$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
이 연구는 인간 참가자나 동물 대상이 아니었습니다; 따라서 윤리적 승인과 사전 동의가 필요하지 않았습니다. 제안된 방법은 MATLAB R2014b를 사용하여 구현되었습니다. 사용된 툴박스는 다음과 같습니다: 웨이블릿 패킷 분석용 웨이블릿 툴박스(wpdec 및 wpcoef), BP 신경망 구현용 신경망 툴박스(feedforwardnet 및 train), EMD 계산에서 선형 프로그래밍 문제 해결을 위한 최적화 툴박스(linprog), 그리고 KNN 분류용 통계 및 머신러닝 툴박스(fitcknn 및 예측). EMD는 선형 계획법을 이용해 운송 문제를 해결함으로써 구현되었습니다. 모든 실험은 인텔 코어 i7-10700 CPU(2.90 GHz)와 16GB RAM을 탑재한 윈도우 10 PC에서 수행되었습니다. 제안된 방법은 공개된 CWRU 베어링 데이터셋(https://engineering.case.edu/bearingdatacenter/download-data-file)을 사용하여 검증되었습니다. 결함은 전기 방전 가공(EDM)을 사용해 세 가지 직경(0.007", 0.014", 0.021")과 세 곳(내부 레이스, 외부 레이스, 볼)에서 구동 엔드 베어링에 SKF6205발생했습니다. 진동 신호는 12kHz 샘플링 주파수로 4개의 모터 부하(0–3마력)에서 수집되었으며, 이는 1797–1730rpm 속도에 해당합니다. 각 신호 샘플은 598점(70.8% 중첩)의 슬라이딩 윈도우 분할 방식을 사용해 얻은 2048개의 데이터 포인트로 구성되었습니다.
제안된 KNN 기반 롤링 베어링 고장 진단 프레임워크(그림 1)는 7단계의 순차적 단계로 구성되며, 각 단계의 출력이 다음 단계의 입력 역할을 합니다. 1단계에서는 다우베시스 3(db3) 웨이블릿 기저를 이용한 3단계 웨이블릿 패킷 분해를 사용하여 롤링 베어링 진동 신호로부터 에너지 특징을 추출합니다. 세 번째 분해 수준에서 8개의 하위 밴드의 정규화된 에너지 값은 특징 집합 Q = (q1, q2, ..., qm)로 합산되며, 여기서 m = 8은 특징 차원이다. 정규화는 식66에 정의된 합 정규화(상대 에너지 정규화)를 사용하여 수행됩니다.
그림 1: 제안된 알고리즘의 구현 흐름도. 제안된 KNN–MIV–EMD 방법의 워크플로우를 보여주는 흐름도로, 진동 신호 입력, 웨이블릿 패킷 에너지 특성 추출, MIV 기반 특징 가중치, EMD 기반 유사도 계산, 다수결 투표를 통한 최종 분류 등이 포함됩니다. 이 그림의 더 큰 버전을 보시려면 여기를 클릭해 주세요.
2단계에서는 각 특징의 MIV를 BP 신경망(10개의 뉴런을 가진 단일 은닉층, 최대 2000회 반복, 목표 오차 1.0 × 10⁻5, 섭동 단계 크기 δ = 각 특징의 평균값의 ±10%)을 사용하여 계산됩니다. 이는 방정식 10–1323에 정의되어 있습니다. 네트워크는 숨겨진 층에서 활성화 함수 θs로 쌍곡 접선 시그모이드 함수(tansig)를, 출력 계층에서는 선형 함수(purelin)를 사용합니다. 네트워크는 Levenberg–Marquardt 알고리즘(trainlm)을 사용하여 학습됩니다. 그 후 MIV 값이 해당 특징의 상대적 중요도 가중치로 할당됩니다.
3단계에서는 원시 진동 신호를 2048개의 데이터 포인트로 슬라이딩 윈도우를 사용해 200개의 샘플로 분할되며, 스텝 크기는 598점(70.8% 겹침)입니다. 창은 신호의 시작점에서 순차적으로 이동합니다. 데이터셋(Q)은 52/48 분할 비율로 훈련 세트(Qtrain)와 테스트 세트(Q테스트)로 분할됩니다. 각 결함 조건마다 104개의 샘플이 무작위로 학습 세트로 선택되고, 나머지 96개의 샘플이 테스트 세트로 사용됩니다. 분할은 서로 다른 무작위 시드를 사용해 10회 반복되며, 평균 성능 지표를 보고하여 통계적 견고성을 평가합니다. 이 접근법은 결과가 특정 무작위 분할에 의존하지 않도록 보장합니다. 분할은 세분화 후 샘플 수준에서 수행되기 때문에 훈련 세트와 테스트 세트 간에 데이터 포인트 중복이 없습니다.
