Numerieke integratie

In veel praktische en theoretische contexten is de exacte waarde van een bepaalde integraal niet toegankelijk. Deze beperking doet zich doorgaans voor wanneer de stamfunctie van een functie onbekend is of niet in een gesloten wiskundige vorm kan worden uitgedrukt. Daarnaast kan dit optreden wanneer een functie niet door een expliciete formule wordt beschreven, maar door een eindige verzameling datapunten, zoals die tijdens experimenten worden verzameld. In dergelijke gevallen bieden numerieke integratietechnieken een waardevolle oplossing.

Een van de meest gebruikte benaderingen maakt gebruik van Riemannsommen, waarmee de oppervlakte onder de kromme wordt benaderd door het integratie-interval op te delen in een aantal gelijke deelintervallen. Aan elk deelinterval wordt een rechthoek gekoppeld waarvan de hoogte wordt bepaald door de functiewaarde op een gekozen punt binnen dat interval. Deze eenvoudige geometrische interpretatie maakt numerieke benaderingen mogelijk wanneer analytische methoden niet toepasbaar zijn.

De keuze van een punt binnen elk deelinterval leidt tot verschillende methoden. Bij de linkereindpuntbenadering wordt de hoogte van elke rechthoek bepaald door de functiewaarde aan het linkeruiteinde van het deelinterval. Wanneer de functie stijgend is, leidt deze methode doorgaans tot een onderschatting van de totale oppervlakte; bij een dalende functie resulteert zij meestal in een overschatting. De rechtereindpuntbenadering daarentegen gebruikt de functiewaarde aan het rechteruiteinde van elk deelinterval, wat bij stijgende functies tot een overschatting en bij dalende functies tot een onderschatting leidt.

Deze technieken, hoewel elementair van opzet, vormen fundamentele hulpmiddelen in de numerieke analyse. Zij zijn met name waardevol in wetenschappelijke en technische toepassingen waarin integralen moeten worden geëvalueerd op basis van discrete meetgegevens of voor functies die te complex zijn om symbolisch te integreren.