$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Linearisatie is een wiskundige techniek die wordt gebruikt om complexe, niet-lineaire functies te benaderen met eenvoudigere lineaire modellen in de nabijheid van een gekozen referentiepunt. De methode is gebaseerd op het idee dat, hoewel een functie moeilijk exact te evalueren kan zijn, het gedrag ervan in de buurt van een specifieke invoerwaarde vaak nauwkeurig kan worden benaderd door de raaklijn in dat punt. Deze benadering is bijzonder nuttig wanneer kleine afwijkingen ten opzichte van een bekende waarde optreden.
Beschouw de wortelfunctie, waarvoor de waarde bij een invoer van vier exact bekend is. Deze invoer fungeert als een geschikt referentiepunt, omdat zowel de functiewaarde als de veranderingssnelheid op dit punt eenvoudig bepaalbaar zijn. Het evalueren van de functie bij een nabijgelegen invoer, zoals 4,1, is daarentegen niet eenvoudig zonder gebruik te maken van rekenhulpmiddelen. Linearisatie ondervangt deze moeilijkheid door de oorspronkelijke functie in de buurt van het referentiepunt te vervangen door de raaklijn.
De raaklijnbenadering wordt geconstrueerd op basis van drie componenten: de waarde van de functie bij de referentie-invoerwaarde, de afgeleide van de functie bij diezelfde invoer, en de kleine verandering in de invoervariabele ten opzichte van het referentiepunt. Samen vormen deze elementen de linearisatieformule,
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
die een schatting oplevert van de functiewaarde in de buurt van het referentiepunt. Door een invoerwaarde dicht bij het referentiepunt in deze uitdrukking te substitueren, wordt een benaderde waarde verkregen zonder de oorspronkelijke niet-lineaire functie rechtstreeks te evalueren.
In het voorbeeld van de vierkantswortel worden eerst de functiewaarde en de afgeleide bij de referentie-invoer berekend, gevolgd door het verschil tussen de nieuwe invoer en de referentie-invoer. Door deze grootheden te combineren, ontstaat een geschatte waarde die zeer dicht ligt bij de werkelijke vierkantswortel van 4,1. De geringe afwijking illustreert zowel de doeltreffendheid als de beperkingen van linearisatie. Dit voorbeeld toont aan hoe linearisatie nauwkeurige en efficiënte benaderingen oplevert wanneer functies moeilijk exact te evalueren zijn, op voorwaarde dat de invoerwaarde voldoende dicht bij het gekozen referentiepunt blijft.