4단계에서는 훈련 집합에 대한 5중 교차 검증을 통해 최적 최근접 이웃 K 의 수를 선택합니다. 폴드는 고정된 무작위 시드를 사용해 무작위로 생성되며, 클래스별 분포를 보존하기 위해 클래스별로 계층화됩니다. 후보 K 값은 범위 내에서 
탐색되며, 특히 K = 1, 3, 5, 7, 9를 평가합니다. 다섯 가지 접힘 전반에 걸쳐 가장 높은 평균 분류 정확도를 달성한 K 값이 최적 값으로 선택됩니다. 본 연구에서 최적 K 는 3으로 결정됩니다.
5단계에서는 MIV에서 얻은 특징 중요도 가중치와 EMD에서 분포 차이를 통합하여 유사도 측정을 강화합니다. 각 샘플은 합정규화(정규화법, 방정식 4–7, 6에 정의됨)를 사용하여 얻은 8차원 정규화 에너지 특징 벡터로 표현됩니다. 기존의 KNN 분류기는 샘플 간 유사성을 측정하기 위해 유클리드 거리를 사용합니다; 하지만 이 접근법은 특징 분포의 차이를 더 잘 포착하기 위해 확장됩니다. EMD는 특징 분포 간 거리를 측정하며, 웨이블릿 패킷 분해를 통해 얻은 베어링 진동 신호의 에너지 분포 분석에 특히 적합합니다. EMD 계산 전에 추가적인 정규화는 적용되지 않습니다. EMD에서 사용되는 접지 거리는 특징 구성 요소 간의 유클리드 거리입니다. 여러 분포 간 거리를 측정할 때, EMD는 분포의 위치 차이에 영향을 받지 않아 추출된 에너지 특징의 효과적인 비교와 KNN 결정 규칙 결합 시 분류 개선이 가능합니다.
방정식 1–3은 본 연구에서 제안된 새로운 공식입니다. 식4–7과 8–26은 각각의 분야에서 표준 공식화를 나타냅니다. 테스트 샘플(I)과 훈련 샘플(Qtrain)에 대해, MIV를 포함한 가중 유클리드 거리는 방정식 1로 정의되며, 여기서 m = 8은 특징 차원, wi는 i번째 특징의 정규화된 MIV 가중치입니다. Q 검정, i 와 Q 훈련,i 는 테스트 및 훈련 샘플의 i번째 특징값입니다. 각각
(1)
EMD 기반 분포 거리는 방 정식 2에서 정의되며, 여기서 테스트(Htest)와 훈련(Htrain) 샘플의 특징 분포가 사용됩니다. EMD는 한 분포를 다른 분포로 변환하는 데 필요한 최소 비용을 측정합니다.
(2)
두 성분을 결합한 최종 향상된 거리는 방 정식 3으로 정의되며, 여기서 λ 는 EMD 기반 분포 거리의 기여를 제어하는 균형 매개변수입니다. 본 연구에서는 경험적 조정을 기반으로 λ 를 0.5로 설정하여 최적의 분류 성능을 달성합니다. 값 λ = 0.5는 범위 [0, 1]에서 격자 검색을 통해 스텝 사이즈 0.1을 선택했으며, 가장 높은 분류 정확도를 달성한 값이 최적으로 선택되었습니다. 최적의 λ 는 데이터셋별로 다를 수 있습니다; 다른 데이터셋의 경우, 훈련 데이터에 대한 교차 검증을 통해 λ를 재조정할 것을 권장합니다.
(3)
6단계에서는 모든 훈련 샘플이 테스트 샘플까지의 향상된 거리를 기준으로 정렬되며, 여기에는 MIV 기반 특징 중요도 가중치와 EMD 기반 분포 지표가 포함됩니다. 상위 K = 3개의 샘플을 최근접 이웃으로 선택합니다.
7단계에서는 다 수결 투표 규칙을 K = 3개의 최근접 이웃 사이에 적용하여 각 검사 샘플의 최종 클래스 라벨을 결정합니다.
웨이블릿 패킷 분석 및 에너지 추출
웨이블릿 패킷 분해는 웨이블릿 변환을 기반으로 하지만 기존의 웨이블릿 분해보다 더 정교합니다. 웨이브릿 패킷 분해의 특징 중 하나는 저주파 및 고주파 성분을 모두 분해하여 보다 균형 잡히고 완전한 시간-주파수 분석을 수행할 수 있다는 점인데, 이는 기존의 웨이블릿 분해가 저주파5부만 정제하는 것과 달리 더욱 균형 잡히고 완전한 시간-주파수 분석을 수행할 수 있다는 점입니다. 웨이블릿 분해의 고정 해상도 특성과 달리, 이 접근법은 보다 균형 잡힌 표현을 가능하게 하여 신호 대역폭 전반에 걸친 시간과 주파수 국소화 간의 일반적인 타협을 완화합니다.
