20.1: Niepewność i wartość oczekiwana

Ludzie stoją w obliczu niepewnych sytuacji. Niepewność pojawia się w sytuacjach, gdy przyszłe wyniki są nieznane i mają na nie wpływ przypadek lub czynniki zewnętrzne. Student college'u może dostać dobrze płatną pracę zaraz po ukończeniu studiów w przyszłości lub pozostać bezrobotny przez długi czas. 

Innym przykładem niepewności jest drużyna koszykówki z college'u grająca ostatni mecz mistrzostw. Drużyna może albo wygrać ostatni mecz mistrzostw i zdobyć nagrodę pieniężną, albo przegrać i nic nie zarobić.

Wyniki to potencjalne wyniki niepewnego zdarzenia. Na przykład w mistrzostwach koszykówki wynikiem jest albo wygranie meczu i mistrzostwa, albo przegranie obu. 

Wypłaty reprezentują wartość związaną z każdym wynikiem. Załóżmy, że drużyna otrzyma 10 000 $, jeśli wygra i 6 000 $, jeśli przegra. Tak więc wypłaty w tym przykładzie wynoszą 10 000 USD i 6 000 USD.

Prawdopodobieństwo określa ilościowo prawdopodobieństwo różnych wyników w niepewnych sytuacjach. Na przykład zakłada się, że drużyna uniwersytecka ma 0,5 prawdopodobieństwa wygrania finałowego meczu i 0,5 prawdopodobieństwa przegranej w ostatnim meczu.

Oczekiwana wartość jest użytecznym narzędziem do oceny niepewnych sytuacji. Reprezentuje średnią wypłatę dla wszystkich możliwych wyników, ważoną ich prawdopodobieństwem. Oblicza się go poprzez zsumowanie iloczynów każdej wypłaty i związanego z nią prawdopodobieństwa. Jest on wyrażony jako:

Oczekiwana wartość = (P₁×X₁) + (P₂×X₂) style="margin-left:0cm;">gdzie P₁ i P₂ są prawdopodobieństwami dwóch wyników, a X₁ i X₂ są odpowiadającymi im wypłatami.

Oczekiwany dochód, który jest oszacowaniem oczekiwanych zarobków zespołu uniwersyteckiego, wynosi

(0.5×$10,000)+(0.5×$6,000) = $8,000

Ta analiza jest pomocna w podejmowaniu decyzji w warunkach niepewności.

Ludzie stoją w obliczu niepewnych sytuacji. 

Na przykład, menedżer Nicole informuje ją, że otrzyma wyższą premię, jeśli firma osiąga dobre wyniki, a niższą premię, jeśli jej wyniki są przeciętne.

Wyniki to możliwe wyniki w niepewnych sytuacjach. Dla Nicole są to wyższe lub niższe premie w zależności od wyników firmy.

Wypłaty reprezentują wartość związaną z każdym wynikiem. W przypadku Nicole wypłaty wynoszą 10 000 $ za wyższą premię i 5 000 $ za niższą premię.

Prawdopodobieństwo jest miarą prawdopodobieństwa, że określony wynik wystąpi w sytuacji niepewności. Na przykład przyjmuje się, że prawdopodobieństwo, że spółka osiągnie dobre lub średnie wyniki, wynosi 0,5 każdy.

Oczekiwana wartość jest obliczana poprzez pomnożenie każdej wypłaty przez prawdopodobieństwo jej wystąpienia, a następnie zsumowanie ważonych wypłat.

Tutaj wartość oczekiwana to iloczyn wypłaty 10 000 USD, a jej prawdopodobieństwo 0,5 dodane do iloczynu 5 000 USD wypłaty i jego prawdopodobieństwa 0,5, co daje 7 500 USD.

• Uncertainty - Situation wherein unknown future outcomes are majorly influenced by chance or exterior factors.
• Outcome - Possible result originated from uncertain situations.
• Payoff - Value attached to the outcomes.
• Probability - Statistical assessment of the likelihood of different consequences in uncertain conditions.
• Expected Value - Average payoff throughout all possible outcomes, addressed in ratio by their likelihood of occurrence.

• Define Uncertainty – Comprehend its occurrence through different scenarios (e.g., student's job chances post graduation).
• Contrast Outcome vs Payoff – Distinguish between the two in terms of value and the final result (e.g., championship game).
• Explore Examples – Demonstrate how uncertainty plays out in real-world scenarios (e.g., basketball championship).
• Explain Probability – Understand its role in determining outcomes.
• Apply Expected Value in Context – Describe how it helps in making decisions under uncertainty.

• What is uncertainty and how does it affect outcomes?
• How does a payoff differ from an outcome in an uncertain situation?
• How does probability impact the expected value?

• Students – Gain insight into how uncertainty plays out in various spheres of life.
• Educators – Offers a framework for making complex statistical concepts relatable.
• Researchers – Can assess decisions and behaviors under uncertainty.
• Decision Makers – Helps in decision-making process considering the various uncertain factors.