Some equations have no real solution because they involve the square roots of negative numbers.
To address this, complex numbers are introduced, defining the square root of −1 as the imaginary unit i.
This can be visualized on the complex plane, where the real and imaginary parts form perpendicular axes, placing each complex number as a point.
The addition of complex numbers involves separately adding their real and imaginary parts.
Multiplication of complex numbers follows the distributive property. Since i2=−1, any occurrence of i2 is replaced with −1during simplification.
Dividing complex numbers involves multiplying both the numerator and denominator by the denominator’s conjugate—which has the same real part and the opposite imaginary part—to eliminate the imaginary part.
Just as every positive real number has two square roots, every negative real number also has two complex square roots, which are complex conjugates.
Complex numbers are used in Magnetic Resonance Imaging, where the scanner collects complex signal data called k-space. This data is converted into spatial images using inverse Fourier transforms.
Het reële getallenstelsel kan de vierkantswortel van een negatief getal niet weergeven, wat de oplossing van bepaalde vergelijkingen, zoals kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminanten, beperkt. Om dit te ondervangen werd het complexe getallenstelsel ontwikkeld, met introductie van de imaginaire eenheid i, waarbij i = √(-1). Deze uitbreiding maakt de representatie van alle wortels mogelijk, inclusief die met negatieve radicanden.
Een complex getal wordt geschreven in de vorm x + yi, waarbij x en y reële getallen zijn. Hierbij vertegenwoordigt x het reële deel en y het imaginaire deel. De imaginaire eenheid i heeft de fundamentele eigenschap i^2 = -1. Met deze definitie kan elke kwadratische vergelijking binnen het complexe getallenstelsel worden opgelost, aangezien zowel positieve als negatieve vierkantswortels kunnen worden weergegeven.
Rekenen met complexe getallen
Bewerkingen met complexe getallen volgen de gebruikelijke algebraïsche regels, met dien verstande dat i.
Optellen
Om twee complexe getallen, zoals x + yi en u + vi, op te tellen, worden de reële en imaginaire delen afzonderlijk gecombineerd:
Aftrekken
Op dezelfde manier wordt aftrekken uitgevoerd door de corresponderende reële en imaginaire delen van elkaar af te trekken:
Vermenigvuldigen
Het vermenigvuldigen van complexe getallen houdt in dat de distributieve eigenschap wordt toegepast en dat vereenvoudigd wordt met i^2 = -1:
Complexe conjugaten en deling
Het conjugaat van een complex getal x + yi is x − yi. Het product van een complex getal en zijn conjugaat is een reëel getal:
Deze eigenschap is essentieel bij deling. Om x + yi te delen door u + vi, worden teller en noemer vermenigvuldigd met het conjugaat van de noemer:
Toepassingen van complexe getallen
Complexe getallen zijn fundamenteel in diverse wetenschappelijke en technische vakgebieden. In de elektrotechniek wordt bijvoorbeeld de impedantie in wisselstroomcircuits uitgedrukt als een complexe grootheid, waarbij het imaginaire deel de reactantie vertegenwoordigt. In signaalverwerking en regelsystemen modelleren complexe getallen oscillaties, faseverschuivingen en frequentierespons. Hun vermogen om zowel grootte als richting uit te drukken maakt ze tot essentiële hulpmiddelen voor de analyse van dynamische systemen.
Some equations have no real solution because they involve the square roots of negative numbers.
To address this, complex numbers are introduced, defining the square root of −1 as the imaginary unit i.
This can be visualized on the complex plane, where the real and imaginary parts form perpendicular axes, placing each complex number as a point.
The addition of complex numbers involves separately adding their real and imaginary parts.
Multiplication of complex numbers follows the distributive property. Since i2=−1, any occurrence of i2 is replaced with −1during simplification.
Dividing complex numbers involves multiplying both the numerator and denominator by the denominator’s conjugate—which has the same real part and the opposite imaginary part—to eliminate the imaginary part.
Just as every positive real number has two square roots, every negative real number also has two complex square roots, which are complex conjugates.
Complex numbers are used in Magnetic Resonance Imaging, where the scanner collects complex signal data called k-space. This data is converted into spatial images using inverse Fourier transforms.
