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質量保存則と流量率測定

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Mass Conservation and Flow Rate Measurements

3.9: Hot Wire Anemometry

3.15: Determination of Impingement Forces on a Flat Plate with the Control Volume Method

22,588 Views

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13:35 min

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April 30, 2023

Overview

ソース: リカルド・メヒアアルバレスとコメディフランセーズ Hikmat ジャバー、機械工学科、ミシガン州立大学、イーストランシング、MI

この実験の目的は、[1, 2] 制御ボリューム (CV) の定式化を用いた流量計として流路の校正を示すことです。CV 分析は差分の詳細な分析を達成することができる詳細な説明ではなく、エンジニアリングシステムで、流れの巨視的効果に焦点を当ててください。これらの 2 つの手法は、CV 分析を与えるエンジニアにどのルートの流れシステムの設計を追求する最初の基礎として相補的アプローチと見なす必要があります。大まかに言えば、CV 解析エンジニアのシステムでは、支配的な物質交換のアイデアを与えるし、理想的な差動定式化を介して任意の詳細設計や分析を追求する前に取る最初のステップをする必要があります。

質量保存則の CV の定式化の背後にある主要な原則は、操縦翼面 (CS) として知られている囲まれた簡易ボリュームフローシステムの詳細を置き換えることです。この概念は、巧みに分析を簡単に自由に定義することができるし、想像しています。例えば、CS が ‘カット’ の方向に入口と出口ポート支配的な速度に垂直です。その後、分析、CS を通じてネットの質量流束と CV に大質量の変化率との間のバランスを見つけることで構成されます。この手法は、平滑筋の収縮、流量計としての校正で実証されます。

Principles

制御ボリューム (CV) は、システムにおける質量のバランスを任意の値に定義制御表面 (CS) と呼ばれる、架空の閉じたサーフェスによって定義されます。図 1 a は、流路を通過する流れの領域を含むコントロールボリュームの例を示しています。大量流入、流出と流路内の変更の率の手段を得ることにだけ興味があるので、通路でのフローの詳細は無関係です。すべてのこれらの効果は、[1, 2] の積分形式で質量保存の法則の式でまとめることができます。

(1)

式 (1) の右辺の最初の項はコントロールボリュームに大質量の変化の割合を表し、2 番目の用語表します制御表面を介して大量の純フラックス。ベクトルの違いCV とフロー、およびベクトル間の相対速度は、単位を差分領域に外向き法線です。相対速度間の内積と質量の交換に CS を交差し、今後貢献する速度成分を表します。この内積の符号が負質量流束が監督には履歴書と正 CV から指示されます。

図 1。Sc造血剤の基本的な構成。(遠心送風機 A) 滑らかな摂取。コントロール・ボリュームは内部として定義されている通路のプロファイル。固体壁のコントロール・ボリュームから除外されますが、制御表面での境界条件が保持されます (貫通がないとすべりのない)。ポート 1 ポート 2 はピトー管の先端と一致する断面平面として定義されている通路の入口側として定義されます。フローは左から右に行きます。(B) ピトー静圧システムと schematiデータ集録システム c.この図の拡大版を表示するのにはここをクリックしてください。

現在のデモでは、固定の CV が遠心ファンの吸気口に平滑筋の収縮としての輪郭を次図 1 a に示されている構成をあります。この履歴書内の流れが安定、コントロール・ボリュームに大質量の変化率がゼロ。したがって、式 (1) の右辺の最初の項が消えます。空間に固定された速度を持たない、収縮に CV を添付するも、作る。したがって、この履歴書を通して大量のネットのフラックスはゼロと式 (1) に単純化されます。

(2)

図 1 a の構成を考慮した質量はポート 1 を CV に流し込まれ、ポート 2 CV の葉します。したがって、式 (2) の右辺の積分の表面は各ポートに 1 つずつ、2 つの独立した積分に分割できます。内積の記号はポート 1 で否定的な流れが、CV に向かって行くので、ポート 2 の肯定的な流れから遠ざかる CV ので。ないと仮定すると、速度は、いずれかのポートで均一分散、作ってみましょうと積を取った後に残る何が考慮してそれぞれの速度プロファイル。面積ベクトルに平行速度コンポーネントの大きさは、。最後に、収縮に沿って圧力変更は密度で観察可能な変化を誘発するには十分に重要ではありません。今後は、定数として密度を検討できます。こうした中、式 (2) とに単純化します。

