부정적분

저장 탱크로 유입되는 물의 유량은 일정하지 않으며 시간이 지남에 따라 증가합니다. 초기에는 펌프가 5 L/min의 유량으로 물을 공급합니다. 그러나 압력의 증가나 시스템 조정으로 인해 유입 유량은 매분 2 L/min씩 증가합니다. 이러한 상황은 다음과 같은 선형 함수로 수학적으로 나타낼 수 있습니다.

\begin{equation}f(t) = 2t + 5\end{equation}

시간에 따라 탱크에 추가되는 총 물의 체적을 구하기 위해서는 유입 유량 함수를 적분해야 합니다. 총 물의 체적 V(t)는 다음 적분을 수행함으로써 얻을 수 있습니다.

\begin{equation}V(t) = \int (2t + 5) \, dt\end{equation}

이 적분을 평가하기 위해 거듭제곱 법칙을 적용하면, 유입 유량의 변화 특성을 반영하는 이차항과 선형항이 함께 나타납니다.

\begin{equation}V(t) = t^2 + 5t + C\end{equation}

t^2 항은 시간이 지남에 따라 유입 유량이 증가함에 따라 발생하며, 물의 누적이 시간에 따라 이차함수적으로 진행됨을 나타냅니다. 5t 항은 처음부터 존재하는 일정한 유입 성분을 나타냅니다. 상수 C는 유입 과정이 시작되기 전에 탱크에 이미 존재하던 물의 초기 체적을 의미합니다. 적분은 순간적인 변화율을 누적하여 총량을 구하는 과정이므로, 이 식은 임의의 시점에서 탱크에 저장된 총 물의 체적을 설명하는 포괄적인 함수를 제시합니다.