4.13
Water flows into a large industrial storage tank, but the inflow rate is not constant. Initially, the pump delivers water at 5 m3/s.
The water inflow is increasing at a constant rate of two cubic meters per second due to continuous system adjustments.
This steady change makes the water inflow rate a linear function of time, where 2 is the slope showing the rate of increase, and 5 is the initial inflow rate.
The goal is to find the total volume of water stored in the tank at any point in time. This requires indefinite integration, which finds the total volume of water by integrating the rate of water inflow over time.
Instead of analyzing inflow at specific instants, integration provides a single function for the total volume of water with respect to time.
Integrating the linear inflow rate introduces a quadratic term, which shows the accelerating growth of the water volume, while the linear term shows the constant growth from the initial inflow rate.
Finally, the constant of integration is given by the volume function at t equals zero, which corresponds to the initial volume of water present in the tank.
De instroomsnelheid van water in een opslagtank is niet constant, maar neemt in de loop van de tijd toe. Aanvankelijk levert de pomp water met een instroomsnelheid van 5 L/min. De instroomsnelheid neemt echter met 2 L/min toe per extra minuut, als gevolg van stijgende druk of systeemaanpassingen. Dit scenario kan wiskundig worden beschreven door een lineaire functie:
\begin{equation}f(t) = 2t + 5\end{equation}
Het is noodzakelijk de instroomsnelheidsfunctie te integreren om het totale volume water te bepalen dat in de loop van de tijd aan de tank wordt toegevoegd. Het totale watervolume V(t) wordt verkregen door de volgende integraal te berekenen:
\begin{equation}V(t) = \int (2t + 5) \, dt\end{equation}
Wanneer de machtsregel wordt toegepast om de integraal te berekenen, ontstaan zowel kwadratische als lineaire termen, die de veranderende instroomsnelheid weerspiegelen:
\begin{equation}V(t) = t^2 + 5t + C\end{equation}
De term t^2 ontstaat als gevolg van de toenemende instroomsnelheid en laat zien dat de wateraccumulatie in de loop van de tijd een kwadratisch patroon volgt. De term 5t vertegenwoordigt de constante instroomcomponent die vanaf het begin aanwezig is. De constante C vertegenwoordigt het oorspronkelijke watervolume in de tank voordat het instroomproces begint. Aangezien integratie het totale volume bepaalt door de momentane instroomsnelheid op te sommeren, biedt deze vergelijking een volledige functie die de totale hoeveelheid water in de tank op elk gegeven moment beschrijft.
Water flows into a large industrial storage tank, but the inflow rate is not constant. Initially, the pump delivers water at 5 m3/s.
The water inflow is increasing at a constant rate of two cubic meters per second due to continuous system adjustments.
This steady change makes the water inflow rate a linear function of time, where 2 is the slope showing the rate of increase, and 5 is the initial inflow rate.
The goal is to find the total volume of water stored in the tank at any point in time. This requires indefinite integration, which finds the total volume of water by integrating the rate of water inflow over time.
Instead of analyzing inflow at specific instants, integration provides a single function for the total volume of water with respect to time.
Integrating the linear inflow rate introduces a quadratic term, which shows the accelerating growth of the water volume, while the linear term shows the constant growth from the initial inflow rate.
Finally, the constant of integration is given by the volume function at t equals zero, which corresponds to the initial volume of water present in the tank.
From Chapter 4:
Now Playing
Integrals
565 Views
Integrals
717 Views
Integrals
619 Views
Integrals
731 Views
Integrals
236 Views
Integrals
346 Views
Integrals
327 Views
Integrals
267 Views
Integrals
292 Views
Integrals
330 Views
Integrals
301 Views
Integrals
457 Views
Integrals
262 Views
Integrals
264 Views
Integrals
272 Views
See More