(3)

メモ、質量は保存されているので、質量フラックス、、両方のポートを同じです。これらの関係の構造を考えると、式 (3) の各積分表現体積流量の対応するポートと平均速度を定義するこの事実を通じて、、特定のポートに対する。

(4)

中央の流線に沿ってベルヌーイの式を使用して吸気外条件面で非粘性条件下でポート 2 で速度を表現できる (図 1A 参照を参照してください)。

(5)

ここでは、水平な流体が空気は、非常に小さい比重を持ってため他の合理化もごくわずかですので、高さの影響は中央の合理化に消えます。また、中央のストリームラインの最初のポイントは十分に遠くに入口からその速度がゼロであります。式 (5) が理想的な非粘性の場合、この速度の値がするすべてを渡って同じポート 2。実際には、境界層の成長速度プロファイルに影響を与える、それ非均質。この効果のために、理想の推定は「排出係数」による実験的測定と比較されます。この係数は、測定の平均速度と流れの指定された断面の非粘性の速度の比率として定義されます。

(6)

流出係数、ジオメトリとレイノルズ数に依存します。決定されたポートの断面積とメジャー簡単圧力差に基づく 2 間で流量を決定する方程式 (4) と (5) と組み合わせて使用できます。

(7)

入れたら方程式 (4) (5) (6) と一緒とそのポート 2 を考慮した円形、我々はの次の関係を得る:

(8)

方程式 (8) 排出係数を取得する必要がある速度プロファイルの知識から明らかであります。このため、ピトー – 静的プローブによる流速測定法を使用します。ピトー管が全圧を感知停止する流れをもたらします図 1 b のように、、特定の時点の静的および動的な圧力の付加であります。その一方で、壁に静的プローブだけで静圧の感覚します。与えられた半径方向位置で適用ベルヌーイの式から全圧はベルヌーイの定数だけです。ポート 2 でこの原則は任意の半径方向位置に次の関係によって表現できます。

(9)

ここでは、私たちの流れは水平ので垂直方向の位置の影響を無視している私たち。要約すると、1 つはパイプ内で特定の位置 ‘r‘ で速度の大きさを求める次の関係を得る。

(10)

差圧圧力によって直接測定は図 1 b に示されている探触子と速度プロファイルは、パイプの径方向の座標に沿ってピトー管の走査によって得られます。これらの速度の測定は、離散位置で実施されて、したがって、これらのデータポイントは、台形または Simpson の規則 [1] のいずれかを使用して数値積分方程式 (8) を解決するために使用する必要がありますに注意してください。測定値と計算式 (8) に接続必要がありますこの積分の値を取得すると、、密度、および半径の値を取得する、ダクトの特定のフロー条件。別のフロー条件のこの実験を繰り返し、時に私たちは間の関係を決定するために使用できる散布を取得する、。この関係は完全に、流量を求める式 (7) で置き換えることができますでは、の関数としてのみ。

Procedure

1. 施設の設定

施設内に流れがないことを確認します。
図 1 bの回路データ集録システムに従うことを確認します。
圧力トランスデューサー #1 の正のポートを接続 (参考図 1 bを参照) トラバースのピトー管 ()。
この同じ圧力トランスデューサーの否定的なポートと吸気通路の静的プローブを接続 ()。したがって、この圧力トランスデューサーの読書を直接されます ()。
パスカルにボルトから探触子の変換係数を記録 ()。表 1 にこの値を入力します。
吸気通路の静的プローブに圧力トランスデューサー (参考図 1 bを参照してください) #2 の正のポートを接続 () t シャツを使用しています。
大気中に圧力トランスデューサー #2 の負のポートを開いたままにしておきます ()。したがって、この探触子の読書を直接されます ()。
パスカルにボルトから探触子の変換係数を記録 ()。表 1 にこの値を入力します。
500 サンプル (すなわち、データの 5 s) の合計は 100 Hz のレートでサンプルにデータ集録システムを設定します。
データ集録システムのチャンネル 1 は、圧力トランスデューサー #1 に対応するように ()。
変換係数を入力ことを確認するデータ集録システムでの圧力測定 () パスカルに直接変換されます。
管の壁に触れるところでその旅行の終わりにピトープローブを設定します。プローブは直径 2 mm、最初の速度の点は放射状の座標壁から 1 mm。つまり、放射状の位置mm (ここでは、 mm)。

