Test van de eerste afgeleide: probleemoplossen

Stel u een activaprijs voor die instort tot een dieptepunt, vervolgens scherp herstelt wanneer koopjesjagers instappen, en daarna geleidelijk weer daalt. Dergelijk gedrag kan worden gemodelleerd met een gladde functie waarvan de keerpunten lokaal overgewaardeerde en ondergewaardeerde regio’s vertegenwoordigen. Een geschikt voorbeeld dat een herstel gevolgd door een geleidelijke daling weergeeft, is:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

De hoogste en laagste punten van deze curve worden bepaald met behulp van de test van de eerste afgeleide, die vaststelt waar de functie verandert van stijgend naar dalend of omgekeerd. Om te beginnen wordt de eerste afgeleide berekend. Aangezien de functie een product is van een polynomiale term en een exponentiële term, vereist het differentiëren de productregel. Na het differentiëren wordt de resulterende uitdrukking vereenvoudigd door termen die gemeenschappelijk zijn voor alle onderdelen van de afgeleide uit te factoriseren.

Vervolgens wordt de afgeleide gelijkgesteld aan nul. Het oplossen van deze vergelijking levert de kritieke punten op: invoerwaarden waarvoor de helling nul is of waarvoor de tekentest moet worden gecontroleerd. Deze kritieke punten verdelen het domein in intervallen voor verdere analyse.

Daarna worden binnen elk interval testpunten gekozen en wordt het teken van de afgeleide bepaald. Een positieve afgeleide geeft aan dat de gemodelleerde activaprijs in dat interval stijgt, terwijl een negatieve afgeleide aangeeft dat deze daalt. Een verandering van het teken van de afgeleide van positief naar negatief duidt op een overgang van stijgend naar dalend en identificeert een lokaal maximum. Een verandering van negatief naar positief identificeert een lokaal minimum, dat overeenkomt met een dal in de prijscurve.

Ten slotte levert het invullen van de kritieke invoerwaarden in de oorspronkelijke functie de bijbehorende prijsniveaus bij deze keerpunten op. Deze lokale extrema zijn van centraal belang voor waarderingsanalyse, omdat zij potentiële omkeerzones markeren en helpen kwantificeren waar het momentum verschuift van herstel naar daling of van daling naar herstel.