다중 분해 과정에서 웨이브릿 패킷 분해는 함수공간 6의 단계별 직교 분해로 간주됩니다. 웨이브릿 패킷 분해 공식은 식 46에 나와 있습니다:
(4)
이 공식에서 변수 (
, 
, , , ) 
는 웨이블릿 패킷 분해에서 얻은 계수에 해당하며, 기호 (hk-2l [저통과]와 gk-2l [고통과])는 분해 과정에서 중심이 되는 필터 계수를 나타냅니다.
본 연구에서는 db3 웨이블릿이 콤팩트한 지지력과 직교성 덕분에 진동 신호에서 과도 특성을 추출하는 데 적합하여 웨이블릿 기저 함수로 선택되었습니다. 원래 진동 신호에 대해 3단계 웨이브릿 패킷 분해가 수행되어, 3단계 분해 수준에서 23 = 8개의 서브밴드가 생성됩니다.
표준 웨이블릿 변환과 비교할 때, 웨이블릿 패킷 변환은 보다 세분화된 신호 분해를 가능하게 합니다. 원래 신호를 지정된 척도로 분해하여 관심 있는 주파수 대역을 분리하고 그 에너지 분포를 효과적인 특징으로 추출합니다. 웨이블릿 패킷 변환은 신호를 원래 신호의 주파수 성분을 나타내는 에너지 분포를 나타내는 하위 대역으로 분해하며, 이 유도된 에너지 특징 벡터는 신호 분류의 견고한 기초 역할을 합니다.
신호의 특징 벡터는 j층 웨이브릿 패킷 분해를 통해 얻은 2j 주파수 대역 간의 정규화된 에너지 분포로 정의되며, 여기서 전체 신호 에너지는 이 직교 하위 대역들로 분할됩니다. j번째 분해층의 k번째 주파수 대역에 포함된 에너지는 방정식 56으로 나타내며, 정규화된 에너지 특징은 방정식 66에서 나타난 대로 얻어집니다.
(5)
(6)
이 절차에 따라, 각 진동 신호 샘플에 대해 방 정식 76에 정의된 에너지 특징 벡터가 구성됩니다:
(7)
KNN–MIV–EMD 구현 진단 절차 실행
감독 기반 KNN 알고리즘에서는 새로운 인스턴스의 분류가 K 개의 가장 유사한 훈련 샘플 중 복수 클래스에 의해 결정되며, 이는 미리 정의된 거리 지표로 측정됩니다. 따라서 분류 결과는 K 의 선택과 유사도 계산의 성격에 따라 달라집니다. 이 단순하지만 효과적인 원리는 다양한 분류 영역에서 광범위하게 적용되는 기반이 됩니다.
KNN 알고리즘의 작업 흐름은 다음과 같이 개요되어 있습니다. 먼저, k-최근접 이웃은 실험 샘플과 각 학습 인스턴스 사이의 유클리드 거리를 계산하여 학습 샘플에서 식별합니다. 이는 방 식 824에 정의되어 있습니다.
(8)
이 표기법에서 변수 x(i)와 x(j)는 각각 훈련 샘플과 테스트 샘플에 대응합니다.
다음으로, 검정 표본의 k-최근접 이웃을 기반으로 클래스 확률 분포를 추정합니다. 여기서 k는 최근접 이웃의 수를 나타내며, 특정 클래스 a에 속하는 k개의 이웃 개수(a = 1,2,...,c)를 사용하여 테스트 샘플이 해당 클래스 a에 속할 확률 P(a)를 계산하는 데 사용된다. 이는 방정식 924에 정의됨). 여기서 c는 데이터셋 내 총 클래스 수를 나타냅니다.
(9)
마지막으로, 고장 진단은 방 정식 8을 사용하여 k-최근접 이웃을 식별하고, 방정식 9에 따라 카운트를 집계한 뒤, 카운트를 내림차순으로 정렬한 뒤, 테스트 샘플의 고장 계급으로 가장 높은 계수를 할당하는 방식으로 수행됩니다.
MIV는 BP 신경망 구조를 기반으로 하며, 각 변수의 출력 대비 중요도 가중치를 반영하는 데 사용됩니다. BP 신경망은 입력, 숨겨진, 출력 계층을 포함하는 전형적인 3층 토폴로지를 가진 피드포워드 네트워크입니다. 오류를 역방향으로 전파시키고 뉴런의 가중치를 반복적으로 조정하여 자기학습을 달성합니다.
X를 방정식 1023과 방정식 1123에 정의된 L개 그룹의 샘플 데이터셋으로 하자:
X를 L개의 그룹을 가진 샘플 데이터셋이라고 하자:
(10)
(11)
여기서 x(k)는 시점 k에서 샘플링된 데이터를 나타내며, xi는 x(k)의 i번째 성분으로, k = 1, 2, ..., L, i = 1, 2, ..., n이다.