図 2.実験の設定。(A): 研究の下の通行の流れ。(B): ピトー管のシステムを通過するマニュアルします。この図の拡大版を表示するのにはここをクリックしてください。

表 1。実験的研究のための基本的なパラメーターです。説明: このパラメーターの値をパーします。

パラメーター	値
流れ通過半径 (R_o)	82.25 mm
探触子 #1 校正定数 (m_p1)	136.015944 Pa/V
#2 探触子の校正定数 (m_p2)	141.241584 N/V
ローカル大気圧	100,474.15 Pa
局所温度	297.15 K
P_atm P_2	311.01 Pa

2. 測定

フロー機能をオンにします。
デジタルマルチメータからボルトで圧力トランスデューサー #2 の読書を記録します。
として表 1 にこの値を入力してくださいボルトからパスカルのファクターを使用して読書に変換と。
データ集録システムを使用しての読書を記録する ()。
値を入力してください表 2 に。
トラバースのノブを使用して、表 2 に推奨値によるとピトー管の半径方向の位置を変更します。
表 2 が完全に作成されるまでは、2.4 と 2.6 の手順を繰り返します。
システムの放電を変化させることにより流量を変更します。
少なくとも 10 の異なる流量 2.4 から 2.8 の手順を繰り返します。
フロー機能をオフにします。

図 5.実験の設定。穴あきプレートフローシステムの排出の流れを制限する。この図の拡大版を表示するのにはここをクリックしてください。

表 2。代表的な結果。速度測定。r (mm) P_T P₂ (Pa) u (r) (m/s

r(mm)	P_T-P₂(Pa)	u(r) (m/s)
2.25	300.35	22.34
12.25	302.84	22.43
22.25	305.82	22.54
32.25	302.34	〜 22.41
42.25	294.88	22.13
52.25	295.37	22.15
62.25	292.88	22.06
68.25	293.63	22.09
72.25	294.13	22.10
75.25	299.60	22.31
77.25	293.13	22.07
79.25	284.67	21.75
80.25	256.31	20.63
81.25	198.33	18.15

3. データ分析。

P P_Tの圧力違い値を使って速度プロファイルを決定する₂表 2 から。表 2 に結果を入力します。
半径を使用して表 2 の圧力と速度の両方の値をプロットする、として横軸 (図 3)。
表 2 の速度と半径値に基づく式 (8) の積分を計算します。
式 (8) を使用して各流量の流量係数を計算します。
排出係数を使用してプロット、横軸として。
適合流量係数、力法律機能をお勧めします。

図 3.代表的な結果。(A): 流路の半径方向座標に沿って静圧の測定例。(B): 静圧の測定から決定された速度分布。この図の拡大版を表示するのにはここをクリックしてください。

質量保存の法則、多くの機械システム工学のコントロールボリュームアプローチと共に使用するよく知られている物理的な原則であります。質量保存則のコントロールボリュームの解析、ダム、浄水場、配水システムなど大規模な水理構造物の流量を推定する便利です。このメソッドは通常、システムでエンジニアの支配的な物質交換のアイデアを与えるための第一歩として適用されます。出口バルブ、たとえば、ダムの顔を介して構築は水の流れを制御する使用します。質量は保存されているので、操縦翼面との囲まれたボリューム内の質量変化率を純の質量流束はバランスでなければなりません。このビデオでは、質量保存則流量計として平滑筋の収縮を調整するボリューム方式を適用する方法を示します。

