15.18

변동: 정규 분포, 범위 및 표준 편차

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데이터 수집 프로젝트 중에 한 학생이 해당 도시에서 성인 남성의 키를 수집하는 데 관심이 있습니다.

교실로 돌아온 학생들은 표본 모집단에서 키의 빈도를 그래프로 표시합니다. 결과 곡선은 종 모양이며 그 중심에 평균이 있는 단일 피크가 있습니다.

평균과 같은 단일 데이터 포인트가 이러한 결과를 분석하는 데 중요하지만 변동도 중요합니다. 데이터 세트 내에서 측정값의 분산으로 정의되는 이 수량은 결과의 분산을 설명하여 점 사이의 거리를 알려줍니다.

또한 그래프는 대칭적이며, 개인의 절반은 평균보다 키가 크고 절반은 평균보다 키가 작습니다. 이를 정규 분포 또는 곡선이라고 합니다.

변동을 평가하기 위해 먼저 가장 높은 높이와 가장 낮은 높이의 차이인 결과 범위를 계산합니다.

범위는 데이터의 확산을 설명하지만, 학교에서 가장 키가 큰 농구 선수와 같은 이상치의 영향을 크게 받을 수 있으며 측정값이 평균을 중심으로 어떻게 배치되는지를 설명하지 않습니다.

이 문제를 해결하기 위해 학생은 방정식을 사용하여 표준 편차(측정값이 평균과 다른 평균량)라고 하는 두 번째 변동 게이지를 계산합니다.

여기서 표준 편차는 2.5인치이므로 수컷은 평균보다 평균적으로 2.5인치 더 작거나 키가 큽니다. 정규 분포의 속성에 따라 이 하나의 음수 및 양수 표준 편차 내에서 개인의 68%가 떨어집니다.

이 수치는 두 개의 표준 편차(여기서는 평균 높이보다 5인치 높거나 낮음)에 대해 95%로 증가하고 세 표준 편차에 대해 99.7%로 증가합니다. 중요한 것은 표준 편차가 낮을수록 결과가 평균 주위에 더 밀접하게 모여 높고 좁은 정규 곡선을 생성한다는 것입니다.

따라서 데이터 세트의 표준 편차가 작으면 변동이 적습니다. 따라서 변동성이 낮은 측정값에 대한 평균은 변동이 높은 결과에서 파생된 측정값보다 표본 모집단을 신뢰할 수 있게 나타낼 가능성이 더 높으며, 이는 특이치에 의해 불균형적으로 영향을 받을 수 있습니다.

Overview

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$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

심리학 분야에는 특성, 기능 또는 특성(즉, 변수)의 측정을 구성하는 여러 가지 방법이 있습니다. 인종과 같은 질적 데이터는 빈도 수로 표로 작성하여 비율에 대한 정보와 표본 또는 모집단의 다양한 그룹에 대한 정보를 제공할 수 있습니다. 반면에 연구원은 정량적 데이터에 대해 더 광범위한 계산 세트를 수행할 수 있습니다. 예를 들어, mean, mode 및 median은 주어진 숫자 데이터 세트 내에서 변수의 일반적인 값을 식별하기 위한 중심 경향 측정값입니다. 마찬가지로, 범위, 분산 및 표준 편차를 포함하여 변동성 또는 변동이라고 하는 점수 간의 거리를 추정하는 몇 가지 접근 방식도 있습니다.

레인지

범위는 변수의 가장 높은 점수와 가장 낮은 점수 간의 거리 또는 차이만 계산하지만 그 사이의 점수에 대한 세부 정보는 제공하지 않습니다. 값이 높으면 점수가 더 넓게 퍼져 있음을 나타내지만 이상값은 잘못된 해석을 초래할 수 있습니다. 이러한 이유로 범위는 변동을 측정하는 덜 정확한 방법으로 간주됩니다.

분산

연구자들은 일반적으로 분산을 사용하여 표본 또는 모집단에 있는 모든 점수의 평균 거리를 평균 부근으로 추정합니다. 먼저, 평균은 특정 변수의 모든 원시 점수의 합을 표본의 총 점수 수로 나누어 결정됩니다. 각 원시 점수에서 평균을 빼면 점수가 평균보다 높거나 낮은지 여부에 따라 양수와 음의 정수로 구성되는 편차 점수 집합이 생성됩니다. 편차 점수의 평균을 계산하려는 시도는 양의 정수가 음의 정수를 상쇄하여 합이 0이 되기 때문에 충분하지 않습니다. 편차를 제곱하면 음의 편차 점수가 양수 점수로 변환되는 동시에 평균과 각 데이터 포인트 사이의 거리에 대한 합리적인 추정치를 제공할 수 있습니다. 제곱 편차를 합하면 제곱합(SS)이 형성됩니다.

