、総信号エネルギーはこれらの直交する部分帯に分割されます。第j分解層のk番目の周波数帯に含まれるエネルギーは式56で表され、正規化されたエネルギー特徴は式66で示されます。
(5)
(6)
この手順に従い、各振動信号試料に対して、 式76に定義されたエネルギー特徴ベクトルが構成されます。
(7)
KNN–MIV–EMD 実装診断手続き実行
教師ありKNNアルゴリズムでは、新しいインスタンスの分類は、事前定義された距離指標で測定される 、 K個の最も類似した訓練サンプルの中から複数クラスによって決定されます。したがって、分類結果は K の選択と類似度計算の性質に依存します。このシンプルながら効果的な原理が、多様な分類分野での広範な応用を支えています。
KNNアルゴリズムのワークフローは以下の通りです。まず、 k-最近傍は、式 824に定義されたように、テストサンプルと各訓練インスタンス間のユークリッド距離を計算することで、訓練サンプルから特定されます。
(8)
この表記法では、変数 x(i) と x(j) はそれぞれトレーニングサンプルとテストサンプルに対応します。
次に、検定サンプルのクラス確率分布をk個近傍から推定します。ここでkは最近傍の数を表し、これらのk個の隣接が特定のクラスa(a = 1,2,...,c)に属する数を用いて、検定サンプルがそのクラスaに属する確率P(a)を計算します。これは式924で定義されています。ここでcはデータセット内のクラスの総数を表します。
(9)
最後に、故障診断は式 8を用いてk個近傍を特定し、 式9に従ってカウントを集計し、降順に並べて、最も高いカウントをテストサンプルの故障クラスに割り当てることで行われます。
MIVはBPニューラルネットワーク構造に基づいており、各変数の出力に対する重要度の重みを反映するために用いられます。BPニューラルネットワークは、入力層、隠層層、出力層を含む典型的な三層トポロジーを持つフィードフォワードネットワークです。誤りを逆方向に伝播させ、ニューロンの重みを反復的に調整して自己学習を実現します。
Xを、式1023および式1123に定義されたL群のサンプルデータセットとします。
XをL群のサンプルデータセットとします:
(10)
(11)
ここで、x(k)は時刻kでのサンプリングデータを表し、xiはx(k)の第i成分で、k = 1, 2, ..., L、i = 1, 2, ..., nを表します。
BPニューラルネットワークの動作原理は以下の通りです。入力サンプルx(k)はまず接続重みω Tで重み付けされ、隠れ層に伝播して隠れ層の入力データsiを生成する。これは式1223で定義され、ここで活性化関数(θ)が変換を支配する。
(12)
ネットワークの出力は式 1323で定義された通りに得られます。
(13)
ここで ωj = [ω1j, ω2j,...,ωnj] は入力重みベクトル、 β は出力重みベクトル、 j = 1, 2, ..., n を表します。本研究では、単一隠れ層は10ニューロン、最大反復回数は2000、最小期待ターゲット誤差は1.0×10⁻⁻5に設定されています。
入力層と隠れ層の間の重みに小さな摂動(Δωij)を適用すると、それが隠れ層の出力(Sj)に伝播し、最終的にネットワーク出力に変化をもたらす変化(ΔSj)が生じます。対応する重み(ωij と ωjk)はBPを通じて更新され、損失関数は 式1423で定義されます。
(14)
故障特徴セット 
を補強するために、式 1523 および 式1623に定義されているように、サンプルデータ内の各特徴変数に小さな正の摂動と負の摂動が独立して適用されます。
(15)
(16)
この定式化では、 L と n はそれぞれ故障特徴因子の数とサンプルグループ数を表します。本研究では、摂動ステップサイズを各特徴の平均値のδ±10%に設定しており、これはMIVベースの特徴重要度分析で一般的に用いられる設定です。したがって、ニューラルネットワークのフィッティング出力は式 1723 および式 1823で定義された通りに得られます。
(17)
(18)
の場合、式1923に示されているように、対応する出力は摂動されたサンプルセットの結果を表します。
(19)
ここで、 
と 
はそれぞれサンプルセット 
と 
の出力結果を表しています。断層タイプに対する各断層特徴変数の衝撃度は式 2023に定義されています。
(20)
観測数に対して影響値を平均化することで、最終出力断層タイプ上の各断層特徴の平均影響値を方程式2123に定義して計算します。
(21)
EMDは2つの分布間の類似度を測る指標です。
をソース分布、 
をターゲット分布とします。ここで gi と hj は、それぞれソース分布とターゲット分布における 第iおよび 第j番目のクラスタの位置(または特徴ベクトル)です。 ωgi は位置 gj における確率質量(重さ)であり、 
を満たす。 ωhj は位置 hj における確率質量(重さ)であり、 
を満たす。 m と n は、それぞれソース分布とターゲット分布におけるクラスターの数です。
GとHの間のEMDは、源分布を目標分布に変換するために必要な最小コストとして定義され、式227に示されています。
(22)
ここで、最適流量(fij)は 式23–267で定義された制約に従います。
(23)
(24)
(25)
(26)
ここで fij は、源分布の 第iクラスタからターゲット分布の 第jクラスタへの流量(質量輸送量)です。その次元は m × n です。 dij は gi と hj の間の地面距離であり、通常ユークリッド距離として定義されます: 
。次元も m × n です。最初の制約は非負の流量を保証し、2番目と3番目の制約は各ソースクラスターから各ターゲットクラスタへの総流量が利用可能な質量を超えないこと、4番目の制約は総流量が総質量(正規化分布では1)に等しくなることを保証します。
実際には、EMDは線形計画法(例:シンプレックスアルゴリズム)を用いて輸送問題を解決し、総輸送コストを最小化する最適な流れ(fij)を決定することで計算されます。得られるEMD値は、ある分布を別の分布に変換するために必要な最小コストを示し、提案された故障診断手法における特徴分布を比較するための堅牢な類似度指標として機能します。