線形運動量保存則の制御ボリューム法の一般原則は、私たちの前のビデオで説明しました。ここでは、我々は質量保存の法則のこのアプローチを示しています。摂取量で平滑筋の収縮と遠心ファンから成る回路図で流路を検討してください。質量保存の法則のコントロールボリュームの解析はどのように私たちのシステムに適用ですか。まず、想像上の閉じた表面、流れの領域を含むコントロールボリュームを定義するのと呼ばれる制御面を見てみましょう。次に、質量保存の法則の一般的な方程式を書いてみましょう。方程式の最初の言葉は、コントロール・ボリュームに大質量の変化の割合を表します。私たちのコントロールボリューム内の流れは安定したので、この言葉は我々の場合にゼロです。コントロール・ボリューム収縮への取り付けは、方程式の二学期が簡素化します。これはコントロールのサーフェイスを質量の net のフラックスです。当社のシステムの質量は 1 つは、ポートを介してコントロール・ボリュームに流し込まれ、ポート 2 をボリュームの葉します。収縮、に沿って流体密度を一定と仮定すると、流体の速度と単位面積ベクトル間の内積を解く方程式をさらに簡素化します。質量は保存されているので、質量流束は両方のポートを通じて同じです。次に、指定されたポートを介して体積流量と質量流束を知ること、ポートの平均速度が得られます。非粘性流体のポート速度 2 で一定であるポートのセクション。この速度は、中央の流線に沿ってベルヌーイの式を使用して計算できます。ベルヌーイの式を確認する場合に、前のビデオを見ることができます。ポート 1 つの流体の圧力は、大気圧です。我々はまたそれが外部の静止環境に十分近いので、ポート 1 での流体の速度はゼロであることと仮定します。[ポート速度非粘性流体の 2 つこの式によって与えられます。速度プロファイルは不均質です。現実には、境界層の成長のための固体壁近傍流体が流れるとき、境界と接触する流体には壁の速度が想定しています。壁からの距離が増加するにつれて流速を無料ストリームの速度に到達するまで徐々に回復します。壁近傍の速度変化のこの地域は境界層と呼ばれる、粘度の操作により起こる。この効果のために、理想的な推定は、流出係数を利用した測定実験と比較されます。円形のポート、この例で使用しているもの我々は流路に放射状の速度のプロフィールを知っている場合この係数が計算できます。ピトー静圧プローブを用いた流速分布を測定できます。ピトー静圧プローブの動作原理を確認する場合に、私たちの前のビデオを見ることができます。ピトー管は、流体中の任意の時点で 2 つのコンポーネントを持っている全圧を検出、停止する流れをもたらす: 静的コンポーネント、および動的コンポーネント。壁に静的プローブ静圧だけの感覚します。所定の位置に速度の 2 つのポートでベルヌーイの式を適用するパイプ内で r を決定できます。パイプの径方向の座標に沿ってピトー管を調べることによって、圧力トランスデューサー、圧力差を測定することによって、流速分布が得られます。最後に、2 番目のトランスデューサーで測定した通路の断面積と圧力差と流量係数を使用して、2 つのポート間で流量を決定できます。質量保存則のコントロールボリュームメソッドを使用して、フローシステムを分析する方法を理解すると、流路を調整し、その排出係数を決定するこのメソッドを適用しましょう。

実験を始める前に研究室と施設内の機器のレイアウトを確認します。まず、メインスイッチをチェックすることによって、施設内の流れがないことを確認します。Jet の蓋に覆われていることを確認します。’原則’ セクションで説明した図に従ってデータ集録システムの設定を開始します。トラバースのピトー管に最初の圧力トランスデューサーの正のポートを接続します。吸気通路の静的プローブと探触子の負のポートを接続します。したがって、あなたは、直接、圧力差 PT – P2 この圧力トランスデューサーの読むを与えます。ボルトからパスカルへの探触子の変換を記録します。次を使用して 2 番目の圧力トランスデューサーの正のポートを接続 T 接続を利用したピトー管。大気中に探触子は、オープンの負出港します。この圧力トランスデューサーの読書では、差圧を与えます。パスカルにボルトから探触子の変換係数を記録します。定規で流れ通過半径を測定します。また国立気象サービスのウェブサイトから大気圧および温度をあなたの場所のデータを収集します。2 つの圧力変換器の変換係数の値と共にパラメーターテーブルにこれらの値を記録します。今、100 ヘルツ、5 秒のデータを取得するために 500 サンプルの合計の割合でサンプルにデータ集録システムを設定します。データ集録システムのチャンネル 0 は最初の圧力トランスデューサーに対応していることを確認します。パスカルの直接圧力の測定値を持っているシステムに変換係数を入力します。今、2 番目の圧力変換器の変換係数を入力、この圧力トランスデューサーは、データ集録システムの 1 つのチャンネルに対応していることを確認します。管の壁に触れるところでその旅行の終わりにピトープローブを設定します。プローブは、直径 2 ミリメートルは、放射状の座標距離の壁 1 ミリで最初の測定を行います。

