3.6
Imagine an asset price that crashes to its lowest point, rebounds sharply as bargain-hunters step in, and then gradually declines.
The plot’s high and low points, used in financial analysis, are identified using the first derivative test.
To understand this, model the curve as a function, and then the first derivative is found by applying the product rule.
The common terms are factored out, and each term is set to zero to get the critical points of the function, along with the corresponding intervals.
After that, test points are selected in each interval, and then the sign of the function’s derivative is examined.
A positive derivative shows that the function is increasing, while a negative derivative means that it is decreasing. When the derivative changes from positive to negative, the function shifts from increasing to decreasing, giving a local maximum. A change from negative to positive shows a local minimum.
Substituting these x-values into the original function gives their corresponding function values, which are the local extrema.
This gives the local extrema maxima and minima of the function, which are critical for analyzing asset valuation.
Stel u een activaprijs voor die instort tot een dieptepunt, vervolgens scherp herstelt wanneer koopjesjagers instappen, en daarna geleidelijk weer daalt. Dergelijk gedrag kan worden gemodelleerd met een gladde functie waarvan de keerpunten lokaal overgewaardeerde en ondergewaardeerde regio’s vertegenwoordigen. Een geschikt voorbeeld dat een herstel gevolgd door een geleidelijke daling weergeeft, is:
\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}
De hoogste en laagste punten van deze curve worden bepaald met behulp van de test van de eerste afgeleide, die vaststelt waar de functie verandert van stijgend naar dalend of omgekeerd. Om te beginnen wordt de eerste afgeleide berekend. Aangezien de functie een product is van een polynomiale term en een exponentiële term, vereist het differentiëren de productregel. Na het differentiëren wordt de resulterende uitdrukking vereenvoudigd door termen die gemeenschappelijk zijn voor alle onderdelen van de afgeleide uit te factoriseren.
Vervolgens wordt de afgeleide gelijkgesteld aan nul. Het oplossen van deze vergelijking levert de kritieke punten op: invoerwaarden waarvoor de helling nul is of waarvoor de tekentest moet worden gecontroleerd. Deze kritieke punten verdelen het domein in intervallen voor verdere analyse.
Daarna worden binnen elk interval testpunten gekozen en wordt het teken van de afgeleide bepaald. Een positieve afgeleide geeft aan dat de gemodelleerde activaprijs in dat interval stijgt, terwijl een negatieve afgeleide aangeeft dat deze daalt. Een verandering van het teken van de afgeleide van positief naar negatief duidt op een overgang van stijgend naar dalend en identificeert een lokaal maximum. Een verandering van negatief naar positief identificeert een lokaal minimum, dat overeenkomt met een dal in de prijscurve.
Ten slotte levert het invullen van de kritieke invoerwaarden in de oorspronkelijke functie de bijbehorende prijsniveaus bij deze keerpunten op. Deze lokale extrema zijn van centraal belang voor waarderingsanalyse, omdat zij potentiële omkeerzones markeren en helpen kwantificeren waar het momentum verschuift van herstel naar daling of van daling naar herstel.
Imagine an asset price that crashes to its lowest point, rebounds sharply as bargain-hunters step in, and then gradually declines.
The plot’s high and low points, used in financial analysis, are identified using the first derivative test.
To understand this, model the curve as a function, and then the first derivative is found by applying the product rule.
The common terms are factored out, and each term is set to zero to get the critical points of the function, along with the corresponding intervals.
After that, test points are selected in each interval, and then the sign of the function’s derivative is examined.
A positive derivative shows that the function is increasing, while a negative derivative means that it is decreasing. When the derivative changes from positive to negative, the function shifts from increasing to decreasing, giving a local maximum. A change from negative to positive shows a local minimum.
Substituting these x-values into the original function gives their corresponding function values, which are the local extrema.
This gives the local extrema maxima and minima of the function, which are critical for analyzing asset valuation.
From Chapter 3:
Now Playing
Applications of Differentiation
291 Views
Applications of Differentiation
326 Views
Applications of Differentiation
310 Views
Applications of Differentiation
291 Views
Applications of Differentiation
276 Views
Applications of Differentiation
346 Views
Applications of Differentiation
435 Views
Applications of Differentiation
334 Views
Applications of Differentiation
367 Views
Applications of Differentiation
348 Views
Applications of Differentiation
202 Views
Applications of Differentiation
397 Views
Applications of Differentiation
342 Views
Applications of Differentiation
297 Views
Applications of Differentiation
419 Views
See More