7.10: Estimating Population Mean with Unknown Standard Deviation(알 수 없는 표준 편차를 사용한 모집단 평균 추정)

실제로, 우리는 모집단 표준 편차를 거의 알지 못합니다. 과거에는 표본 크기가 클 때 통계학자들에게 문제가 되지 않았습니다. 그들은 표본 표준 편차 s를 σ에 대한 추정치로 사용하고 이전과 같이 진행하여 충분히 가까운 결과를 가진 신뢰 구간을 계산했습니다. 그러나 통계학자들은 표본 크기가 작을 때 문제에 부딪혔습니다. 표본 크기가 작으면 신뢰 구간이 부정확해졌습니다.

아일랜드 더블린에 있는 기네스 양조장의 William S. Gosset(1876–1937)은 이 문제에 부딪혔습니다. 홉과 보리에 대한 그의 실험은 매우 적은 샘플을 생성했습니다. σ를 s로 바꾸는 것만으로는 신뢰 구간을 계산하려고 할 때 정확한 결과가 나오지 않았습니다. 그는 계산에 정규 분포를 사용할 수 없다는 것을 깨달았습니다. 그는 실제 분포가 표본 크기에 따라 달라진다는 것을 발견했습니다. 이 문제로 인해 그는 스튜던트 t 분포(Student’s t distribution)라고 불리는 것을 “발견”하게 되었습니다. 이름은 Gosset이 “Student”라는 필명으로 썼다는 사실에서 비롯되었습니다.

1970년대 중반까지만 해도 일부 통계학자들은 큰 표본 크기에 대해 정규 분포 근사치를 사용하고 최대 30의 표본 크기에 대해서만 스튜던트 t 분포를 사용했습니다. 그래프 계산기와 컴퓨터를 사용하면 이제 s가 σ에 대한 추정치로 사용될 때마다 Student’s t distribution을 사용하는 것이 좋습니다.

평균 μ과 알 수 없는 모집단 표준 편차가 있는 근사 정규 분포를 가진 모집단에서 크기 n의 단순 무작위 표본을 추출하고 표본 SD를 사용하여 t 점수를 계산하는 경우, 표준 편차를 σ

스튜던트 t 분포의 속성

• 스튜던트 t 분포에 대한 그래프는 표준 정규 곡선과 유사합니다.
• 스튜던트 t 분포에 대한 평균은 0이고 분포는 0에 대해 대칭입니다.
• 스튜던트 t 분포는 t 분포의 산포가 표준 정규 분포의 산포보다 크기 때문에 표준 정규 분포보다 꼬리에 있을 확률이 더 큽니다. 따라서 스튜던트의 t-분포 그래프는 표준 정규 분포의 그래프보다 꼬리가 더 두껍고 중앙이 더 짧습니다.
• 스튜던트 t 분포의 정확한 형상은 자유도에 따라 다릅니다. 자유도가 증가함에 따라 스튜던트 t 분포의 그래프는 표준 정규 분포의 그래프와 더 비슷해집니다.
• 개별 관측치의 기본 모집단은 알 수 없는 모집단 평균 μ 알 수 없는 모집단 표준 편차 σ로 정규 분포를 따르는 것으로 가정합니다. 기본 인구의 크기는 매우 작지 않는 한 일반적으로 관련이 없습니다. 종 모양(정상)이면 가정이 충족되고 논의가 필요하지 않습니다. 무작위 샘플링이 가정되지만 이는 정규성과 완전히 별개의 가정입니다.

계산기와 컴퓨터는 모든 학생의 t 확률을 쉽게 계산할 수 있습니다. 스튜던트 t 분포에 대한 확률표도 사용할 수 있습니다. 이 표는 신뢰 수준(열)과 자유도(행)에 해당하는 t 점수를 제공합니다. t 테이블을 사용하는 경우 일부 테이블은 열 머리글에 신뢰 수준을 표시하도록 형식이 지정되는 반면 일부 테이블의 열 머리글은 한쪽 또는 양쪽 꼬리에 해당 영역만 표시할 수 있습니다.

학생의 t 테이블은 자유도와 오른쪽 꼬리 확률이 주어지면 t 점수를 제공합니다. 테이블은 매우 제한적입니다. 계산기와 컴퓨터는 모든 학생의 t-확률을 쉽게 계산할 수 있습니다.

스튜던트의 t 분포(T를 랜덤 변수로 사용)에 대한 표기법은 다음과 같습니다.

• T ~ tdf 여기서 df = n – 1.
• 예를 들어, n = 20개 항목의 표본이 있는 경우 자유도를 df = n – 1 = 20 – 1 = 19로 계산하고 분포를 T ~ t19로 씁니다.

모집단 표준 편차를 알 수 없는 경우 모집단 평균에 대한 오차 한계는 표본 SD를 사용하여 계산됩니다.

이 텍스트는 Openstax, Introductory Statistics, Section 8.2 A single population mean using Student’s t 배포.