8.1: 모집단 모수를 추정하기 위한 분포

모집단 비율, 모집단 평균 및 모집단 표준 편차(또는 분산)와 같은 모집단 매개변수의 정확한 값은 일반적으로 알려져 있지 않습니다. 이는 샘플에서 수집된 데이터에서만 추정할 수 있는 고정 값입니다. 이러한 각 모수의 추정치는 표본 비율, 표본 평균 및 표본 표준 편차(또는 분산)입니다. 이러한 표본 통계량의 값을 얻으려면 특정 분포와 중심 경향을 가진 데이터가 필요합니다. 이러한 표본 분포는 필수적이며 모집단 모수를 추정하는 데 필요한 몇 가지 특정 확률 분포로 변환해야 합니다.

높은 표본 크기(일반적으로 30 이상), 무작위 및 비편향 표본추출, 모집단의 정규 분포 및 표본의 정규 분포와 같은 조건이 충족되면 모집단 모수를 추정하는 것이 간단해집니다. 그러나 이러한 조건은 주어진 샘플에 대해 가정할 수 없으며 매번 또는 모든 연구에서 달성될 수 없습니다. 이러한 경우 추정에는 다른 분포가 필요합니다.

표본 비율에서 모집단 비율을 추정하기 위해 z 분포와 z 테이블이 사용됩니다. 여기서 샘플은 표준 정규 분포를 따를 필요는 없지만 최소한 대칭적이고 정규적으로 대략적으로 분포되어 있어야 합니다. 그런 다음 표본 데이터에서 계산된 z 점수를 사용하여 모집단 비율의 점을 추정하고 신뢰 구간을 구성할 수 있습니다.

z 분포는 모집단 평균을 추정하는 데도 사용할 수 있지만 모집단 표준 편차(또는 분산)에 대한 사전 지식이 필요합니다. 그런 다음 z 분포를 사용하여 모집단 평균의 점 추정치를 구할 수 있으며, 모집단 평균의 신뢰할 수 있는 추정치를 위해 원하는 신뢰 수준에서의 신뢰 구간을 구성할 수 있습니다.

가장 현실적인 상황에서는 모집단 표준 편차(모집단 평균을 추정하기 위한)가 주어진 연구에 대해 선험적으로 알려지지 않을 수 있습니다. 이러한 경우 모집단 평균과 같은 모집단 모수의 추정은 Student t 분포를 기반으로 합니다. t 분포는 대칭 분포(예: 정규 분포)이지만 표준 정규 분포의 근사치입니다. 모양(얕음 또는 경사도)은 자유도(또는 표본 크기)에 따라 변경됩니다. 스튜던트 t 분포는 표본 크기가 30 미만일 때 유리할 수 있습니다.

모집단 표준 편차(또는 분산)를 추정하려면 카이제곱 분포가 필요하며, 이 분포는 대칭이 아닙니다. 카이-제곱 분포의 왜도는 자유도(또는 표본 크기)에 따라 변합니다. 90 이상의 표본 크기에서 정규 분포에 접근합니다. 카이제곱 분포는 표본 크기가 작더라도 모집단 표준 편차(또는 분산)를 추정하는 데 도움이 됩니다.