Probleemoplossing: volume

Het volume van een brandstoftank die op de vleugel van een straalvliegtuig is gemonteerd, kan worden gemodelleerd met behulp van het concept van omwentelingslichamen. In dit geval wordt de tank gevormd door een tweedimensionaal gebied, gedefinieerd door een wiskundige functie, te roteren om de x-as. Het gebied strekt zich langs de as uit van 0 tot 2 m, en de resulterende driedimensionale vorm is symmetrisch ten opzichte van de rotatieas. Omdat de begrenzende kromme direct tegen de as ligt, is de schijfmethode een geschikte techniek om het volume te bepalen.

Bij toepassing van de schijfmethode wordt het lichaam conceptueel verdeeld in een oneindig aantal uiterst dunne cirkelvormige schijven die loodrecht op de x-as worden genomen. Elke schijf vormt een schijfdoorsnede waarvan de straal gelijk is aan de waarde van de beschrijvende functie op die positie. De oppervlakte van elke schijf is evenredig met π maal het kwadraat van de straal. Hoewel elke afzonderlijke schijf slechts een klein deel van de tank vertegenwoordigt, benadert de verzameling van alle schijven het totale volume zeer nauwkeurig.

Om het totale volume te bepalen, worden de oppervlakten van alle schijven langs de lengte van de tank opgeteld door middel van integratie. Na het kwadrateren van de functie die de vorm van de tank beschrijft, vereenvoudigt de resulterende uitdrukking tot een constante vermenigvuldigd met het kwadraat van de horizontale positie en het verschil tussen 2 en die positie. Deze uitdrukking wordt vervolgens uitgewerkt, wat termen oplevert die de derde en vierde macht van de variabele bevatten. Het integreren van deze termen levert een primitieve op die beschrijft hoe het volume zich langs de integratieas ophoopt.

Het evalueren van de bepaalde integraal tussen 0 en 2 m en het invullen van de grenzen levert een numeriek resultaat op. Na vereenvoudiging bedraagt het berekende volume ongeveer 1 m^3. Deze waarde vertegenwoordigt de totale interne capaciteit van de brandstoftank. Dergelijke berekeningen zijn cruciaal in de lucht- en ruimtevaarttechniek, waar nauwkeurige volumeschattingen noodzakelijk zijn om de brandstofcapaciteit, gewichtsverdeling en algehele vliegtuigprestaties te bepalen.