データ集録システムの設定フロー機能をオンに。データ集録を開始する準備が整いました。デジタルマルチメータを使用して 2 番目の圧力トランスデューサーの読書を記録します。圧力単位変換係数を用いたボルトからこの値を変換、パラメーターテーブルに記録。ピトー管の現在の位置、データ集録システムを使用して最初のトランスデューサーによって与えられた圧力差を記録します。[結果] テーブルには、この値を記録します。トラバースのノブを利用したピトー管の半径方向の位置を変更します。この位置データ集録システムの流れの中で圧力差を測定します。流路全体違いラジアル位置についてこの手順を繰り返し、結果表に測定値を記録します。次に、システムの放電を変化させることにより通路内流量を変更します。このためには、異径穿孔板はさまざまなレベルでフローを制限するシステムの放電に配置されます。流路内の別の半径方向位置の圧力差を測定し、流量の少なくとも 10 の異なる値のこの手順を繰り返します。あなたの実験の終わりに、フロー機能をオフにしてください。

ピトー管流路の直径方向のそれぞれの位置は、r、全圧と静圧の差の測定があります。各データポイントの流速を計算し、結果のテーブルでその値を入力します。テーブル内のすべてのデータポイントについて繰り返し、パイプ間で速度分布をプロットします。今、流出係数を計算します。これを行うには、まず速度と半径 radius の機能の製品をプロットする必要。速度測定は離散位置で実施されて、以来流量係数の式の積分は数値を使用して、たとえば、台形公式、解決されなければなりません。次に、流体密度、通過半径、大気圧と静圧の測定差パラメーターテーブルに記録された値と整数型の値を使用して流量係数を計算します。2 つをポートします。通路内流量のすべての実験値に対応するデータのセットごとに、これらの計算を繰り返します。今、あなたの結果を見てを取る。

1 圧力比マイナスの平方根の値と異なる流量の流量係数の散布を行います。スキャッタープロットするベキ関数をフィットし、流量係数と流路で static pressure とローカル大気圧の比率間の一般的な関係を決定します。次に、流量の式でこの関係に置き換えてください。ここで大気圧と絶対温度の理想気体の法則を使用しての面での便宜のため、密度を表現できます。流量のこの式は、ローカル大気条件、通路サイズ、および単位系の変更の下でその妥当性を保つために開発された、したがって。要約すると、流量計として通路を調整する必要がある流量と圧差など簡単に測定変数の間の関係を確立するには

質量保存則ボリューム方式は、機械工学の分野にわたってアプリケーションの広い範囲を持ってください。ベンチュリ管は、通路の 2 つの異なるセクション間の圧力変化に基づく流量を決定する限られたフローで使用されるデバイスです。このビデオで紹介した方法は、ベンチュリ管の内部境界層の影響を補正しデバイスの流量係数を決定する使用できます。質量保存則のコントロールボリュームの解析は、フロー制限の前後に流れの深さを比較することによって大規模な油圧システムの流量を評価するために使用できます。

制御ボリューム解析質量保存性のためゼウスの紹介を見てきただけ。今、流路の流量を測定し、システムの流量係数を決定するためにこのメソッドを適用する方法を理解する必要があります。見ていただきありがとうございます。

