Hyperbolen

Een hyperbool is een kegelsnede die ontstaat wanneer een dubbelkegel wordt doorgesneden door een vlak onder een hoek die steiler is dan de helling van de kegel, zodat het vlak beide kegelnappen snijdt. Deze doorsnede levert twee afzonderlijke, spiegelbeeldige krommen op, takken genoemd, die van elkaar af openen langs de transversale as. De dichtstbijzijnde punten op elke tak ten opzichte van het middelpunt van de hyperbool heten hoekpunten, en de afstand van het middelpunt tot zo’n hoekpunt wordt aangeduid met a. Loodrecht op de transversale as staat de conjugaatas, geassocieerd met de parameter b; b beïnvloedt de kromming van de takken maar niet hun openingsrichting. Geometrisch wordt een hyperbool gedefinieerd als de verzameling van alle punten waarvoor het absolute verschil van de afstanden tot twee vaste punten, de brandpunten, constant is. Deze intrinsieke eigenschap onderscheidt hyperbolen van andere kegelsneden, zoals ellipsen en parabolen.

De vergelijking van een hyperbool in standaardvorm luidt doorgaans:

voor een hyperbool die horizontaal opent, of

voor een hyperbool die verticaal opent, waarbij (h, k) het middelpunt voorstelt. De kwadratische termen hebben tegengestelde tekens, een bepalend kenmerk van hyperbolische vergelijkingen. De term met het positieve teken correspondeert met de transversale as, de richting waarin de takken openen. Uit de standaardvorm zijn cruciale kenmerken zoals het middelpunt, de hoekpunten (gelegen op afstand a van het middelpunt langs de transversale as) en de asymptoten direct af te leiden.

Hyperboloïden hebben praktische toepassingen in de techniek. Zo hebben koeltorens van elektriciteitscentrales vaak een hyperbolische contour. Deze vorm draagt bij aan structurele stabiliteit door spanningen efficiënt te verdelen en verbetert de thermische prestaties door natuurlijke convectie te bevorderen en de luchtstroom door de toren te optimaliseren.