BP 신경망의 작동 원리는 다음과 같습니다. 입력 샘플 x(k)는 먼저 연결 가중치 ωT에 의해 가중치를 부여한 후 숨은 층으로 전파되어 방정식 1223에 정의된 숨겨진 층의 입력 데이터 si를 생성하며, 여기서 활성화 함수 (θ)가 변환을 지배한다.
(12)
네트워크의 출력은 방 정식 1323에 정의된 대로 얻어집니다:
(13)
여기서 ωj = [ω1j, ω2j,...,ωnj]는 입력 가중치 벡터를, β 는 출력 가중치 벡터를, j = 1, 2, ..., n을 나타냅니다. 이 연구에서는 단일 숨겨진 층을 10개의 뉴런으로 설정하고, 최대 반복 횟수는 2000회로, 최소 기대 목표 오차는 1.0 × 10⁻⁻으로 설정한다.
입력층과 숨겨진 층 사이의 가중치에 작은 섭동(Δωij)이 적용되면, 이 섭동은 숨겨진 계층 출력(Sj)으로 전파되어 네트워크 출력에 변화(ΔSj)가 발생한다. 해당 가중치(ωij와 ωjk)는 BP를 통해 갱신되며, 손실 함수는 방정식 1423에 정의되어 있습니다.
(14)
결함 특징 집합
을 보강하기 위해 표본 데이터 내 각 특징 변수에 각각 독립적으로 양과 음의 섭동이 적용되며, 이는 방정식 1523과 방정식 16 23에 정의되어 있습니다.
(15)
(16)
이 공식에서 L 과 n 은 각각 결함 특징 요인의 수와 표본 그룹의 수를 나타냅니다. 본 연구에서는 섭동 단계 크기를 각 특징의 평균값의 δ = ±10%로 설정하는데, 이는 MIV 기반 특징 중요도 분석에서 일반적으로 사용되는 설정입니다. 따라서 신경망 적합 출력은 식 1723 과 방 정식18 23에 정의된 대로 얻어집니다.
(17)
(18)
만약 
, ( 방정식 1923에서 보듯이), 해당 출력은 교란된 표본 집합의 결과를 나타낸다.
(19)
여기서 
, 와 
는 각각 표본 집합 
과 
의 출력 결과를 나타냅니다. 각 단층 특징 변수가 단층 유형에 미치는 영향 정도는 식2023에 정의된 대로 표현됩니다.
(20)
관측 수에 따른 영향값을 평균화하여 최종 출력 결함 유형에 대한 각 결함 특징의 평균 영향 값을 계산하는데, 이는 방 정식 2123에 정의된 것입니다.
(21)
EMD는 두 분포 간의 유사성을 측정하는 지표입니다. 를 소스 분포를, 
를 목표 분포를 나타내자
. 여기서 gi 와 hj는 각각 소스 분포와 대상 분포 내 i번째와 j번째 클러스터의 위치(또는 특징 벡터)이다. ωgi 는 위치 gj에서의 확률 질량(가중치)으로, 를 만족한다
. ωhj는 위치 hj에서의 확률 질량(가중치)으로, 다음을 만족한다
. m과 n은 각각 원천 분포와 대상 분포 내 클러스터 수입니다.
G와 H 사이의 EMD는 원천 분포를 목표 분포로 변환하는 데 필요한 최소 비용으로 정의되며, 이는 식227에 제시됩니다:
(22)
여기서 최적 흐름(fij)은 방정식 23–267에 정의된 제약 조건에 따릅니다:
(23)
(24)
(25)
(26)
여기서 fij 는 원천 분포의 i번째 클러스터에서 목표 분포의 j번째 클러스터로 이동하는 유량(질량)이다. 그 차원은 m × n이다. dij 는 GI 와 HJ 사이의 접지 거리로, 일반적으로 유클리드 거리로 정의됩니다: 
. 차원도 m × n이다. 첫 번째 제약은 음수가 아닌 흐름을 보장하고, 두 번째와 세 번째 제약은 각 원천 클러스터에서 각 목표 클러스터로 유입되는 총 유량이 가용 질량을 초과하지 않도록 하며, 네 번째 제약은 총 유량이 정규화 분포의 경우 1인 총 질량과 같도록 보장합니다.
실제로 EMD는 선형 프로그래밍 방법(예: 심플렉스 알고리즘)을 사용하여 운송 문제를 해결하여 총 운송 비용을 최소화하는 최적의 흐름(fij)을 결정함으로써 계산됩니다. 결과된 EMD 값은 한 분포를 다른 분포로 변환하는 데 필요한 최소 비용을 나타내며, 제안된 결함 진단 방법에서 특징 분포를 비교하는 견고한 유사도 지표 역할을 합니다.