Results

ファンの退院時の流れの特定の制限、図 3 aは動圧の測定を示しています () ピトー管を通過した後パイプ内の異なる放射状ロケーションで。これらの値を用いてこれらの放射状の場所でローカルの速度を決定して、結果を図 3Bに示します。これらのデータの台形規則を使用して、平均速度の式 (4) を解決するために後の値を得たm/s。その一方の値表 1 の (5) の式から理想的な速度を特定する使用された: m/s. したがって、この流の流量係数は: 。この値は、図 4の赤い三角形として表示されます。

29 回以上この実験を繰り返し後、は、図 4に示すように散布を得られました。このデータの力法によっても表すことができます:

(11)

引数のこの選択の理由は、リードの定数のまま無次元、それゆえこの相関関係はまだ圧力に使用される単位のシステムに関係なく有効にことを確認することです。この関数は、式 (7) の関数として流量を取得するに置き換えることができます:

(12)

ここでは、式 (7) のすべての定数と (11) の 1 つ無次元の定数に集中された:。したがって、式 (12) は、変数が一貫して対応するユニットを割り当てられている限り、任意の単位系有効です。便宜上、(7) 式から密度は大気圧と絶対温度の理想気体の法則を使用しての面で表現されました。式 (12) は、気圧や温度 (TとP_atm) の変化を占める大気の条件の有効です。また、幾何学的な類似性が保存されている限り、この方程式になる異なるサイズの通路の有効な半径r.を考慮

図 4。代表の結果。 : 流量係数の異なる流量で決まります。 : 速度測定を流量係数を示した本-: べき乗則実験データにフィットさせる。 。

図 6 。代表の結果。速度と半径の積のプロットします。

表 3。代表的な結果。流量係数。

√ (1 P₂/P_atm )	C_d
0.019	0.735
0.020	0.761
0.025	0.795
0.026	0.808
0.029	0.826
0.032	0.835
0.039	0.855
0.041	0.862
0.042	0.873
0.044	0.880
約 0.047	0.891
0.049	0.899
0.049	0.917
0.050	0.924
0.050	0.903
0.051	0.909
0.052	0.927
:0.053	0.917
0.054	0.926
0.054	0.935
0.055 天文単位	0.924
0.056	0.940
0.060	0.953
0.063	0.967
0.064	0.972
0.065	0.975
0.066	0.977
0.067 倍	0.983
0.069	0.985

Applications and Summary

流量計として流路を調整する質量保存の制御ボリューム解析のアプリケーションデモンストレーションを行った。このため、我々は速度プロファイルに統合を使用して流路の流量を決定するピトー静圧システムの使用を認めた。その後、流量係数の概念を流路の近くに壁境界層の成長の効果を設立されました。流量が異なる音速測定のセットに基づいて、開発した流路で static pressure とローカル大気圧の比の関数としての流出係数を表す回帰。最後に、この回帰は通路を通って流量の関数として式に組み込まれた。この方程式は、ユニットシステム、通路サイズ、ローカル大気の状態変化の中でその有効性を保持する開発されました。

質量保存則のコントロールボリュームの解析では、流路の流量計としての校正に多くの選択肢を提供しています。たとえば、ベンチュリ管、ノズル、多孔板は通路の 2 つの異なるセクション間の圧力変化に基づく流量を決定する限られたフローで使用されます。私たちの例と同様に、これらのデバイスは、境界層の影響を補正する流出係数と特徴付けられる必要があります。

開水路流、質量保存則のコントロールボリューム解析も水路、部分的にオープンゲート断面減少などのフロー制限の前後に流れの深さを比較することにより流量を評価するために使用できます。これらのアプリケーションの主な意義は他フローデバイスの使用を排除する非常に大規模なスケールの水分分布、制御および処置の水理構造物がいます。

References

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Munson, B.R., D.F. Young, T.H. Okiishi. Fundamentals of Fluid Mechanics. 5^th ed., Wiley, 2006.
Chapra, S.C. and R.P. Canale. Numerical methods for engineers. Vol. 2. New York: McGraw-Hill, 1998.
Buckingham, E. Note on contraction coefficients of jets of gas. Journal of Research, 6:765-775, 1931.
Lienhard V, J.H. and J.H. Lienhard IV. Velocity coefficients for free jets from sharp-edged orifices. ASME Journal of Fluids Engineering, 106:13-17, 1984.

