Vectoralgebra: grafische methode

Vectoren kunnen worden vermenigvuldigd met scalairen, opgeteld bij andere vectoren of afgetrokken van andere vectoren. De vectorsom van twee (of meer) vectoren wordt de resulterende vector of kortweg de resultante genoemd.

We gebruiken de wetten van de meetkunde om resulterende vectoren te construeren, gevolgd door trigonometrie om de vectorgrootten en richtingen te bepalen. Voor een geometrische constructie van de som van twee vectoren in een vlak volgen we de parallellogramregel. Stel dat twee vectoren zich op willekeurige posities bevinden. We verplaatsen een van hen parallel aan zichzelf naar het beginpunt van de andere vector, zodat beide vectoren na de translatie hetzelfde beginpunt hebben. Vervolgens tekenen we een lijn evenwijdig aan de tweede vector vanaf het eindpunt van de eerste vector. Op dezelfde manier tekenen we een lijn evenwijdig aan de eerste vector vanaf het eindpunt van de tweede vector. Hierdoor ontstaat een parallellogram. De diagonale vanuit het gezamenlijke beginpunt van beide vectoren vormt de resulterende vector van deze twee vectoren.

De andere diagonaal van dit parallellogram stelt het vectorverschil van de twee vectoren voor. Uit de parallellogramregel volgt dat noch de grootte van de resulterende vector, noch de grootte van het vectorverschil kan worden uitgedrukt als een eenvoudige som of verschil van de groottes van de vectoren. Dit komt doordat de lengte van een diagonaal niet eenvoudigweg kan worden weergegeven als een som van de zijden. Als we drie of meer vectoren moeten optellen, herhalen we de parallellogramregel voor paren van vectoren totdat we de resultante van alle vectoren hebben gevonden.

Het tekenen van de resulterende vector van meerdere vectoren kan worden gegeneraliseerd met behulp van de kop-staartmethode. We kiezen een willekeurige vector als eerste en verplaatsen een tweede vector parallel totdat het beginpunt ("staart") van de tweede vector samenvalt met het eindpunt ("kop") van de eerste vector. Vervolgens nemen we een derde vector en verplaatsen deze parallel totdat het beginpunt samenvalt met het eindpunt van de tweede vector. We herhalen deze procedure totdat alle vectoren in een kop-staart-opstelling zijn geplaatst. De resulterende vector wordt getekend door het beginpunt ("staart") van de eerste vector te verbinden met het eindpunt ("kop") van de laatste vector. Omdat vectoroptelling associatief en commutatief is, verkrijgen we altijd dezelfde resulterende vector, ongeacht de volgorde waarin we de vectoren optellen.

De scalaire vermenigvuldiging van een vector levert een vectoriële grootheid op. Afhankelijk van het teken van de scalair wordt de richting van de vector bepaald. Wanneer een vector wordt vermenigvuldigd met een positieve scalair, blijft de richting van de vector behouden en wordt alleen de grootte aangepast. Wanneer een vector wordt vermenigvuldigd met een negatieve scalair, wordt de richting omgekeerd. 

Deze tekst is een bewerking van Openstax, University Physics Deel 1, Sectie 2.3: Algebra van vectoren.