분산이 표본에 대해 계산되거나 점수 모집단에 대해 추정되는 경우 SS는 총 데이터 포인트 수(N) 또는 자유도(N-1)로 나뉩니다. 제곱 편차의 합을 나누면 점수와 평균 사이의 일반적인 거리에 대한 집계 추정치가 제공됩니다.

표준 편차

분산의 제곱근은 표준 편차입니다. 이 산술 단계는 분산 공식의 이전 단계에서 편차의 제곱을 상쇄하는 역할을 합니다. 표준 편차는 모집단 또는 표본 집합에서 점수의 일반적인 분포를 설명할 뿐만 아니라 평균에서 특정 점수 사이의 거리를 평가하는 데에도 사용됩니다. 점수가 정규 곡선을 따르는 경우 곡선 중심을 기준으로 한 점수의 위치는 발생 가능성(확률)과 관련될 수 있습니다.

변동의 의미

표본 또는 모집단의 점수 범위가 감소하면 분산이 감소하는 것에 해당합니다. 예를 들어, 여성의 데이터는 남성에 비해 언어 수행, 수학 수행 및 키와 같은 특성에서 낮은 분포를 보입니다. 이러한 경우, 환경적 요인이나 생물학적 요인과 같은 수컷 간 변이의 원인을 이해하는 것은 집단 간의 차이를 인식하는 것만큼 중요합니다.

Transcript

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$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

데이터 수집 프로젝트 중에 한 학생이 해당 도시에서 성인 남성의 키를 수집하는 데 관심이 있습니다.

교실로 돌아온 학생들은 표본 모집단에서 키의 빈도를 그래프로 표시합니다. 결과 곡선은 종 모양이며 그 중심에 평균이 있는 단일 피크가 있습니다.

평균과 같은 단일 데이터 포인트가 이러한 결과를 분석하는 데 중요하지만 변동도 중요합니다. 데이터 세트 내에서 측정값의 분산으로 정의되는 이 수량은 결과의 분산을 설명하여 점 사이의 거리를 알려줍니다.

또한 그래프는 대칭적이며, 개인의 절반은 평균보다 키가 크고 절반은 평균보다 키가 작습니다. 이를 정규 분포 또는 곡선이라고 합니다.

변동을 평가하기 위해 먼저 가장 높은 높이와 가장 낮은 높이의 차이인 결과 범위를 계산합니다.

범위는 데이터의 확산을 설명하지만, 학교에서 가장 키가 큰 농구 선수와 같은 이상치의 영향을 크게 받을 수 있으며 측정값이 평균을 중심으로 어떻게 배치되는지를 설명하지 않습니다.

이 문제를 해결하기 위해 학생은 방정식을 사용하여 표준 편차(측정값이 평균과 다른 평균량)라고 하는 두 번째 변동 게이지를 계산합니다.

여기서 표준 편차는 2.5인치이므로 수컷은 평균보다 평균적으로 2.5인치 더 작거나 키가 큽니다. 정규 분포의 속성에 따라 이 하나의 음수 및 양수 표준 편차 내에서 개인의 68%가 떨어집니다.

이 수치는 두 개의 표준 편차(여기서는 평균 높이보다 5인치 높거나 낮음)에 대해 95%로 증가하고 세 표준 편차에 대해 99.7%로 증가합니다. 중요한 것은 표준 편차가 낮을수록 결과가 평균 주위에 더 밀접하게 모여 높고 좁은 정규 곡선을 생성한다는 것입니다.

따라서 데이터 세트의 표준 편차가 작으면 변동이 적습니다. 따라서 변동성이 낮은 측정값에 대한 평균은 변동이 높은 결과에서 파생된 측정값보다 표본 모집단을 신뢰할 수 있게 나타낼 가능성이 더 높으며, 이는 특이치에 의해 불균형적으로 영향을 받을 수 있습니다.

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