Transcript

Conservation of mass is a well-known physical principle that is used together with the control volume approach for engineering of many mechanical systems. Control volume analysis of mass conservation is particularly useful to estimate flow rates for large-scale hydraulic structures, such as dams, water treatment plants, or water distribution systems. This method is usually applied as an initial step to give the engineer an idea of the dominant mass exchange in a system. An outlet valve, for example, constructed through the face of the dam is routinely used to control the flow of water. Since mass is conserved, the net mass flux through a control surface, and the rate of change of mass inside the enclosed volume must be in balance. This video will illustrate how to apply the control volume method for mass conservation to calibrate a smooth contraction as a flow meter.

General principles of the control volume method for conservation of linear momentum were discussed in our previous video. Here, we illustrate this approach for conservation of mass. Consider the flow passage in the schematic, consisting of a centrifugal fan with the smooth contraction at the intake. How does the control volume analysis for conservation of mass apply to our system? First, let’s take an imaginary closed surface, called Control Surface, to define a control volume containing a region of flow. Next, let’s write the general equation for conservation of mass. The first term of the equation represents the rate of change of mass inside the control volume. This term is zero in our case, because the flow through our control volume is steady. Since the control volume is attached to the contraction, the second term of the equation simplifies. This is the net flux of mass through the Control Surface. For our system, the mass flows into the control volume through port one, and leaves the volume through port two. Assuming a constant fluid density along the contraction, and solving the dot product between the fluid velocity and the unit area vector, the equation simplifies further. Since mass is conserved, the mass flux is the same through both ports. Next, knowing the mass flux and the volumetric flow rate through a given port, the average velocity for the port can be obtained. For inviscid fluids, the velocity at port two is constant across the section of the port. This velocity can be calculated using the Bernoulli’s equation along the central streamline. If you need to review the Bernoulli’s equation, you can watch out previous video. The fluid pressure at port one is the atmospheric pressure. We also assume that the fluid velocity at port one is zero, since it is close enough to the external, quiescent environment. Then the velocity at port two for an inviscid fluid is given by this formula. The velocity profile is nonhomogeneous. In reality, due to boundary layer growth, when a fluid flows near a solid wall, the fluid in contact with the boundary assumes the velocity of the wall. As the distance from the wall increases, the flow velocity gradually recovers until reaching the velocity of the free stream. This region of velocity change near a wall is called the Boundary Layer, and takes place because of the action of viscosity. To account for this effect, the ideal estimation is compared with experimental measurements using the discharge coefficient. For a circular port, like the one used in our example, this coefficient can be calculated if we know the radial velocity profile across the flow passage. The velocity profile can be measured using a Pitot-static probe. If you need to review the working principle of a Pitot-static probe, you can watch our previous video. A Pitot tube brings the flow to a stop, sensing the total pressure, which at any point inside the fluid has two components: A static component, and a dynamic component. The static probe at the wall senses only the static pressure. Applying Bernoulli’s equation at port two, the velocity at a given position, r, within the pipe can be determined. The velocity profile is obtained by traversing the Pitot tube along the radial coordinate of the pipe, and by measuring with the pressure transducer, the pressure difference. Finally, the flow rate across port two can be determined using the discharge coefficient together with the passage’s cross-sectional area and the pressure difference measured with a second transducer. Now that you understand how to use the control volume method for mass conservation to analyze a flow system, let’s apply this method to calibrate a flow passage and to determine its discharge coefficient.

