선형화와 근사

선형화는 복잡한 비선형 함수를 선택한 기준점의 근방에서 보다 단순한 선형 모형으로 근사하기 위해 사용되는 수학적 기법입니다. 이 방법은 함수값을 정확히 구하기 어렵더라도 특정 입력값 근처에서의 거동은 해당 지점에서의 접선으로 흔히 가깝게 근사될 수 있다는 생각에 기반합니다. 이러한 접근법은 이미 알려진 값에서의 작은 변이가 수반되는 경우에 특히 유용합니다.

예를 들어 제곱근 함수를 고려합니다. 입력값이 4일 때의 함수값은 정확하게 알려져 있습니다. 이 입력값은 함수값과 그 변화율을 모두 쉽게 구할 수 있기 때문에 적절한 기준점으로 활용됩니다. 그러나 4.1과 같이 기준점에 가까운 입력값에서의 함수값은 계산 도구 없이는 직접 구하기가 쉽지 않습니다. 선형화는 이러한 어려움을 해결하기 위해, 원래의 함수를 기준점 근처에서 해당 지점의 접선으로 대체합니다.

접선 근사는 세 가지 요소를 사용하여 구성됩니다. 기준 입력값에서의 함수값, 동일한 입력값에서의 함수의 도함수값, 그리고 기준점으로부터 입력변수의 작은 변화량입니다. 이 요소들을 결합하면 다음과 같은 선형화 공식이 얻어집니다.

\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}

이 공식은 기준 입력값 근처에서 함수값을 추정하는 데 사용되며, 근접한 입력값을 대입함으로써 원래의 비선형 함수를 직접 계산하지 않고도 근사값을 구할 수 있습니다.

제곱근 함수의 예에서는 먼저 기준 입력값에서의 함수값과 도함수를 계산한 다음, 새로운 입력값과 기준 입력값의 차이를 계산합니다. 이러한 값들을 결합하면 4.1의 실제 제곱근에 매우 가까운 추정값을 얻을 수 있습니다. 이때 발생하는 작은 오차는 선형화의 효과성과 한계를 동시에 나타냅니다. 이 예시는 입력값이 선택된 기준점에 충분히 가까운 경우, 함수를 정확하게 계산하기 어려운 상황에서도 선형화가 정확하고 효율적인 근사를 제공함을 명확히 나타냅니다.