Onbepaalde integralen

De instroomsnelheid van water in een opslagtank is niet constant, maar neemt in de loop van de tijd toe. Aanvankelijk levert de pomp water met een instroomsnelheid van 5 L/min. De instroomsnelheid neemt echter met 2 L/min toe per extra minuut, als gevolg van stijgende druk of systeemaanpassingen. Dit scenario kan wiskundig worden beschreven door een lineaire functie:

\begin{equation}f(t) = 2t + 5\end{equation}

Het is noodzakelijk de instroomsnelheidsfunctie te integreren om het totale volume water te bepalen dat in de loop van de tijd aan de tank wordt toegevoegd. Het totale watervolume V(t) wordt verkregen door de volgende integraal te berekenen:

\begin{equation}V(t) = \int (2t + 5) \, dt\end{equation}

Wanneer de machtsregel wordt toegepast om de integraal te berekenen, ontstaan zowel kwadratische als lineaire termen, die de veranderende instroomsnelheid weerspiegelen:

\begin{equation}V(t) = t^2 + 5t + C\end{equation}

De term t^2 ontstaat als gevolg van de toenemende instroomsnelheid en laat zien dat de wateraccumulatie in de loop van de tijd een kwadratisch patroon volgt. De term 5t vertegenwoordigt de constante instroomcomponent die vanaf het begin aanwezig is. De constante C vertegenwoordigt het oorspronkelijke watervolume in de tank voordat het instroomproces begint. Aangezien integratie het totale volume bepaalt door de momentane instroomsnelheid op te sommeren, biedt deze vergelijking een volledige functie die de totale hoeveelheid water in de tank op elk gegeven moment beschrijft.