Before starting the experiment, familiarize yourself with the layout of the lab and the equipment inside the facility. First, make sure that there is no flow inside the facility by checking the main switch. Then check that the jet’s lid is covered. Now start setting up the data acquisition system by following the diagram described in the ‘Principles’ section. Connect the positive port of the first pressure transducer to the traversing Pitot tube. Connect the negative port of the transducer to the static probe of the intake passage. Hence, the reading of this pressure transducer will give you, directly, the pressure difference PT – P2. Record the transducer’s conversion from volts to pascals. Next, connect the positive port of the second pressure transducer to the using Pitot tube using a T connection. Leave the negative port of the transducer open to the atmosphere. The reading of this pressure transducer will give you the pressure difference. Record the transducer’s conversion factor from volts to pascals. Measure the flow passage radius with a ruler. Also collect the data for the atmospheric pressure and the temperature at your location from the National Weather Service website. Record these values in a parameters table together with the values for the conversion factors of the two pressure transducers. Now, set the data acquisition system to sample at a rate of 100 Hertz, for a total of 500 samples in order to obtain five seconds of data. Make sure the channel zero in the data acquisition system corresponds to the first pressure transducer. Then enter the conversion factor in the system to have the pressure readings directly in pascal. Now, enter the conversion factor for the second pressure transducer, and ensure that this pressure transducer corresponds to channel one in the data acquisition system. Set the Pitot probe at the end of its travel, where it touches the pipe’s wall. Since the probe is two millimeters in diameter, the first measurement will be performed at a radial coordinate one millimeter away from the wall.

After the data acquisition system is set up, turn on the flow facility. Now you are ready to start data acquisition. Record the reading of the second pressure transducer using a digital multimeter. Convert this value from volts to pressure units using the conversion factor, and record it in the parameters table. For the current position of the Pitot tube, use the data acquisition system to record the pressure difference given by the first transducer. Record this value in the results table. Change the radial position of the Pitot tube using the traversing knob. Measure the pressure difference at this position inside the flow passage with the data acquisition system. Repeat this step for difference radial positions across the flow passage, and record the readings in the results table. Next, change the flow rate inside the passage by varying the system’s discharge. To this end, plates with perforations of different diameters are placed at the discharge of the system to restrict the flow at different levels. Measure the pressure difference for different radial positions inside the flow passage, and repeat this step for at least ten different values of the flow rate. At the end of your experiment, remember to turn the flow facility off.

At each position, r, of the Pitot tube across the diameter of the flow passage, you have a measurement of the difference between total pressure and the static pressure. For each data point, calculate the flow velocity and enter its value in the results table. Repeat for all data points in the table, and then plot the velocity profile across the pipe. Now, calculate the discharge coefficient. To do so, first you need to plot the product between velocity and radius in function of radius. Since the velocity measurements are carried out at discrete positions, the integral in the formula for the discharge coefficient must be solved numerically using, for example, the trapezoidal rule. Next, calculate the discharge coefficient using the value of the integral together with the values recorded in the parameter table for the fluid density, the passage radius, and the measured difference between the atmospheric pressure and the static pressure at port two. Repeat these calculations for each set of data corresponding to every experimental value of the flow rate inside the passage. Now, take a look at your results.

Make a scatter plot of the discharge coefficients for different flow rates versus the values of the square root of one minus the pressure ratio. Fit a power-law function to the scatter plot, and determine a general relationship between the discharge coefficient, and the ratio between the static pressure at the flow passage and the local atmospheric pressure. Next, substitute this relationship in the equation for the flow rate. Here the density can be expressed for convenience in terms of atmospheric pressure and absolute temperature using the ideal gas law. This expression of the flow rate was, thus, developed to keep its validity under changes in local atmospheric conditions, passage size, and unit system. In summary, to calibrate a passage as a flow meter, it is necessary to establish a relationship between the flow rate and an easy-to-measure variable such as pressure difference.

The control volume method for mass conservation has a wide range of applications across the field of mechanical engineering. A Venturi tube is a device used in confined flows to determine flow rate based on pressure changes between two different sections of the passage. The method presented in this video can be used to correct for boundary layer effects inside the Venturi tube, and determine the device’s discharge coefficient. The control volume analysis for mass conservation can be used to assess flow rate for large-scale hydraulic systems by comparing the depth of flow before and after the flow restrictions.

You’ve just watched Jove’s Introduction to Control Volume Analysis for Mass Conservation. You should now understand how to apply this method to measure the flow rate across a flow passage and determine the discharge coefficient of the system. Thanks for watching.

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